1、
北 京 交 通 大 学
2007-2008学年第二学期高等代数（II）期末考试（A卷）
答案与评分标准
一、填空题(每小题3分,共30分)
1、设W1和W2是Rn´n的两个子空间，其中W1是由全体n阶实反对称矩阵构成，W2是由全体n阶实上三角矩阵构成, 则 W1+W2的维数等于 n2 ，W1∩W2的维数等于 0 ．
2、 全体正实数的集合R+ 关于如下定义的加法Å与数乘·:
aÅb = ab, k·a = ak, 构成实数域R上的线性空间,该空间中的零
向量是 1 ，维数是 1 .
3、线性空间中，矩阵在基，，，下的坐标为
2、
4、若P3的变换A：A(x1, x2, x3) = (x1, x2, x1 + a)是P3的一个线性变换，则a= 0 ．此时A的核是
5、已知方阵有特征值0,0,3,则a,b的值分别为 1,1 ．
6、已知四阶方阵A的全部初等因子为 则其有理标
准形为
7、已知三阶实对称方阵A有特征值2,2,3,且是属于3的特
征向量。则A的属于2的线性无关的特征向量是
8、欧氏空间中一组基的度量矩阵是
9、三维线性空间的两组基的对偶基分别
是。若从基到基 的过渡矩阵为，则从对偶基到对偶基 的过渡矩阵
是
10、设是数域上的3维线性空间的一组基，
3、是上的一个线性函数。若，则= 2 ．
二、(15分)给定线性空间P4中的两个向量如下:
a1 = ( 1, 1, 0, 0 ), a2 = ( 0, 1, 1, 1 );
令W1 = L(a1, a2 )，
(1) 求 W1 + W2 的维数和一组基；
(2) 求W1ÇW2 的维数和一组基。
解
其中 …..4分
（1） …..6分
的一个极大线性无关组是。所以
W1 + W2 的维数是4，一组基是。 …..9分
（2）设 …
4、11分
则即b=2a。
这样W1ÇW2 …..14分
它的维数是1，一组基是 …..15分
三、(14分)在线性空间P [x] 3中定义线性变换A为：
A (a+bx+cx2) = (a－c) + bx + (c－a)x2 ，
(1) 求A在基1, x, x2下的矩阵；
(2) 求出P [x] 3的一组基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵．
解 (1)A在基1, x, x2下的矩阵为 ……5分
(2)A的特征多项式
…..8分
对应特征值0，
5、解齐次线性方程组
得基础解系
对应特征值1，解齐次线性方程组
得基础解系
对应特征值2，解齐次线性方程组
得基础解系 …..12分
令
则P可逆。于是1+x2,x,1-x2是基（因为
[1+x2,x,1-x2 ]=[1,x, x2]P），且A在该基下矩阵为
…..14分
四、（12分）求矩阵的不变因子和Jordan标准形。
解 A的特征矩阵的各阶行列式因子是1，1， …..4分
因而不变因子是1，1，
6、 …..7分
初等因子是 …..9分
Jordan 标准形为 …..12分
五、（14分）设欧氏空间V的一组基的度量矩阵为。令
（1）求的一组标准正交基；
（2）求的维数和一组标准正交基。
解 （1）令
…..4分
单位化得
为的一组标准正交基。 …..6分
（2）易知从而是V的一组基。令
…..10分
7、 …..12分
则为其标准正交基，维数为1。 …..14分
六、证明题（四题任选三题）（每小题5分，共15分）
1.设是欧氏空间中的两个向量。若关于中的任意一个向量，有证明
2．在中，证明微分变换D在任意一组基下矩阵都不可能是对角形。
3.设是数域上的n维线性空间，是其真子空间。证明存在的一组基，使得每个基向量都不在中。
4.设是欧氏空间中一非零向量。定义上线性变换A : A
证明存在的一组标准正交基，使得A 在该基下矩阵为对角阵diag{-1,1,…,1}。
证明 1.因为关于中的任意一个向量，有特别
从而因此
2．若微分变换D在一组基下矩阵是对角形D，则D的对角线元素都是0，从而D=0，于是D是零变换，矛盾。
3．若是零空间，则结论显然成立。若不是零空间，取它的一组基，并将其扩充为V的基。那么也是V的基，且其中每个向量都不在中。
4．令并将其扩充为V的标准正交基，则A在该基下矩阵即为所求。
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