资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．关于x的一元二次方程(2x－1)2+n2+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
2．关于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3）
B．图象分布在第一、三象限
C．图象关于原点对称
D．图象与坐标轴没有交点
3．为了估计抛掷某枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为次，凸面向下的次数为次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为（ ）
A． B． C． D．
4．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是（ ）
A．35° B．70° C．110° D．140°
6．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学著作，标志着中国古代数学形成了完整的体系.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出了圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺=10寸），则该圆材的直径长为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．寸
7．下列说法正确的是（ ）
A．打开电视机，正在播放广告是必然事件
B．天气预报明天下雨的概率为％，说明明天一定会下雨
C．买一张体育彩票会中奖是可能事件
D．长度分别为3，5，9厘米的三条线段不能围成一个三角形是随机事件
8．如图，某数学兴趣小组将长为，宽为的矩形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为( )
A．点M在⊙C上 B．点M在⊙C内 C．点M在⊙C外 D．点M不在⊙C内
10．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝k2x2+x﹣2k的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，则掷中阴影部分的概率是_____．
12．方程的根是___________．
13．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）
14．如果二次函数的图象如图所示，那么____0 .（填“＞”，“=”，或“＜”）．
15．6与x的2倍的和是负数，用不等式表示为 ．
16．如图，，如果，，，那么___________．
17．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、分别为、的中点，若点刚好落在边上，则______.
18．如图，点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图已知一次函数y1＝2x+5与反比例函数y2＝（x＜0）相交于点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）根据图象，直接写出当y₁≤y₂时x的取值范围．
20．（6分）（1）解方程．
（2）计算：．
21．（6分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．
（1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．
24．（8分）计算：
（1）；
（2）.
25．（10分）如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．
26．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)、B(5，0)，与y轴相交于点C(0，)．
（1）求该函数的表达式；
（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；
①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为 ；
②点P从点A出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE到达点E，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D．当点P到达顶点D所用时间最短时，求出点E的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】先对原方程进行变形，然后进行判定即可．
【详解】解：由原方程可以化为：(2x－1)2=-n2-1
∵(2x－1)2≥0, -n2-1≤-1
∴原方程没有实数根．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键在于对方程的变形，而不是运用根的判别式．
2、B
【解析】反比例函数y＝（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质并结合其对称性对各选项进行判断．
【详解】A、把点（1，﹣3）代入函数解析式，﹣3＝﹣3，故本选项正确，不符合题意，
B、∵k＝﹣2＜0，∴图象位于二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意，
C、反比例函数的图象可知，图象关于原点对称，故本选项正确，不符合题意
D、∵x、y均不能为0，故图象与坐标轴没有交点，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数的性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
3、D
【分析】由向上和向下的次数可求出向下的频率，根据大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值即可得答案．
【详解】∵凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，
∴凸面向下的频率为580÷（420+580）=0.58，
∵大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，
∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为0.58，
故选：D．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值是解题关键．
4、A
【分析】根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．
【详解】图1中阴影部分的面积为：，
图2中的面积为：，
则
故选：A.
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．
5、D
【分析】根据圆周角定理问题可解．
【详解】解：∵∠ABC所对的弧是，
∠AOC所对的弧是，
∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故选D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解答关键是掌握圆周角和同弧所对的圆心角的数量关系．
6、A
【分析】取圆心O，连接OP，过O作OH⊥PQ于H，根据垂径定理求出PH的长，再根据勾股定理求出OP的值，即可求出直径．
【详解】解：取圆心O，连接OP，过O作OH⊥PQ于H，
由题意可知MH=1寸，PQ=10寸，
∴PH=5寸，
在Rt△OPH中，OP2=OH2+PH2，设半径为x，
则x2=（x-1）2+52，
解得：x=13，
故圆的直径为26寸，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
7、C
【分析】根据必然事件，随机事件发生的可能性逐一判断即可．
【详解】A.打开电视机，正在播放广告是随机事件，故错误；
B.天气预报明天下雨的概率为％，明天也不一定会下雨，故错误；
C.买一张体育彩票会中奖是可能事件，故正确；
D.长度分别为3，5，9厘米的三条线段不能围成一个三角形是必然事件，故错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查随机事件和必然事件，掌握随机事件和必然事件发生的可能性是解题的关键．
8、B
【分析】根据已知条件可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：计算即可．
【详解】解：∵矩形的长为6，宽为3，
∴AB=CD=6，AD=BC=3，
∴弧BD的长=18-12=6，
故选：B．
【点睛】
此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式
9、A
【解析】根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】如图，
∵由勾股定理得AB==10cm，
∵CM是AB的中线，
∴CM=5cm，
∴d=r，
所以点M在⊙C上，
故选A．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．
10、A
【分析】先根据已知图象确定反比例函数的系数k的正负，然后再依次确定二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出合适图象即可.
【详解】解：∵反比例函数图象位于第一三象限，
∴k＞0，∴k2＞0，﹣2k＜0，∴抛物线与y轴的交点（0，－2k）在y轴负半轴，
∵k2＞0，∴二次函数图象开口向上，
∵对称轴为直线x＝＜0，∴对称轴在y轴左边，
纵观各选项，只有A选项符合．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数和反比例函数的图象特征，根据反比例函数图象确定k的正负、熟知二次函数的性质是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、．
【分析】分别计算出阴影部分面积和非阴影面积，即可求出掷中阴影部分的概率．
【详解】∵大圆半径为3，小圆半径为2，
∴S大圆(m2)，S小圆(m2)，
S圆环=9π﹣4π=5π(m2)，
∴掷中阴影部分的概率是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了几何概率的求法，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
12、，.
【解析】试题分析：，∴，∴，.故答案为，.
考点：解一元二次方程-因式分解法．
13、3π
【解析】试题分析：此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式，即可求解.
根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为.
考点：扇形面积的计算
14、＜
【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与Y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断abc的正负．
【详解】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0.
∵图象的对称轴在x轴的负半轴上，
∴ .
∵a＞0，
∴b>0.
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0.
∴abc<0.
故答案为<.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．
15、6+2x＜1
【解析】试题分析：6与x的2倍的和为2x+6；和是负数，那么前面所得的结果小于1．
解：x的2倍为2x，
6与x的2倍的和写为6+2x，
和是负数，
∴6+2x＜1，
故答案为6+2x＜1．
16、1
【分析】由于l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例得到，然后把数值代入求出DF．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴
，
即 ，
∴DE=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
17、
【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.
【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，
在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，
∵D为AB的中点，
∴CD= ,
由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，
∵E为MN的中点，
∴CE=,
∵DM⊥BC,DC=DB,
∴CM=BM=,
∴EM=CE-CM=5-3=2，
∵DM=,
∴由勾股定理得，DE=，
∵CD=CE=5，CN⊥DE,
∴DN=EN= ,
∴由勾股定理得，CN=,
∴sin∠DEC= .
故答案为：.
【点睛】
本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.
18、1
【分析】由图可得到点B的纵坐标是如何变化的，让A的纵坐标也做相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的，让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值，相加即可得到所求．
【详解】由题意可知：a=0+（3-1）=1；b=0+（1-1）=1；
∴a+b=1．
故答案为：1.
【点睛】
此题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是得到各点的平移规律．
三、解答题(共66分)
19、（1）A点的坐标为（﹣，2），B点的坐标为（﹣1，3）；（2）x≤﹣或﹣1≤x＜1．
【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组即可得到交点坐标；
（2）写出一次函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围即可．
【详解】解：（1）联立两函数解析式得，，
解得或，
所以A点的坐标为（﹣，2），B点的坐标为（﹣1，3）；
（2）根据图象可得，当y₁≤y₂时x的取值范围是x≤﹣或﹣1≤x＜1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据解析式列出方程组求出交点坐标是解题的关键．
20、（1），；（2）．
【分析】（1）根据题意直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据题意运用幂的运算以及特殊锐角三角函数进行计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知，
，.
（2）
．
【点睛】
本题考查解一元二次方程以及实数的运算，熟练掌握实数运算法则以及解一元二次方程的解法是解本题的关键．
21、（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式求解可得；
（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：（1）根据题意，甲参加第一场比赛时，有（甲，乙）、（甲，丙）两种可能，
∴另一位选手恰好是乙同学的概率；
（2）画树状图如下：
所有可能出现的情况有6种，其中乙丙两位同学参加第一场比赛的情况有2种，
∴选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为＝．
【点睛】
考核知识点：求概率.运用列举法求概率是关键.
22、（1）∠CAD＝35°；（2）．
【分析】(1)由AB=AC，得到=，求得∠ABC=∠ACB，推出∠CAD=∠ACD，得到∠ACB=2∠ACD，于是得到结论；
(2)根据平角的定义得到∠BAC=40°，连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=80°，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】(1)∵AB=AC，
∴=，
∴∠ABC=∠ACB，
∵D为的中点，
∴=，
∴∠CAD=∠ACD，
∴=2，
∴∠ACB=2∠ACD，
又∵∠DAE=105°，
∴∠BCD=105°，
∴∠ACD=×105°=35°，
∴∠CAD=35°；
(2)∵∠DAE=105°，∠CAD=35°，
∴∠BAC=180°-∠DAE-∠CAD=40°，
连接OB，OC，
∴∠BOC=80°，
∴弧BC的长==．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆和外心，圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
23、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OE，BE，根据已知条件证明CD为⊙O的切线，然后再根据切线长定理即可证明DA=DE；
（2） 如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，根据S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE，利用分割法即可求得阴影部分的面积．
【详解】（1）如图，连接OE、BE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE为半径，
∴CD为⊙O的切线，
∵AD切⊙O于点A，
∴DA=DE；
（2）如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，DF=AB=6，
∴DC=BC+AD=4，
∵CF==2，
∴BC﹣AD=2，
∴BC=3，
在直角△OBC中，tan∠BOC==，
∴∠BOC=60°．
在△OEC与△OBC中，
，
∴△OEC≌△OBC（SSS），
∴∠BOE=2∠BOC=120°，
∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣ = 9﹣3π．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、切线长定理，扇形的面积等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.
24、（1）；（2）
【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再按照先算乘方再算乘除后算加减的运算法则计算即可.
（2）先代入特殊角的三角函数值，再按照先算乘除后算加减的运算法则计算即可.
【详解】解：（1）原式
.
（2）原式
.
【点睛】
本题考查了有关特殊的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
25、见解析．
【分析】根据切线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB＝AC．
【点睛】
本题考查的知识点是切线的性质和全等三角形的判定和性质定理，易于理解掌握．
26、（1）；（2）①(2，)；②点E(2，)．
【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣5)＝a(x2﹣4x﹣5)，故﹣5a＝，解得：a＝﹣，即可求解；
（2）①点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，即可求解；
②t＝AE+DE，t＝AE+DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，即可求解．
【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣5)＝a(x2﹣4x﹣5)，
故﹣5a＝，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：；
（2）①函数的对称轴为：x＝2，
点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，
由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝﹣x+，
当x＝2时，y＝，
故答案为：(2，)；
②t＝AE+DE，
过点D作直线DH，使∠EDH＝30°，作HE⊥DH于点H，则HE＝DE，
t＝AE+DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，
则直线A(E)H的倾斜角为：30°，
直线AH的表达式为：y＝ (x+1)
当x＝2时，y＝，
故点E(2，)．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质以及解析式、对称的性质是解题的关键．
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