资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则函数y＝ax+b与y＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
4．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为
A． B． C． D．
5．将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（ ）
A． B．y＝
C．y＝ D．y＝
6．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（ ）
①；②；③△EDG∽△CBG；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知压强的计算公式是p＝，我们知道，刀具在使用一段时间后，就会变钝．如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是( )
A．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大
B．当受力面积一定时，压强随压力的增大而减小
C．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小
D．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大
9．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是______．
12．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为_____．
13．若x=是一元二次方程的一个根，则n的值为 ____．
14．方程的一次项系数是________.
15．已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(4，2)，B(－2，m)两点，则一次函数的表达式为____________．
16．如图，边长为2的正方形ABCD，以AB为直径作⊙O，CF与⊙O相切于点E，与AD交于点F，则△CDF的面积为________________
17．高为7米的旗杆在水平地面上的影子长为5米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．
18．已知：如图，△ABC的面积为16，点D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE的面积为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.
阿氏圆基本解法：构造三角形相似.
（问题）如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在上取点，使得；
第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分)：
解：在上取点，使得，
又.
任务：
将以上解答过程补充完整.
如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.
20．（6分）如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y．
（1）当a＝2，y＝3时，求x的值；
（2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？
21．（6分）某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
请根据以上图表信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的m=________，n=________；
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为________°；
（3）从选择“篮球”选项的60名学生中，随机抽取10名学生作为代表进行投篮测试，则其中某位学生被选中的概率是________．
22．（8分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，连接，点为轴上一点，，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求的面积．
23．（8分）如图，中，，以为直径作，交于点，交的延长线于点，连接,.
（1）求证：是的中点；
（2）若，求的长.
24．（8分）如图，已知，点、坐标分别为、．
（1）把绕原点顺时针旋转得，画出旋转后的；
（2）在（1）的条件下，求点旋转到点经过的路径的长．
25．（10分）计算：.
26．（10分）如图，正方形ABCD，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线AC（不含点A）上任意一点，将线段AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，连接EN、DM．求证：EN＝DM．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】先求出AB，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
2、C
【分析】直接利用二次函数、一次函数、反比例函数的性质分析得出答案．
【详解】∵二次函数开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交在负半轴，
∴c＜0，
∴y＝ax+b图象经过第一、二、四象限，
y＝的图象分布在第二、四象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数的性质以及图象问题，掌握二次函数、一次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
3、B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】设另一根为m，则
1•m=1，解得m=1．
故选B．
【点睛】
考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x1=-，x1•x1= ．要求熟练运用此公式解题．
4、B
【详解】解:∵M，N分别是边AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，且MN=BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：1．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出MN是△ABC的中位线，判断△AMN∽△ABC，要掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．
5、A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是：．故答案为A．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移法则，即掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键.
6、D
【分析】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．
【详解】解：∵点G是△ABC的重心，
∴AE，CD是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DGE∽△BGC，
∴ ＝，①正确；
，②正确；
△EDG∽△CBG，③正确；
,④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题关键．
7、C
【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根据相似三角形的性质即可得到答案.
【详解】∵，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故选C.
【点睛】
本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.
8、D
【解析】如果刀刃磨薄，指的是受力面积减小；刀具就会变得锋利指的是压强增大．故选D.
9、B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10、A
【解析】根据一元二次方程一次项系数的定义即可得出答案.
【详解】由一元二次方程一次项系数的定义可知一次项系数为﹣1，故选：A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的基础知识，比较简单，需要熟练掌握.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1﹣1．
【分析】先用三角形BOC的面积得出k=①，再判断出△BOC∽△BDA，得出a1k+ab=4②，联立①②求出ab，即可得出结论．
【详解】设A（a，）（a＞0），
∴AD=，OD=a，
∵直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，
∴C（0，b），B（﹣，0），
∵△BOC的面积是4，
∴S△BOC=OB×OC=××b=4，
∴b1=8k，
∴k=①
∴AD⊥x轴，
∴OC∥AD，
∴△BOC∽△BDA，
∴，
∴，
∴a1k+ab=4②，
联立①②得，ab=﹣4﹣4（舍）或ab=4﹣4，
∴S△DOC=OD•OC=ab=1﹣1.
故答案为1﹣1．
【点睛】
此题主要考查了坐标轴上点的特点，反比例函数上点的特点，相似三角形的判定和性质，得出a1k+ab=4是解本题的关键．
12、1
【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．
【详解】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a+1≠0，即a≠﹣1，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13、．
【分析】把代入到一元二次方程中求出的值即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，牢记方程的解满足方程，代入即可是解决此类问题的关键．
14、-3
【解析】对于一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，叫做一次项，为常数项，进而直接得出答案．
【详解】方程的一次项是，
∴一次项系数是：
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确得出一次项系数是解题关键．
15、y＝x－1
【详解】解：把（4，1）代入，得k＝8，
∴反比例函数的表达式为，
把（－1，m）代入，得m＝－4，
∴B点的坐标为（－1，－4），
把（4，1），（－1，－4）分别代入y＝ax＋b，得
解得，
∴直线的表达式为y＝x－1．
故答案为：y＝x－1．
16、
【分析】首先判断出AB、BC是⊙O的切线，进而得出FC=AF+DC，设AF=x，再利用勾股定理求解即可.
【详解】解:∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AB、BC是⊙O的切线，
∵CF是⊙O的切线，
∴AF=EF，BC=EC，
∴FC=AF+DC，
设AF=x，则，DF=2-x，
∴CF=2+x，
在RT△DCF中，CF2=DF2+DC2，
即（2+x）2=（2-x）2+22，解得x=，
∴DF=2-=,
∴,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，切线长定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
17、1
【分析】根据同一时刻物体的高度与影长成比例解答即可．
【详解】解：设此建筑物的高度为x米，根据题意得：，解得：x=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行投影，属于基础题型，明确同一时刻物体的高度与影长成比例是解题的关键．
18、4
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE//BC，，即可证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案.
【详解】∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵△ABC的面积为16，
∴S△ADE=×16=4.
故答案为：4
【点睛】
本题考查三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）（2）.
【分析】 ⑴ 将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可；
⑵ 根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对应P，A对应C，B对应M，当D在AB上时为最小值，所以= =
【详解】解，
，当取最小值时，有最小值，即三点共线时有最小值，利用勾股定理得
的最小值为，
提示：，，
的最小值为.
【点睛】
此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键.
20、（1）x＝；（1）当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a1．
【分析】（1）设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积；
（1）利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF，
在△AHE和△BEF中，，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x
∴EF1＝BE1+BF1＝（a﹣x）1+x1＝1x1﹣1ax+a1，
∴正方形EFGH的面积y＝EF1＝1x1﹣1ax+a1，
当a＝1，y＝3时，1x1﹣4x+4＝3，
解得：x＝；
（1）∵y＝1x1﹣1ax+a1＝1（x﹣a）1+a1，
即：当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．
21、2 0.3 108
【分析】（1）先求出样本总数，进而可得出m、n的值；
（2）根据（1）中n的值可得出，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数；
（3）依据求简单事件的概率即可求出．
【详解】解：（1）∵喜欢篮球的是60人，频率是0.25，
∴样本数=60÷0.25=1．
∵喜欢羽毛球场的频率是0.20，喜欢乒乓球的是72人，
∴n=72÷1=0.30，m=0.20×1=2．
故答案为2，0.30；
（2）∵n=0.30，
∴0.30×360°=108°．
故答案为108；
（3）从选择“篮球”选项的60名学生中，随机抽取10名学生作为代表进行投篮测试，则其中某位学生被选中的概率是10÷60=．
故答案为(1) 2 ，0.3 （2）108 (3). （3）
【点睛】
题考查的是扇形统计图，熟知通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数是解答此题的关键．
22、（1）y1＝x＋1，；（2）14
【分析】（1）将分别代入两个函数解析式得到方程组，解方程组后即可得出函数解析式；
（2）根据勾股定理得出OD＝OA＝5，根据题意得出，OC＝1，CD＝4；最后根据S△ABD＝S△DCB＋S△DCA即可得出答案．
【详解】解：(1)由题意得，
解得，
∴，
∴y1＝x＋1，
（2）由勾股定理得，A（3，4）
∴OA＝，
∴OD＝OA＝5，
当y1＝0时，0＝x＋1
∴x＝－1，OC＝1，CD＝4
S△ABD＝S△DCB＋S△DCA＝．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，代入求值法是解题的关键．
23、（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）根据题意得出，再根据三线合一即可证明；
（2）在中，根据已知可求得，，，再证明，得出，代入数值即可得出CE.
【详解】（1）证明：是的直径，
，
又
是中点.
（2）解：，，
，，
，，
.
,
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握定理是解题的关键.
24、（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）求出OA的长，再根据弧长公式即可得出结论．
【详解】（1）如图所示，
（2）由（1）图可得，，
∴
【点睛】
本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
25、
【分析】根据特殊角的三角函数值及绝对值、乘方、零指数次幂的定义进行计算即可．
【详解】原式
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26、证明见解析
【分析】利用等边三角形的性质以及旋转的性质，即可判定△EAN≌△DAM（SAS），依据全等三角形的对应边相等，即可得到EN＝DM．
【详解】证明：∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，BA＝EA，
由旋转可得，∠MAN＝60°，AM＝AN，
∴∠BAE＝∠MAN，
∴∠EAN＝∠BAM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝DA，∠BAM＝∠DAM＝45°，
∴EA＝DA，∠EAN＝∠DAM，
在△EAN和△DAM中，
EA＝DA．∠EAN=∠DAM，AN=AM，
∴△EAN≌△DAM（SAS），
∴EN＝DM．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握旋转图形的性质和全等三角形的判定和性质.
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