资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（ ）.
A．3.4m B．4.7 m C．5.1m D．6.8m
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，，BC=12，则DE的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知sinαcosα=，且0°<α<45°，则sinα－cosα的值为( )
A． B．－ C． D．±
4．已知平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是( )
A．6 B．7 C． D．12
6．一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1到6的点数．下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5
B．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5
C．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6
D．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=55°，则∠ADC的度数是（ ）
A．25° B．55° C．45° D．27.5°
10．（11·大连）某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，
得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，则 ( )
A．甲比乙的产量稳定 B．乙比甲的产量稳定
C．甲、乙的产量一样稳定 D．无法确定哪一品种的产量更稳定
11．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是
A．60° B．90° C．120° D．180°
12．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．函数中自变量x的取值范围是________.
14．分解因式： ．
15．某市某楼盘的价格是每平方米6500元，由于市场萎靡，开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元. 设平均每次下调的百分率为，则可列方程为____________________.
16．已知，二次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是________．
17．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为_____．
18．扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径为_____cm．
三、解答题（共78分）
19．（8分）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如图所示.
请根据图象中的信息解决下列问题:
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米；
（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米?
20．（8分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F.
（1）证明：△APD≌△CPD；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.
21．（8分）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，连结，将沿翻转得到，直线与直线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若为的中点，，求的半径长；
（3）①求证：；
②若的面积为，，求的长．
22．（10分）经过点A（4，1）的直线与反比例函数y＝的图象交于点A、C，AB⊥y轴，垂足为B，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AC的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，点P在双曲线位于第一象限的图象上，若∠PAC＝90°，则点P的坐标是 ．
23．（10分）解方程：
(1)＋2x－5＝0；
(2) ＝．
24．（10分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
25．（12分）如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点.
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为2，，，求图中阴影部分的周长.
26．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
（1）如图1，过点C作⊙O的切线，与AB延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的度数；
（2）如图2，D为弧AB上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接DC并延长，与AB的延长线交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：由题意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD，
故△ABC∽△AED，
由相似三角形的性质，设树高x米，
则，
∴x=5.1m．
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，关键是由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，得出两个相似三角形．
2、B
【解析】试题解析：在△ABC中，DE∥BC，
故选B.
3、B
【分析】由题意把已知条件两边都乘以2，再根据sin2α+cos2α=1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cosα与sinα的取值范围，从而得到sinα-cosα＜0，最后开方即可得解．
【详解】解：∵sinαcosα=，
∴2sinα•cosα=，
∴sin2α+cos2α-2sinα•cosα=1- ，
即（sinα-cosα）2=，
∵0°＜α＜45°，
∴＜cosα＜1，0＜sinα＜，
∴sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα= －．
故选：B．
【点睛】
本题考查同角的三角函数的关系，利用好sin2α+cos2α=1，并求出sinα-cosα＜0是解题的关键．
4、C
【解析】∵在平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点P（1，-2）关于原点的对称点坐标为（-1，2），
故选C.
5、A
【解析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=3，AF=AE=4
又∵∠C=90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO=DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO=x，
则EC=CD=x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2=AB2
故（x+2）2+（x+3）2=52，
解得：x=1，
∴BC=3，AC=4，
∴S△ABC=×3×4=6，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了三角形内切圆与内心，得出四边形OECF是正方形是解题关键．
6、D
【分析】事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，据此进行判断即可．
【详解】解：A．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5，属于随机事件，不合题意；
B．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5，属于随机事件，不合题意；
C．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6，属于随机事件，不合题意；
D．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6，属于不可能事件，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是不可能事件的定义，比较基础，易于掌握．
7、C
【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴的图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．
8、B
【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵切于点
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．
9、D
【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【详解】∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，
∴弧AC＝弧AB （垂径定理），
∴∠ADC＝∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；
又∠AOB＝55°，
∴∠ADC＝27.5°．
故选：D．
【点睛】
本题考查垂径定理、圆周角定理．关键是将证明弧相等的问题转化为证明所对的圆心角相等．
10、A
【解析】方差是刻画波动大小的一个重要的数字.与平均数一样，仍采用样本的波动大小去估计总体的波动大小的方法，方差越小则波动越小，稳定性也越好.
【详解】因为s＝0.002<s＝0.03，
所以，甲比乙的产量稳定.
故选A
【点睛】本题考核知识点：方差. 解题关键点：理解方差意义.
11、B
【解析】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的4倍，∴4πr2=πrR．∴R=4r．∴底面周长=πR．
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴设圆心角为n°，有，∴n=1．
故选B．
12、C
【解析】只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程.
【详解】解：A选项，缺少a≠0条件，不是一元二次方程；
B选项，分母上有未知数，是分式方程，不是一元二次方程；
C选项，经整理后得x2+x=0，是关于x的一元二次方程；
D选项，经整理后是一元一次方程，不是一元二次方程；
故选择C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、x≥－1且x≠1.
【分析】根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为0可得关于x的不等式组，解不等式组即可求得答案.
【详解】解：根据题意，得，解得x≥－1且x≠1.
故答案为x≥－1且x≠1.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，难度不大，属于基础题型.
14、．
【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
考点：提公因式法和应用公式法因式分解．
15、
【分析】根据连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元，可得出一元二次方程.
【详解】根据题意可得，楼盘原价为每平方米6500元，每次下调的百分率为，经过两次下调即为，最终价格为每平方米5265元.
故得：
【点睛】
本题主要考察了一元二次方程的应用，熟练掌握解平均变化率的相关方程题时解题的关键.
16、
【分析】直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】解：如图所示，图象与x轴交于（-1，0），（1，0），
故当y＜0时，x的取值范围是：-1＜x＜1．
故答案为：-1＜x＜1．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．
17、1
【解析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．
【详解】如图：长方形AEFM，连接AC，
∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
即∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°
∴tan∠ABC=1
【点睛】
本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键.
18、1
【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形，把对应的数值代入即可求得半径r的长．
【详解】解：∵S扇形，
∴，
∴．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了扇形面积和弧长公式之间的关系，解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）；（3）步数之差最多是厘米，
【分析】（1）用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）即求当时的函数值；
（3）先求得当时的函数值，再判断当时的函数值的范围.
【详解】（1）设反比例函数解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
反比例函数解析式为；
（2）将代入得；
（3）反比例函数，
在每一象限随增大而减小，
当时，，
解得：，
当时，，
步数之差最多是厘米.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答本题的关键.
20、（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE.
【分析】（1）利用正方形得到AD=CD，∠ADP=∠CDP=45，即可证明全等；
（2）设，利用三角形内角和性质及外角性质得到，，再利用周角计算得出x值；
（3）AP=CE. 设，利用三角形内角和性质及外角性质得到，
，求出，得到是等边三角形，即可证得AP=CE.
【详解】解：
（1）四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45，
在与中，
，
∴；
（2）设，
由（1）得，，
因为PA=PE，所以
所以；
（3）AP=CE.
设，
由（1）得，，
∵PA=PE且在菱形ABCD中，
∴，
∴，
由（1）得PA=PC，∴PC=PE，
∴是等边三角形，
∴PE=PC=CE，
∴AP=CE.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，正方形的性质，菱形的性质，三角形的内角和及外角性质，（2）与（3）图形有变化，解题思路不变，做题中注意总结解题的方法.
21、（1）见解析；（2）的半径为2；（3）①见解析；②．
【分析】（1）连接OC，由OA=OC得，根据折叠的性质得∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°，则∠2=∠3，于是可判断OC∥AF，根据平行线的性质得，然后根据切线的性质得直线FC与⊙O相切；
（2）首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△OCE中，根据OC2=OE2+CE2，构建方程即可解决问题；
（3）①根据等角的余角相等证明即可；
②利用圆的面积公式求出OB，由△GCB∽△GAC，可得，由此构建方程即可解决问题；
【详解】解：（1）证明：连结，则，
，
，
，
又，
即直线垂直于半径，且过的外端点，
是的切线；
（2）点是斜边的中点，
，
是等边三角形，且是的高，
在中，
，即
解得，即的半径为2；
（3）①∵OC=OB，
∴，
，，
．
②，
，
由①知：，
，即，
，
解得：．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
22、（1）反比例函数的表达式为y＝（2）直线AC的函数表达式为y＝x﹣1；（3）（，8）．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数表达式中，即可得出结论；
（2）先求出AB，设出点C的纵坐标，利用△ABC的面积为6，求出点C纵坐标，再代入反比例函数表达式中，求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线AC的解析式；
（3）先求出直线AP的解析式，再和反比例函数解析式联立求解即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）设点C的纵坐标为m，
∵AB⊥y轴，A（4，1），
∴AB＝4，
∵△ABC的面积为6，
∴AB×（1﹣m）＝6，
∴m＝﹣2，
由（1）知，反比例函数的表达式为y＝，
∴点C的纵坐标为：﹣2，
∴点C（﹣2，﹣2），
设直线AC的解析式为y＝k'x+b，
将点A（4，1），C（﹣2，﹣2）代入y＝k'x+b中， ，
∴ ，
∴直线AC的函数表达式为y＝x﹣1；
（3）由（2）知直线AC的函数表达式为y＝x﹣1，
∵∠PAC＝90°，
∴AC⊥AP，
∴设直线AP的解析式为y＝﹣2x+b'，
将A（4，1）代入y＝﹣2x+b'中，﹣8+b'＝1，
∴b'＝9，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+9①，
由（1）知，反比例函数的表达式为y＝②，
联立①②解得， （舍）或 ，
∴点P的坐标为（，8），
故答案为：（，8）．
【点睛】
考查了待定系数法，三角形的面积公式，方程组的解法，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键．
23、（1）；（2）；过程见详解．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：（1）＋2x－5＝0
解得：；
（2） ＝
解得．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
24、，在数轴上表示见解析.
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解
解不等式①得；
解不等式②得；
把解集在数轴上表示为
所以不等式组的解集为.
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25、 (1)直线与相切；理由见解析；(2).
【分析】（1）连接OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC=90°，根据三角形中位线定理得到OE∥BC，证明△AOE≌△DOE，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明；
（2）根据切线长定理可得DE=AE=2.5，由圆周角定理可得∠AOD=100°，然后根据弧长公式计算弧AD的长，从而可求得结论．
【详解】解：（1）直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△DOE中
∵OA=OD
∠1=∠2
OE=OE，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE=AE，
∵点E是AC的中点，
∴DE=AE=AC=2.5，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴阴影部分的周长=．
【点睛】
本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线、切线长定理、弧长的计算，掌握切线的性质与判定、弧长公式是解题的关键．
26、（1）∠P =36°；（2）∠P=30°．
【分析】（1）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；
（2）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图，连接OC，
∵⊙O与PC相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CAB=27°，
∴∠COB=2∠CAB=54°，
在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，
∴∠P=90°﹣∠COP=36°；
（2）∵E为AC的中点，
∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，
在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，
得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，
∴∠ACD=∠AOD=40°，
∵∠ACD是△ACP的一个外角，
∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．
【点睛】
本题考查切线的性质．
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