07-08-2高数(A、B)期中试卷参考答案及评分标.doc

07-08-2(A、B)期中试卷参考答案及评分标准

一.填空题（每小题4分，满分24分）
1．当时，与是等价无穷小，则，；
2．已知，则，；
3．函数带余项的阶公式是
；
4．；
5．当某质点沿曲线运动到点处时, 该质点的坐标和坐标关于时间的变化率相等，点的坐标为；
6．函数的单调增加区间为，极大值为.
二.单项选择题（每题4分，满分12分）
7．设对, 有, , 则 [ D ]
(A) 存在且等于零 (B) 存在且不等于零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在
8．极限 [ B]
(A) (B ) (C) (D)
9．函数的不可导点的个数为 [ C ]
(A) (B) (C) (D)
三.计算题（每小题8分，满分32分）
10．
解
（4+3+1分）
11. 设，求.
解 （3分） （5分）
12．设，求.
解 （2+3+3分）
13.试确定常数、的值，使得曲线和在点处相切，并求切线方程.
解 ，（2分）曲线点处的切线的斜率为，（1分）曲线点处的切线的斜率为，（1分）由得，从而，（2分）切线方程为（2分）
四(14).（8分）讨论的连续性，并指出间断点的类型（应说明理由）.
解 （4分）
，，（2分）在和上连续，是的跳跃间断点. （2分）
五(15).（8分）设函数在上定义，,并对任意实数和,恒有, 证明在上处处可导,并求.
解 在等式中令，得，（2分）
则，（4分）于是在上处处可导，且（2分）
六(16). (8分) 设, , 且，证明：当时，.
证 设，（1分）则，令，得唯一的驻点，（3分）且，是唯一的极小值点，因而是最小值点。（2分）故，不等式得证。（2分）
七(17)．(8分) 设在闭区间上具有一阶连续导数，在开区间内二阶可导，且，， 试证：至少存在一点 使得.
证 若，由定理知， ，使得；（2分）若
，不妨设，且.由于，由定理知， ，使得（2分），再由于，且
，由介值定理知， ，使得，（2分）再由定理知， ，使得.（2分）

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