资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列成语表示随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．水滴石穿 C．瓮中捉鳖 D．守株待兔
2．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是6 B．这组数据的中位数是1
C．这组数据的众数是6 D．这组数据的方差是10.2
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A．100° B．110° C．115° D．120°
4．把中考体检调查学生的身高作为样本，样本数据落在1.6～2.0（单位：米）之间的频率为0.28，于是可估计2000名体检中学生中，身高在1.6～2.0米之间的学生有（ ）
A．56 B．560 C．80 D．150
5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（ ）
A． B． C．2或3 D．或
6．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
7．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ）
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
8．已知，则=（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作⊙，⊙与轴交于、，与轴交于点，为⊙上不同于、的任意一点，连接、，过点分别作于，于．设点的横坐标为，．当点在⊙上顺时针从点运动到点的过程中，下列图象中能表示与的函数关系的部分图象是（ ）
A． B． C． D．
10．已知M（a，b）是平面直角坐标系xOy中的点，其中a是从l，2，3，4三个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4，5五个数中任取的一个数．定义“点M（a，b）在直线x+y=n上”为事件Qn（2≤n≤9，n为整数），则当Qn的概率最大时，n的所有可能的值为（ ）
A．5 B．4或5 C．5或6 D．6或7
11．若二次函数的图象经过点P (-1，2)，则该图象必经过点( )
A．(1，2) B．(-1，-2) C．(-2，1) D．(2，-1)
12． 如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝100°，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．45°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．某厂前年缴税万元，今年缴税万元， 如果该厂缴税的年平均增长率为，那么可列方程为______．
14．二次函数y=－2x2+3的开口方向是_________．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（x1，0），且﹣1＜x1＜0，对称轴x＝1．如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中所有结论正确的是______（填写番号）．
16．如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值_____．
17．若a、b、c、d满足，则=_____．
18．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，内接于⊙，，高的延长线交⊙于点，，．
（1）求⊙的半径；
（2）求的长．
20．（8分）某商店如果将进货价为8元的商品按每件11元售出，每天可销售211件．现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价1．5元，其销量减少11件．
（1）若涨价x元，则每天的销量为____________件（用含x的代数式表示）；
（2）要使每天获得711元的利润，请你帮忙确定售价．
21．（8分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
（1）甲运动后的路程是多少?
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?
22．（10分）如图，，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
23．（10分）如图，直线与轴交于点，与反比例函数第一象限内的图象交于点，连接，若．
（1）求直线的表达式和反比例函数的表达式；
（2）若直线与轴的交点为，求的面积．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．
25．（12分）某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米，≈1.732)．
26．某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）每千克涨价x元，那么销售量表示为 千克，涨价后每千克利润为 元（用含x的代数式表示．）
（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？这时应进货多少千克？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【详解】解：水中捞月是不可能事件，故选项A不符合题意；
B、水滴石穿是必然事件，故选项B不符合题意；
C、瓮中捉鳖是必然事件，故选项C不符合题意；
D、守株待兔是随机事件，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2、C
【分析】先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数，再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可．
【详解】解：数据从小到大排列为：1，2，6，6，10，
中位数为：6；
众数为：6；
平均数为：；
方差为：．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题的关键．
3、B
【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.
【详解】如下图，连接AD，BD，
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-20°=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故选B
【点睛】
本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.
4、B
【分析】由题意根据频率的意义，每组的频率=该组的频数：样本容量，即频数=频率×样本容量．数据落在1.6～2.0（单位：米）之间的频率为0.28，于是2 000名体检中学生中，身高在1.6～2.0米之间的学生数即可求解．
【详解】解：0.28×2000=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查频率的意义与计算以及频率的意义，注意掌握每组的频率=该组的频数样本容量．
5、A
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．
【详解】∵方程有两个相等的实根，
∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，
解得：k=．
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
6、C
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
7、A
【解析】∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有10次摸到白球．
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：1．∴口袋中黑球和白球个数之比为1：1．
∴4×1=12（个）．故选A．
考点：用样本估计总体．
8、B
【分析】由得到x=,再代入计算即可.
【详解】∵,
∴x=,
∴=.
故选B.
【点睛】
考查了求代数式的值，解题关键是根据得到x=，再代入计算即可.
9、A
【分析】由题意，连接PC、EF，利用勾股定理求出，然后得到AB的长度，由垂径定理可得，点E是AQ中点，点F是BQ的中点，则EF是△QAB的中位线，即为定值，由，即可得到答案.
【详解】解：如图，连接PC，EF，则
∵点P为（3，0），点C为（0，2），
∴，
∴半径，
∴；
∵于，于，
∴点E是AQ中点，点F是BQ的中点，
∴EF是△QAB的中位线，
∴为定值；
∵AB为直径，则∠AQB=90°，
∴四边形PFQE是矩形，
∴，为定值；
∴当点在⊙上顺时针从点运动到点的过程中，y的值不变；
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及三角形的中位线定理，正确作出辅助线，根据所学性质进行求解，正确找到是解题的关键.
10、C
【解析】试题分析：列树状图为：
∵a是从l，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从l，2，3，4，5五个数中任取的一个数．
又∵点M（a，b）在直线x+y=n上，2≤n≤9，n为整数，
∴n=5或6的概率是，n=4的概率是，
∴当Qn的概率最大时是n=5或6的概率是最大．
故选C．
考点：1、列表法与树状图法；2、一次函数图象上点的坐标特征
11、A
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【详解】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（-1，2），
则该图象必经过点（1，2）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．
12、B
【分析】根据∠AOB=180°，∠AOC=100°，可得出∠BOC的度数，最后根据圆周角∠BDC与圆心角∠BOC所对的弧都是弧BC，即可求出∠BDC的度数.
【详解】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠AOB=180°，
∵∠AOC=100°，
∴∠BOC=∠AOB－∠AOC=80°；
∵所对的圆周角是∠BDC，圆心角是∠BOC，
∴;
故答案选B.
【点睛】
本题考查同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，在做题时遇到已知圆心角，求圆周角的度数，可以通过计算，得出相应的圆心角的度数，即可得出圆周角的度数.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由题意设该厂缴税的年平均增长率为x，根据该厂前年及今年的纳税额，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：如果该厂缴税的年平均增长率为，
那么可以用表示今年的缴税数，今年的缴税数为，
然后根据题意列出方程.
故答案为：.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14、向下．
【解析】试题分析：根据二次项系数的符号，直接判断抛物线开口方向．
试题解析：因为a=-2＜0，所以抛物线开口向下．
考点：二次函数的性质．
15、③④⑤
【解析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，则a<0，抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，对称轴在y轴右侧，则与a的符号相反，故b>0.
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误，
当x=-1时，y=a-b+c＜0，得b＞a+c，故②错误，
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（x1，0），且-1＜x1＜0，对称轴x=1，
∴x=2时的函数值与x=0的函数值相等，
∴x=2时，y=4a+2b+c＞0，故③正确，
∵x=-1时，y=a-b+c＜0，-=1，
∴2a-2b+2c＜0，b=-2a，
∴-b-2b+2c＜0，
∴2c＜3b，故④正确，
由图象可知，x=1时，y取得最大值，此时y=a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞am2+bm
∴a+b＞m（am+b），故⑤正确，
故答案为：③④⑤．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
16、1
【解析】由tan∠AOD＝，可设AD＝1a、OA＝4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
【详解】解：∵tan∠AOD＝＝，
∴设AD＝1a、OA＝4a，
则BC＝AD＝1a，点D坐标为（4a，1a），
∵CE＝2BE，
∴BE＝BC＝a，
∵AB＝4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数 经过点D、E，
∴k＝12a2＝（4+4a）a，
解得：a＝ 或a＝0（舍），
∴D（2， ）
则k＝2×＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
17、
【解析】根据等比性质求解即可．
【详解】∵，
∴=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，主要利用了等比性质．等比性质：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等. 对于实数a，b，c，d，且有b≠0，d≠0，如果，则有.
18、-1
【详解】解：如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这一线段的长=≈0.618.
∵AB=2，AP﹥BP,
∴AP:AB=×2=-1.
故答案是：-1
三、解答题（共78分）
19、（1）⊙的半径为；（2）
【分析】（1）作直径，连接，由圆周角定理得，根据特殊角的三角函数值，即可求出BF，然后求出半径；
（2）过作于，于，得到四边形是矩形，利用直角三角形的性质求出DG，由垂径定理得到AG=EG=ADDG，然后求出DE的长度.
【详解】解：（1）如图，在⊙中，作直径，连接，
∴，
∵，
∴，
∴⊙的半径为；
（2）如图，过作于，于
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.
20、（1）211－21x；（2）12元．
【解析】试题分析：（1）如果设每件商品提高x元，即可用x表示出每天的销售量；
（2）根据总利润=单价利润×销售量列出关于x的方程，进而求出未知数的值．
试题解析：解：（1）211－21x；
（2）根据题意，得 （11－8＋x）（211－21x）=711，
整理得 x2－8x＋12=1，
解得 x1=2，x2=3，
因为要采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，
所以取x=2．
所以售价为11+2=12（元），
答：售价为12元．
点睛：此题考查了一元二次方程在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程．
21、（1）28cm；（2）3s；（3）7s
【分析】（1）将t=4代入公式计算即可；
（2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可；
（3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案.
【详解】解：（1）当 t=4s 时，cm.
答：甲运动 4s 后的路程是 ．
（2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ，
乙走过的路程为 ，则.
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s．
（3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ，
则
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
22、证明见解析．
【分析】连接OC，证明三角形△COD和△COE全等；然后利用全等三角形的对应边相等得到CD=CE．
【详解】解：连接OC．
在⊙O中，∵，∴∠AOC=∠BOC，
∵OA=OB，D．E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD=OE，∵OC=OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD=CE（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．
23、（1），；（1）1
【分析】（1）先由S△AOB=4，求得点B的坐标是（1，4），把点B（1，4）代入反比例函数的解析式为，可得反比例函数的解析式为：；再把A（-1，0）、B（1，4）代入直线AB的解析式为y=ax+b可得直线AB的解析式为y=x+1．
（1）把x=0代入直线AB的解析式y=x+1得y=1，即OC=1，可得S△OCB=OC×1=×1×1=1．
【详解】解：（1）由A（-1，0），得OA=1；
∵点B（1，m）在第一象限内，S△AOB=4，
∴OA•m=4；
∴m=4；
∴点B的坐标是（1，4）；
设该反比例函数的解析式为（k≠0），
将点B的坐标代入，得，
∴k=8；
∴反比例函数的解析式为：；
设直线AB的解析式为y=ax+b（k≠0），
将点A，B的坐标分别代入，得
，
解得：；
∴直线的表达式是；
（1）在y=x+1中，令x=0，得y=1．
∴点C的坐标是（0，1），
∴OC=1；
∴S△OCB=OC×1=×1×1=1．
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．此题有点难度．
24、（1）见解析；（2）DF＝2．
【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ADO，
∴∠1＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过O，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，CD＝BD，
∵CD＝BF，
∴BF＝BD，
∴∠3＝∠F，
∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠4＝2∠3，
∵∠ODF＝90°，
∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴DF＝AD，
∵∠1＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2ED，
∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
25、AC=6米；CD=5.2米.
【分析】根据题意和正弦的定义求出AB的长，根据余弦的定义求出CD的长．
【详解】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，
∴∠CDA＝∠EBA＝90°，
∵∠E＝30°，
∴AB＝AE＝8米，
∵BC＝2米，
∴AC＝AB﹣BC＝6米，
∵∠DCA＝90°﹣∠DAC＝30°，
∴CD＝AC×cos∠DCA＝6×≈5.2(米)．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是①掌握特殊角的函数值，②能根据题意做构建直角三角形，③熟练掌握直角三角形的边角关系.
26、（1）（500﹣10x）；（10+x）；（2）销售单价为60元时，进货量为400千克．
【分析】（1）根据已知直接得出每千克水产品获利，进而表示出销量，即可得出答案；
（2）利用每千克水产品获利×月销售量=总利润，进而求出答案．
【详解】（1）由题意可知：销售量为（500﹣10x）千克，
涨价后每千克利润为：50+x﹣40＝10+x（千克）
故答案是：（500﹣10x）；（10+x）；
（2）由题意可列方程：（10+x）（500﹣10x）＝8000，
整理，得：x2﹣40x+300＝0
解得：x1＝10，x2＝30，
因为又要“薄利多销”
所以x＝30不符合题意，舍去．
故销售单价应涨价10元，则销售单价应定为60元；
这时应进货=500﹣10×10=400千克.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出月销量是解题关键．
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