资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若此蓄电池为某用电器的电源，限制电流不能超过12A，那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围？（ ）
A．R≥3Ω B．R≤3Ω C．R≥12Ω D．R≥24Ω
2．如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则( )
A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S3
3．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
4．如果x=4是一元二次方程x²－3x=a²的一个根，则常数a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
5．下列各数中是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．0.5
6．如图所示，∆ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB=( )
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，小明想利用太阳光测量楼高，发现对面墙上有这栋楼的影子，小明边移动边观察，发现站在点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重合且高度恰好相同.此时测得墙上影子高(点在同一条直线上).已知小明身高是，则楼高为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象如图所示，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2-4ac＞0；③；④a+b+c＜0.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 为常数，且a≠0）的图像上部分点的横坐标x和纵
坐标y的对应值如下表
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
－3
－3
－1
3
9
…
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0一个负数解x1满足k＜x1＜k+1（k为整数），则k＝________．
12．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 .
13．方程的解是_____________．
14．如图，在平面直角坐标系中，,P是经过O,A,B三点的圆上的一个动点（P与O,B两点不重合），则__________°，__________°.
15．圆锥的母线长为，底面半径为，那么它的侧面展开图的圆心角是______度.
16．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解_____．
17．若一个反比例函数的图像经过点和，则这个反比例函数的表达式为__________．
18．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
当点P移动到抛物线的什么位置时，使得，求出此时点P的坐标；
当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
20．（6分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
21．（6分）如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．
22．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于点P，连结AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）若AB＝10，DP＝2，
①求线段CP的长；
②过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，求△ADF的面积．
23．（8分）如图，以等腰△ABC的一腰AC为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作腰AB的垂线，垂足为E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）证明：∠CAD＝∠CDF；
（3）若∠F＝30°，AD＝，求⊙O的面积．
24．（8分）解一元二次方程
（1）
（2）
25．（10分）在一个不透明的布袋中，有个红球，个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出个球，摸到红球的概率是________；
（2）搅匀后先从中任意摸出个球（不放回），再从余下的球中任意摸出个球．求两次都摸到红球的概率．（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）
26．（10分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】直接利用图象上点的坐标得出函数解析式，进而利用限制电流不能超过12A，得出电器的可变电阻R应控制范围．
【详解】解：设I＝，把（9，4）代入得：U＝36，故I＝，
∵限制电流不能超过12A，
∴用电器的可变电阻R≥3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例的实际应用，数形结合，利用图像解不等式是解题的关键
2、D
【分析】根据双曲线的解析式可得所以在双曲线上的点和原点形成的三角形面积相等，因此可得S1＝S2，设OP与双曲线的交点为P1，过P1作x轴的垂线，垂足为M，则可得△OP1M的面积等于S1和S2 ，因此可比较的他们的面积大小.
【详解】根据双曲线的解析式可得
所以可得S1＝S2=
设OP与双曲线的交点为P1，过P1作x轴的垂线，垂足为M
因此
而图象可得
所以S1＝S2＜S3
故选D
【点睛】
本题主要考查双曲线的意义，关键在于，它代表的就是双曲线下方的矩形的面积.
3、A
【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】：∵y=（x﹣2）2﹣3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-3）．
故选A.．
【点睛】
本题考查了将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
4、C
【分析】把x＝4代入原方程得关于a的一元一次方程，从而得解.
【详解】把x＝4代入方程
可得16-12=，
解得a=±2，
故选C．
考点：一元二次方程的根．
5、C
【分析】根据无理数的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，是无理数；
0，，0.5是有理数；
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记无理数的定义进行解题．
6、C
【分析】先设小正方形的边长为1，再建构直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求解即可；
【详解】解：如图，过A作AD⊥CB于D，
设小正方形的边长为1，
则BD=AD=3，AB=
∴cos∠B=；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键.
7、C
【详解】解：连接AD,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABD=55°，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠BAD=35°．故选C．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
8、D
【解析】分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．
详解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥CD，
∴△EAF∽△CDF，
∵
∴
∴
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴
故选D.
点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
9、B
【分析】过点C作CN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明，从而得出AN，进而求得AB的长．
【详解】过点C作CN⊥AB，垂足为N，交EF于M点，
∴四边形CDEM、BDCN是矩形，
∴，
∴，
依题意知，EF∥AB，
∴，
∴，即：，
∴AN=20，
(米)，
答：楼高为21.2米．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
10、B
【解析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；
③由 ，a＜1，得到b＞2a，所以2a-b＜1；
④由当x=1时y＜1，可得出a+b+c＜1．
【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
∴a＜1，，c＞1，
∴b＜1，
∴abc＞1，结论①错误；
②∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞1，结论②正确；
③∵，a＜1，
∴b＞2a，
∴2a-b＜1，结论③错误；
④∵当x=1时，y＜1；
∴a+b+c＜1，结论④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠1）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、－1
【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．
【详解】解:把x=0,y=-1,x=1,y=-1,x=-1,y=-1代入y＝ax2＋bx＋c得
，解得，∴y=x²+x-1,
∵△=b2-4ac=12-4×1×（-1）=11，
∴x==−1±，
∵<0,
∴=−1-＜0，
∵-4≤-≤-1，
∴，
∴-1≤−1−≤，
∵整数k满足k＜x1＜k+1，
∴k=-1，
故答案为:-1．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.
12、9.6
【解析】试题分析：设树的高度为x米，根据在同一时刻物高与影长成比例，即可列出比例式求解.
设树的高度为x米，由题意得
解得
则树的高度为9.6米．
考点：本题考查的是比例式的应用
点评：解答本题的关键是读懂题意，准确理解在同一时刻物高与影长成比例，正确列出比例式.
13、x1=3，x2=-1
【分析】利用因式分解法解方程.
【详解】，
（x-3）（x+1）=0，
∴x1=3，x2=-1，
故答案为：x1=3，x2=-1.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择适合的方法解方程是关键.
14、45 45或135
【分析】易证△OAB是等腰直角三角形，据此即可求得∠OAB的度数，然后分当P在弦OB所对的优弧上和在弦OB所对的劣弧上，两种情况进行讨论，利用圆周角定理求解．
【详解】解：∵O（0，0）、A（0，2）、B（2，0），
∴OA=2，OB=2，
∴△OAB是等腰直角三角形．
∴∠OAB=45°，
当P在弦OB所对的优弧上时，∠OPB=∠OAB=45°，
当P在弦OB所对的劣弧上时，∠OPB=180°-∠OAB=135°．
故答案是：45°，45°或135°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，正确理解应分两种情况进行讨论是关键．
15、1
【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
【详解】∵圆锥底面半径是3，
∴圆锥的底面周长为6π，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，
，
解得n=1．
故答案为1．
【点睛】
此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
16、x1＝0，x4＝﹣1．
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣1．
故答案为：x1＝0，x4＝﹣1．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知整体法的应用.
17、
【分析】这个反比例函数的表达式为，将A、B两点坐标代入，列出方程即可求出k的值，从而求出反比例函数的表达式．
【详解】解：设这个反比例函数的表达式为
将点和代入，得
化简，得
解得：（反比例函数与坐标轴无交点，故舍去）
解得：
∴这个反比例函数的表达式为
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求反比例函数的表达式，掌握待定系数法是解决此题的关键．
18、60°
【解析】分析：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
详解：如图作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB．
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°．
∵OA=OB，∴∠ABO=30°，∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°．
故答案为60°．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD=30°是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）抛物线的表达式为，抛物线的顶点坐标为；（2）P点坐标为；（3）当时，S有最大值，最大值为1．
【解析】分析：（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；
（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；
（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
详解：根据题意，把，代入抛物线解析式可得，解得，
抛物线的表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
如图1，过P作轴于点C，
，
，
当时，，
，即，
设，则，
，
把P点坐标代入抛物线表达式可得，解得或，
经检验，与点A重合，不合题意，舍去，
所求的P点坐标为；
当两个动点移动t秒时，则，，
如图2，作轴于点E，交AB于点F，则，
，
，
点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，
，且，
，
当时，S有最大值，最大值为1．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造Rt△PAC是解题的关键，在（3）中用t表示出P、M的坐标，表示出PF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
20、（1）y与x的函数关系式为y=-x+150；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；（3）该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为1元．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式;
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，解得，
故y与x的函数关系式为y=-x+150；
（2）根据题意得（-x+150）（x-20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：w=（-x+150）（x-20）=-x2+170x-3000=-（x-85）2+1，
∵-1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是1．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为1元．
21、证明见解析.
【分析】由AD•AC＝AE•AB，可得,从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”可证明结论成立.
【详解】试题分析：
证明：∵AD•AC＝AE•AB，
∴＝
在△ABC与△ADE 中
∵＝，∠A＝∠A，
∴ △ABC∽△ADE
22、（1）见解析；（2）①PC＝；②S△ADF＝．
【分析】（1）利用等角对等边证明即可；
（2）①利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；
②作FH⊥AD于H，首先利用相似三角形的性质求出AE，DE，再证明AE=AH，设FH=EF=x,利用勾股定理构建方程解决问题即可.
【详解】（1）证明：∵＝，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
（2）
①解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴PB＝＝＝2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
②解：作FH⊥AD于H．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AE＝，DE＝，
∵∠FEA＝∠FEH，FE⊥AE，FH⊥AH，
∴FH＝FE，∠AEF＝∠AHF＝90°，
∵AF＝AF，
∴Rt△AFE≌Rt△AFH（HL），
∴AH＝AE＝，DH＝AD﹣AH＝，设FH＝EF＝x，
在Rt△FHD中，则有（﹣x）2＝x2+（）2，
解得x＝，
∴S△ADF＝•AD•FH＝×8×＝．
故答案为①PC＝；②S△ADF＝．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识. 属于圆的综合题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
23、（1）见解析；（2）见解析；（3）π
【分析】（1）连接OD，AD，证点D是BC的中点，由三角形中位线定理证OD∥AB，可推出∠ODF＝90°，即可得到结论；
（2）由OD＝OC得到∠ODC＝∠OCD，由∠CAD+∠OCD＝90°和∠CDF+∠ODC＝90°即可推出∠CAD＝∠CDF；
（3）由∠F＝30°得到∠DOC＝60°，推出∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，由锐角三角函数可求出AC的长，推出⊙O的半径，即可求出⊙O的面积．
【详解】解:（1）证明：如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
又AB＝AC，
∴BD＝CD，
又AO＝CO，
∴OD∥AB，
又FE⊥AB，
∴FE⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ADC＝∠ODF＝90°，
∴∠CAD+∠OCD＝90°，∠CDF+∠ODC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDF；
（3）在Rt△ODF中，∠F＝30°，
∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DOC＝30°，
在Rt△ADC中，
AC＝ ＝＝2，
∴r＝1，
∴S⊙O＝π•12＝π，
∴⊙O的面积为π．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，切线的判定与性质，解直角三角形等，解题关键是能够根据题意作出适当的辅助线，并熟练掌握解直角三角形的方法．
24、（1）， ；（2），
【分析】（1）根据公式法即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解.
【详解】（1）
a=2,b=-5,c=1
∴b2-4ac=25-8=17＞0
故x=
∴，
（2）
∴3x-2=0或-x+4=0
故，.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法及因式分解法的运用.
25、（1）；（2）见解析，.
【分析】（1）根据古典概型概率的求法，求摸到红球的概率.
（2）利用树状图法列出两次摸球的所有可能的结果，求两次都摸到红球的概率．
【详解】（1）一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为，则摸到红球的概率为.
（2）两次摸球的所有可能的结果如下：
有树状图可知，共有种等可能的结果，两次都摸出红球有种情况，
故（两次都摸处红球）．
【点睛】
本题考查古典概型概率的求法和树状图法求概率的方法.
26、 (1)见解析 (2) 8m
【详解】试题分析：（1）利用太阳光线为平行光线作图：连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
试题解析：（1）连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
而∠ABF=∠CDE=90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴， 即，
∴AB=8（m）,
答：旗杆AB的高为8m．
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