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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知，，那么ab的值为（ ）
A． B． C． D．
2．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ）
A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27
3．下列关于x的一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
4．两直线a、b对应的函数关系式分别为y=2x和y=2x+3，关于这两直线的位置关系下列
说法正确的是
A．直线a向左平移2个单位得到b B．直线b向上平移3个单位得到a
C．直线a向左平移个单位得到b D．直线a无法平移得到直线b
5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
6．若，且，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
7．如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是( )
A．(，0) B．(1，0) C．(2，0) D．(3，0)
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
9．如图，该几何体的主视图是( )
A． B． C． D．
10．给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③y=；④y=x1．x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（ ）
A．1个 B．1个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有______名同学．
12．抛物线y=2x2﹣4x+1的对称轴为直线__．
13．若双曲线的图象在第二、四象限内，则的取值范围是________．
14．计算：2sin245°﹣tan45°＝______．
15．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2019次滚动后，内切圆的圆心的坐标是________．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC的中点，连结AD，BD，其中BD与AC交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形：___________．
17．在中，，，在外有一点，且，则的度数是__________．
18．如图，在平行四边形中，点、在双曲线上，点的坐标是，点在坐标轴上，则点的坐标是___________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，平面直角坐标中，把矩形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根（OA＞OC）．
（1）求A、C的坐标．
（2）直接写出点E的坐标，并求出过点A、E的直线函数关系式．
（3）点F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以点O、B、P、F为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
20．（6分）已知：如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，DF＝5，求△AEC的面积．
21．（6分）如图已知一次函数y1＝2x+5与反比例函数y2＝（x＜0）相交于点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）根据图象，直接写出当y₁≤y₂时x的取值范围．
22．（8分）操作：在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。
探究：
（1）如图①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则重叠部分四边形DCEP的面积为___，周长___.
（2）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明；
（3）三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长)；若不能，请说明理由。
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，点P是直线BC下方抛物线上的任意一点。
(1)求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式。
(2)连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标。
24．（8分）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，．求△ABC的周长．
25．（10分）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
26．（10分）一元二次方程的一个根为，求的值及方程另一根．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】利用平方差公式进行计算，即可得到答案.
【详解】解：∵，，
∴；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练运用平方差公式进行计算.
2、C
【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】∵两三角形的相似比是2：3，
∴其面积之比是4：9，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
3、D
【解析】利用一元二次方程的根的判别式逐项判断即可.
【详解】一元二次方程的根的判别式为，逐项判断如下：
A、，方程有两个不相等的实数根，不符题意
B、，方程有两个相等的实数根，符合题意
C、，方程有两个不相等的实数根，不符题意
D、，方程没有实数根，符合题意
故选：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根.
4、C
【分析】根据上加下减、左加右减的变换规律解答即可．
【详解】A. 直线a向左平移2个单位得到y=2x+4，故A不正确；
B. 直线b向上平移3个单位得到y=2x+5，故B不正确；
C. 直线a向左平移个单位得到=2x+3，故C正确，D不正确.
故选C
【点睛】
此题考查一次函数与几何变换问题，关键是根据上加下减、左加右减的变换规律分析．
5、C
【分析】根据垂径定理得出BC=AB，再根据勾股定理求出OC的长：
【详解】∵OC⊥AB，AB=16，∴BC=AB=1．
在Rt△BOC中，OB=10，BC=1，
∴．故选C．
6、A
【分析】根据比例的性质得到，结合求得的值，代入求值即可．
【详解】解：由a：b＝3：4知，
所以．
所以由得到：，
解得．
所以．
所以．
故选A．
【点睛】
考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则．
7、B
【解析】根据图表，可得抛物线y=a(x+1)2+2与x轴的交点坐标为(−3，0)；将(−3，0)代入y=a(x+1)2+2，可得a(−3+1)2+2=0，解得a=−；所以抛物线的表达式为y=−(x+1)2+2；当y=0时，可得−(x+1)2+2=0，解得x1=1，x2=−3，所以该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是(1，0)．
故选 B.
8、A
【解析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为，且∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°（在同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半）．
又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角和三角形内角和定理）．
∵OP⊥AC，∴∠AOP=90°（垂直定义）．
在Rt△AOP中，OP=2，∠OAC=30°，
∴OA=2OP=4（直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半）．
∴⊙O的半径4．故选A．
9、D
【解析】试题分析：根据主视图是从正面看到的图形，因此可知从正面看到一个长方形，但是还得包含看不到的一天线（虚线表示），因此第四个答案正确．
故选D
考点：三视图
10、C
【解析】解: 当x<0时，①y=−x，③，④ y随x的增大而减小；
②y=x，y随x的增大而增大.
故选C.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【解析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送10份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
【详解】解：设参加聚会的有x名学生，
根据题意得：
，
解得：，舍去，
即参加聚会的有1名同学，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
12、x=1
【详解】解：∵y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x=1，
故答案为：x=1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
13、m＜8
【分析】对于反比例函数：当k＞0时，图象在第一、三象限；当k＜0时，图象在第二、四象限．
【详解】由题意得，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质,本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成．
14、0
【解析】原式==0，
故答案为0.
15、
【分析】由勾股定理得出AB＝，求出Rt△OAB内切圆的半径＝1，因此P的坐标为（1，1），由题意得出P3的坐标（3＋5＋4＋1，1），得出规律：每滚动3次为一个循环，由2019÷3＝673，即可得出结果．
【详解】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝，
∴P的坐标为（1，1），
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3（3＋5＋4＋1，1），即（13，1），每滚动3次为一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3＋5＋4）＋1，即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是（8077，1）；
故答案为：（8077，1）．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标类规律探索等知识；根据题意得出规律是解题的关键．
16、，
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
【详解】解：∵，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵∠ADE＝∠ADB，
∴△ADE∽△BDA，
∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
故答案为△CBE，△BDA．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17、、
【分析】由，可知A、C、B、M四点共圆，AB为圆的直径，则是弦AC所对的圆周角，此时需要对M点的位置进行分类讨论，点M分别在直线AC的两侧时，根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补可得两种结果．
【详解】解：∵在中，，，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵点在外，且，
即∠AMB=90°
∵
∴A、C、B、M四点共圆，
①如图，当点M在直线AC的左侧时，
,
∴；
②如图，当点M在直线AC的右侧时，
∵，
∴，
故答案为：135°或45°．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形对角互补和同弧所对的角相等，但解题的关键是要先根据题意判断出A、C、B、M四点共圆．
18、
【分析】先根据点A的坐标求出双曲线的解析式，然后根据点B,C之间的纵坐标之差和平行四边形的性质求出点D的坐标即可.
【详解】∵点在双曲线上
∴
∴
∴
∵点B,点在坐标轴上
∴B,C两点的纵坐标之差为1
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC
∴A,D两点的纵坐标之差为1
∴D点的纵坐标为
∴
∴
∴的坐标是
故答案为
【点睛】
本题主要考查反比例函数及平行四边形的性质，掌握待定系数法及平行四边形的性质是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）A（6，0），C（0，3）；（2）E（，3），y＝﹣x+；（3）满足条件的点P坐标为（6﹣3，3）或（6+3，3）或（，3）或（6，﹣3）．
【解析】（1）解方程求出OA、OC的长即可解决问题；
（2）首先证明EO＝EB，设EO＝EB＝x，在Rt△ECO中，EO2＝OC2＋CE2，构建方程求出x，可得点E坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（3）分情形分别求解即可解决问题；
【详解】（1）由x2﹣9x＋18＝0可得x＝3或6，
∵OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x＋18＝0的两个根（OA＞OC），
∴OA＝6，OC＝3，
∴A（6，0），C（0，3）．
（2）如图1中，
∵OA∥BC，
∴∠EBC＝∠AOB，
根据翻折不变性可知：∠EOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴EO＝EB，设EO＝EB＝x，
在Rt△ECO中，∵EO2＝OC2＋CE2，
∴x2＝32＋（6﹣x）2，
解得x＝，
∴CE＝BC﹣EB＝6﹣＝，
∴E（，3），
设直线AE的解析式为y＝kx＋b，则有，
解得，
∴直线AE的函数解析式为y＝﹣x＋．
（3）如图，OB＝＝3．
①当OB为菱形的边时，OF1＝OB＝BP1＝3＝，故P1（6﹣3，3），
OF3＝P3F3＝BP3＝3，故P3（6＋3，3）．
②当OB为菱形的对角线时，∵直线OB的解析式为y＝x，
∴线段OB的垂直平分线的解析式为y＝﹣2x＋，
可得P2（，3），
③当OF4问问对角线时，可得P4（6，﹣3）
综上所述，满足条件的点P坐标为（6﹣3，3）或（6＋3，3）或（，3）或（6，﹣3）．
【点睛】
本题考查的是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数是解题的关键.
20、（1）见解析；（2）1
【分析】(1)根据矩形ABCD的性质得出DC∥BF,又由DF∥AC即可得出四边形ACDF是平行四边形;
(2)根据(1)中的证明可得AC=DF,AE=ED,利用勾股定理解出BC,从而得出AE,再代入三角形面积公式求出即可．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥BF，
∵DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝1，∠B＝90°，
由(1)得：四边形ACDF是平行四边形，
∴AC＝DF＝5，AE＝ED＝AD，
∴BC＝AD＝，
∴AE＝×4＝2，
∴S△AEC＝AE•CD＝×2×1＝1．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、三角形面积的计算,关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．
21、（1）A点的坐标为（﹣，2），B点的坐标为（﹣1，3）；（2）x≤﹣或﹣1≤x＜1．
【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组即可得到交点坐标；
（2）写出一次函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围即可．
【详解】解：（1）联立两函数解析式得，，
解得或，
所以A点的坐标为（﹣，2），B点的坐标为（﹣1，3）；
（2）根据图象可得，当y₁≤y₂时x的取值范围是x≤﹣或﹣1≤x＜1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据解析式列出方程组求出交点坐标是解题的关键．
22、（1）4，8；（1）证明见详解；（3）CE=0或1或或；
【分析】（1）根据点P是AB的中点可判断出PD、PE是△ABC的中位线，继而可得出PD、PE的长度，也可得出四边形DCEP的周长和面积．
（1）先根据图形可猜测PD=PE，从而连接CP，通过证明△PCD≌△PEB，可得出结论．
（3）题目只要求是等腰三角形，所以需要分四种情况进行讨论，这样每一种情况下的CE的长也就不难得出．
【详解】解：（1）根据△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴PD∥BC，PE∥AC，
又∵点P是AB中点，
∴PD、PE是△ABC的中位线，
∴PD=CE=1，PE=CD=1，
∴四边形DCEP是正方形，面积为：1×1=4，周长为：1+1+1+1=8；
故答案为：4，8
（1）PD=PE；
证明如下：AC=BC，∠C=90°，P为AB中点，连接CP，
∴CP平分∠C，CP⊥AB，
∵∠PCB=∠B=45°，
∴CP=PB，
∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠DPC=∠EPB，
在△PCD和△PEB中，
,
∴△PCD≌△PBE（ASA），
∴PD=PE．
（3）△PBE是等腰三角形，
∵AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴，
∴PB=；
①PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；
②当PB=BE时，如图，E在线段BC上，
CE＝；
③当PB=BE时，如图，E在CB的延长线上，CE＝；
④当PE=BE时，此时，点E是BC中点，则CE=1．
综合上述，CE的长为：0或1或或；
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质与判定，第三问的解答应分情况进行论证，不能漏解，有一定难度．
23、（1）二次函数的解析式为；（2）P（）时，四边形POP′C为菱形.
【分析】（1）将点B、C的坐标代入解方程组即可得到函数解析式；
（2）根据四边形POP′C为菱形，得到，且与OC互相垂直平分，可知点P的纵坐标为，将点P的纵坐标代入解析式即可得到横坐标，由此得到答案.
【详解】（1）将点B(3，0)、C(0，﹣3)的坐标代入y=x2+bx+c，得
，∴
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，
令中x=0，得y=-3，
∴C（0，-3）
∵四边形POP′C为菱形，
∴，且与OC互相垂直平分，
∴点P的纵坐标为，
当y=时， ，
得： ，
∵点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，
∴P（）时，四边形POP′C为菱形.
【点睛】
此题考查二次函数的待定系数法求解析式、菱形的性质，（2）根据菱形的对角线互相垂直平分得到点P的纵坐标，由此解答问题.
24、
【分析】过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中解直角三角形可得出AD、BD的长，再在Rt△ACD中解直角三角形求出CD的长，利用勾股定理求出AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D．
∵Rt△ADB中，∠B=45°，∴∠BAD=∠B=45°，
∴AD=BD，
又AB=，
∴AD=AB·sin∠B=×=1=BD．
∵Rt△ACD中，，
∴DC=2，∴BC=BD+DC=1．
又Rt△ADC中，AD=1，DC=2，
∴AC==．
∴△ABC的周长为．
【点睛】
本题考查了解直角三角以及勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
25、（1）500件；（2）利润的最大值为1；（3）每月的成本最少需要10000元．
【分析】(1)设函数关系式为y=kx+b，把(40，600)，(75，250)代入，列方程组即可．
(2)根据利润=每件的利润×销售量，列出式子即可．
(3)思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S，构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】(1)设函数关系式为y=kx+b，
把(40，600)，(75，250)代入可得，
解得：，
∴y=﹣10x+1000，
当x=50时，y=﹣10×50+1000=500(件)；
(2)根据题意得，W=(x﹣40)(﹣10x+1000)
=﹣10x2+1400x﹣40000
=﹣10(x﹣70)2+1．
当x=70时，利润的最大值为1；
(3)由题意，
解得：60≤x≤75，
设成本为S，
∴S=40(﹣10x+1000)=﹣400x+40000，
∵﹣400＜0，
∴S随x增大而减小，
∴x=75时，S有最小值=10000元，
答：每月的成本最少需要10000元．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数的实际应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
26、，
【分析】把x=1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．
【详解】解：由题意得：，解得，
当时，方程为，解得：，，
∴方程的另一根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
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