资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程x²-4x-1=0配方可化为（ ）
A．(x+2)²=3 B．(x+2)²=5 C．(x-2)²=3 D．(x-2)²=5
3．如图，等腰直角三角形位于第一象限，，直角顶点在直线上，其中点的横坐标为，且两条直角边，分别平行于轴、轴，若反比例函数的图象与有交点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，二次函数的图像向右平移2个单位后的函数为( )
A． B．
C． D．
6．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70° C．125° D．145°
7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（ ）
A．15 B．10 C．7.5 D．5
8．如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道大题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹小马能拉片瓦，匹大马能拉片瓦，求小马、大马各有多少匹，若设小马有匹，大马有匹，依题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．下列事件是不可能发生的是（ ）
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上
B．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1
C．今年冬天黑龙江会下雪
D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域
11．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，线段 OA=2，且OA与x轴的夹角为45°，将点 A 绕坐标原点 O 逆时针旋转105°后得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（结果精确到0.1m）
14．抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线是______．
15．一个直角三角形的两直角边长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____cm1．
16．方程的实数根为__________．
17．如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点A，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为_____．
18．矩形的对角线长13，一边长为5，则它的面积为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
20．（8分）为了“城市更美好、人民更幸福”，我市开展“三城联创”活动，环卫部门要求垃圾按三类分别装袋、投放，其中类指废电池，过期药品等有毒垃圾，类指剩余食品等厨余垃圾，类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲、乙两人各投放一袋垃圾．
（1）甲投放的垃圾恰好是类的概率是 ；
（2）用树状图或表格求甲、乙两人投放的垃圾是不同类别的概率．
21．（8分）某商店经销的某种商品，每件成本为30元.经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件.假设在一定范围内，售价每降低2元，销售量平均增加4件.如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？
22．（10分）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB=50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A,B,C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒轮⊙A，⊙A与水平地面相切于点D，在拉杆伸长到最大的情况下，当点B距离水平地面34cm时，点C到水平地面的距离CE为55cm.设AF∥ MN.
（1）求⊙A的半径.
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为76cm，∠CAF=64°,求此时拉杆BC的伸长距离（结果精确到1cm，参考数据：sin64°≈0.9,cos64°≈0.39,tan64°≈2.1).
23．（10分）学校决定每班选取名同学参加全国交通安全日细节关乎生命安全文明出行主题活动启动仪式，班主任决定从名同学(小明、小山、小月、小玉)中通过抽签的方式确定名同学去参加该活动．抽签规则：将名同学的姓名分别写在张完全相同的卡片正面，把张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的张卡片中随机抽取一张，记下名字．
（1）小刚被抽中是___事件，小明被抽中是____事件(填不可能、必然、随机)，第一次抽取卡片抽中是小玉的概率是______；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．
24．（10分）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
25．（12分）已知关于的一元二次方程，
（1） 求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2） 当m为何值时，该方程两个根的倒数之和等于1.
26．定义：如图1，在中，把绕点逆时针旋转（）并延长一倍得到，把绕点顺时针旋转并延长一倍得到，连接．当时，称是的“倍旋三角形”，边上的中线叫做的“倍旋中线”．
特例感知：
（1）如图1，当，时，则“倍旋中线”长为______；如图2，当为等边三角形时，“倍旋中线”与的数量关系为______；
猜想论证：
（2）在图3中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理，得AB==5
cosA==
故选：B．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2、D
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【详解】x2−4x−1＝0，
x2−4x＝1，
x2−4x＋4＝1＋4，
（x−2）2＝5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
3、D
【解析】设直线y=x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，则A（1，1），而AB=AC=2，则B（3，1），△ABC为等腰直角三角形，E为BC的中点，由中点坐标公式求E点坐标，当双曲线与△ABC有唯一交点时，这个交点分别为A、E，由此可求出k的取值范围.
解：∵，．．又∵过点，交于点，∴，
∴，∴．故选D.
4、C
【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为
故选C
5、B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后的函数表达式即可；
【详解】解：根据“左加右减，上加下减”得，
二次函数的图像向右平移2个单位为：；
故选B.
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何变换，掌握二次函数与几何变换是解题的关键.
6、C
【解析】试题分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．
∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．
∴旋转角等于125°．故选C．
7、D
【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．
【详解】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵AC＝2AD，
∴，
∴，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积＝×15＝5，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
8、C
【分析】根据左视图即从物体的左面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】如图所示，该几何体的左视图是：
．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．
9、A
【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①小马数+大马数=100；②小马拉瓦数+大马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】设小马有x匹，大马有y匹，由题意得：
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
10、B
【分析】根据不可能事件的概念即可解答，在一定条件下必然不会发生的事件叫不可能事件.
【详解】A. 随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上，可能发生，故本选项错误；
B. 随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1，不可能发生，故本选项正确；
C. 今年冬天黑龙江会下雪，可能发生，故本选项错误；
D. 一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域，可能发生，故本选项错误.
故选B.
【点睛】
本题考查不可能事件，在一定条件下必然不会发生的事件叫不可能事件.
11、B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．
【详解】解：，
解不等式2x−1≤5，得：x≤3，
解不等式8−4x＜0，得：x＞2，
故不等式组的解集为：2＜x≤3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．
12、C
【分析】如图所示，过作⊥y轴于点B，作⊥x轴于点C，根据旋转的性质得出，，从而得出，利用锐角三角函数解出CO与OB即可解答．
【详解】解：如图所示，过作⊥y轴于点B，作⊥x轴于点C，
由旋转可知，，，
∵AO与x轴的夹角为45°，
∴∠AOB=45°，
∴，
∴，
，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及解直角三角形，解题的关键是得出，并熟悉锐角三角函数的定义及应用．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、2.3
【解析】AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长．
【详解】在Rt△ABC中,
∴
∴
即斜坡AB的长为2.3m.
故答案为2.3.
【点睛】
考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.
14、
【分析】先得到抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为．
【详解】抛物线的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的点的坐标为（，1），
所以平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，再考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15、
【分析】本题可利用三角形面积×底×高，直接列式求解．
【详解】∵直角三角形两直角边可作为三角形面积公式中的底和高，
∴该直角三角形面积．
故填：．
【点睛】
本题考查三角形面积公式以及二次根式的运算，难度较低，注意计算仔细即可．
16、
【分析】原方程化成两个方程和，分别计算即可求得其实数根．
【详解】
即或，
当时，，
当时，
∵，，，
∴，
∴方程无实数根，
∴原方程的实数根为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用因式分解法解方程、方程实数根的定义以及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
17、1．
【分析】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b,即可求得AB的横坐标,则AB的长度即可求得,然后利用平行四边形的面积公式即可求解
【详解】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b
把y=b代入y＝得,b=
则x=,即B的横
坐标是
同理可得:A的横坐标是：
则AB=-（）=
则 S =×b=1.
故答案为1
【点睛】
此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于设A的纵坐标为b
18、1
【分析】先运用勾股定理求出另一条边，再运用矩形面积公式求出它的面积．
【详解】∵对角线长为13，一边长为5，
∴另一条边长＝＝12，
∴S矩形＝12×5＝1；
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理，本题关键是运用勾股定理求出另一条边．
三、解答题（共78分）
19、（1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=1．
【解析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=1，由AB∥x轴即可得点B的坐标；
（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．
【详解】（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC=4、AC=3，
∴OA==1，
∵AB∥x轴，且AB=OA=1，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=x，
由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.
20、（1）；（2）．
【分析】（1）一共有3种等可能的结果，恰为类的概率是
（2）根据题意列出所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】（1）
（2）
甲
乙
A
B
C
A
（A,A）
（A,B）
（A,C）
B
（B,A）
（B,B）
（B,C）
C
（C,A）
（C,B）
（C,C）
由表格可知，甲、乙两人投放的垃圾共有9 种结果，每种结果出现的可能性相同，
其中甲、乙投放的垃圾恰是不同类别的有6 种，即（A,B），（A,C），（B,A），（B,C），（C,A），（C,B）,
∴（甲、乙投放的垃圾是不同类别）．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图以及概率的求法.
21、每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【分析】根据题意得出，(售价-成本)(原来的销量+2降低的价格)=1200，据此列方程求解即可.
【详解】解：设每件商品应降价元时，该商店销售利润为1200元.
根据题意，得
整理得：，
解这个方程得：，.
所以，或50
答：每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【点睛】
本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题，弄清题目中的关键概念，找出题目中隐含的等量关系式是解决问题的关键.
22、（1）4；（2）BC=30cm
【分析】（1）作BK⊥AF于点H,交MN于点K,通过△ABH∽△ACG，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，求解即可；
（2）在Rt△ACG中利用正弦值解线段AC长，即可得.
【详解】（1）解：作BK⊥AF于点H,交MN于点K,
则BH∥CG, △ABH∽△ACG,
设圆形滚轮的半径AD长为xcm,
∴
即
解得，x=4
∴⊙A的半径是4cm.
（2）在Rt△ACG中，CG=76-4=72cm,
则sin∠CAF=
∴AC=cm,
∴BC=AC-AB=80-50=30cm.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，构建相似三角形及建立模型是解答此题的关键.
23、（1）不可能；随机；；（2）．
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】(1) 小刚不在班主任决定的名同学(小明、小山、小月、小玉)之中，所以“小刚被抽中”是不可能事件；
“小明被抽中”是随机事件，
第一次抽取卡片有4种等可能结果，其中小玉被抽中的有1种结果，所以第一次抽取卡片抽中是小玉的概率是；
故答案为：不可能、随机、；
(2)解：A表示小明，B表示小山，C表示小月，D表示小玉，
则画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到C有6种，
∴P(抽中小月)=．
【点睛】
本题主要考查了树状图或列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24、（1）1，（2）45°（3），
【解析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
，
，
，，
，
，，
，
，
，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
，
，
，
，
，，
，
，
直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A，D，C，B四点共圆，
，，
，
，设，则，，
c．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，
，
．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25、（2）见解析 （2）
【解析】（2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=2m2+4＞0，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系列式求得m的值即可．
【详解】证明：△=（m+2）2-4×2×（m-2）=m2+2．
∵m2≥0，
∴m2+2＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根为a、b，
利用根与系数的关系得：a+b=-m-2，ab=m-2
根据题意得：=2，
即：＝2
解得：m=-，
∴当m=-时该方程两个根的倒数之和等于2．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．
26、（1）①4，②；（2），证明见解析．
【分析】（1）如图1，首先证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；如图2，过点A作，易证，根据易得结论．
（2）延长到，使得，连接，易证四边形是平行四边形，再证明得，故可得结论．
【详解】（1）如图1，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∵BC=4，
∴，
∵D是的中点，
∴AD=;
如图2，
∵，，
∴
根据“倍旋中线”知等腰三角形，
过A作，垂足为
∴， ，
∵D是等边三角形的边的中点，
且
∴
∴
∴
（2）结论：
理由：如图，延长到，使得，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题属于几何变换综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
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