资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（ ）．
A．8； B．； C．； D．1．
2．国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，今小王取出一年到期的本金和利息时，交纳利息税4.5元，则小王一年前存入银行的钱为（ ）.
A．1000元 B．977.5元 C．200元 D．250元
3．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O交于点D，E，则下列说法一定正确的是（ ）
A．连接BD，可知BD是△ABC的中线 B．连接AE，可知AE是△ABC的高线
C．连接DE，可知 D．连接DE，可知S△CDE：S△ABC＝DE：AB
4．把抛物线向右平移l个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，为的直径，为上一点，弦平分，交于点，，,则的长为（ ）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
7．方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根
8．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
9．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AB=BC C．AC⊥BD D．AC=BD
10．关于抛物线y＝－3（x＋1）2﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上 B．顶点坐标是(1，2)
C．当x＜－1时，y随x的增大而增大 D．对称轴是直线x＝1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若，且，则的值是______．
12．点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是_____．
13．已知线段a，b，c，d成比例线段，其中a=3cm，b=4cm，c=6cm，则d=_____cm；
14．已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可以是__．(写出满足条件的一个k的值即可)
15．抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线________ ．
16．抛物线的对称轴为直线______.
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，若AB＝4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_____．（结果保留π）．
18．如图，在中，平分交于点，垂足为点，则__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，点是的内心，的延长线交于点，交的外接圆于点，连接，过点作直线，使；
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求.
20．（6分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．
（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；
（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．
①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；
②求AM、MN的长；
（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．
21．（6分）游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）.滑道可以看作反比例函数图象的一部分，滑道可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数的顶点，且点B到水面的距离，点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离，与点B的水平距离.
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道的水平距离；
（3）若小明站在平台上相距y轴的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N距离平台，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道上（包括B、D两点），直接写出p的取值范围.
22．（8分）已知有一个二次函数由的图像与x轴的交点为（-2，0），（4，0），形状与二次函数相同，且的图像顶点在函数的图像上（a，b为常数），则请用含有a的代数式表示b.
23．（8分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
24．（8分）如图，为的直径，为上一点，，延长至点，使得，过点作，垂足在的延长线上，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）当时，求图中阴影部分的面积.
25．（10分）为弘扬中华民族传统文化，某市举办了中小学生“国学经典大赛”，比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小华参加“单人组”，他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语”的概率是多少？
（2）小明和小红组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．则恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率是多少？小明和小红都没有抽到“三字经”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
26．（10分）已知：关于x的方程，根据下列条件求m的值．
（1）方程有一个根为1；
（2）方程两个实数根的和与积相等．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】根据线段比例中项的概念，可得，可得，解方程可求．
【详解】解：若是、的比例中项，即，
∴,
∴，
故选：．
【点睛】
本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
2、A
【分析】利息问题是一个难点，要把握好利息、本金、利息税的概念，由利息税可求得利息为4.5÷20%=22.5元，根据年利率又可求得本金．
【详解】解：据题意得：利息为4.5÷20%=22.5元
本金为22.5÷2.25%=1000元．
故选：A．
【点睛】
本题考查利息问题，此题关系明确，关键是分清利息、本金、利息税的概念．
3、B
【分析】根据圆周角定理，相似三角形的判定和性质一一判断即可．
【详解】解：A、连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD是△ABC的高，故本选项不符合题意．
B、连接AE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE是△ABC的高，故本选项符合题意．
C、连接DE．可证△CDE∽△CBA，可得，故本选项不符合题意．
D、∵△CDE∽△CBA，可得S△CDE：S△ABC＝DE2：AB2，故本选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定以及性质，辅助线的作图是解本题的关键
4、D
【分析】根据题意原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，-3），根据抛物线的顶点式求解析式．
【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，-3），
∴平移后抛物线解析式为．
故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线的平移与抛物线解析式的联系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．
5、B
【分析】连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用，得出，从而求出DE的长，最后利用即可得出答案．
【详解】连接BD,CD
∵为的直径
∵弦平分
即
解得
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．
6、D
【分析】只要证明，即可解决问题．
【详解】解:A. ，可得AE：AC=1：1，与已知不成比例，故不能判定
B. ，可得AC：AE=1：1，与已知不成比例，故不能判定；
C选项与已知的，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；
D. ，可得DE//BC，
故选D.
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7、B
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝−7＜0，进而可得出该方程没有实数根．
【详解】
a＝2，b＝-3，c＝2，
∵△＝b2−4ac＝9−4×2×2＝−7＜0，
∴关于x的一元二次方程没有实数根．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
8、C
【解析】试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．
∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C．
9、D
【解析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【详解】添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选D．
【点睛】
考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
10、C
【分析】根据抛物线的解析式得出抛物线的性质，从而判断各选项．
【详解】解：∵抛物线y＝－3（x＋1）2﹣2，
∴顶点坐标是（-1，-2），对称轴是直线x=-1，根据a=-3＜0，得出开口向下，当x＜-1时，y随x的增大而增大，
∴A、B、D说法错误；
C说法正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-20 ；
【分析】由比例的性质得到，从而求出a和b+c的值，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质，正确得到，．
12、（4，﹣3）
【解析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【详解】点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3）．
故答案为（4，﹣3）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
13、3．
【详解】根据题意得：a：b=c：d，
∵a=3cm，b=4cm，c=6cm，
∴3：4=6：d，
∴d=3cm．
考点：3．比例线段；3．比例的性质．
14、1
【解析】在本题中已知“反比例函数的图像在第一、三象限内,”从而得到2-k＞0,顺利求解k的值.
【详解】反比例函数的图像在第一、三象限内可得，2-k＞0
解得:k＜2
不妨取k=1,可得已知反比例函数,即可满足的图像在第一、三象限内.
【点睛】
熟练掌握反比例函数的性质是本题的解题关键.
15、x=1
【解析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=即可求解．
【详解】抛物线y=−2x2+4x−1的对称轴是直线x=.
故答案为：x=1.
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴. 熟记二次函数y=ax2+bx+c的对称轴：x=是解题的关键.
16、
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的对称轴．
【详解】∵抛物线y=x2+8x+2=(x+1)2﹣11，
∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣1．
故答案为：x=﹣1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17、2π．
【分析】由题意根据阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S△AB′C′-S△ABC-扇形CAC′的面积，分别求得：扇形BAB′的面积和S△AB′C′，S△ABC以及扇形CAC′的面积，进而分析即可求解．
【详解】解：扇形BAB′的面积是：，
在直角△ABC中，，
．
扇形CAC′的面积是：，
则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+-扇形CAC′的面积=．
故答案为：2π．
【点睛】
本题考查扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+-扇形CAC′的面积是解题的关键．
18、
【分析】首先解直角三角形得出BC，然后根据判定DE∥AC，再根据平行线分线段成比例即可得出，再利用角平分线的性质，得出CE=DE，然后构建方程，即可得出DE.
【详解】∵
∴
又∵
∴DE∥AC
∴
又∵CD平分
∴∠ACD=∠BCD=∠CDE=45°
∴CE=DE
∴
∴
故答案为.
【点睛】
此题主要考查利用平行线分线段成比例的性质构建方程，即可解题.
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用等弧对等角进行等量转换，得出，最后利用垂径定理即可得证；
（2）利用相似三角形的判定以及性质即可得解.
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵点是的内心，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
又∵（公共角），
∴，
∴，即，
∵，
∴
∴
∴．
【点睛】
此题主要考查圆的切线的证明以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.
20、（1）；（2）①菱形，理由见解析；②AM=，MN＝；（3）1．
【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可．
（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，由MA′∥AB，可得＝，由此构建方程求出x，解直角三角形求出OM即可解决问题．
（3）如图3中，作NH⊥BC于H．想办法求出NH，CM，利用相似三角形，确定比例关系，构建方程解决问题即可．
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，
∴△ANM∽△ACB，
∴＝，
∵AN＝AC
∴＝，
∴AM＝．
（2）①如图2中，
∵NA′∥AC，
∴∠AMN＝∠MNA′，
由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，
∴∠MNA′＝∠A′MN，
∴A′N＝A′M，
∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，
∴四边形AMA′N是平行四边形，
∵MA＝MA′，
∴四边形AMA′N是菱形．
②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，
∵MA′∥AB，
∴
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴AM＝
∴CM＝，
∴CA′＝＝＝，
∴AA′＝＝＝，
∵四边形AMA′N是菱形，
∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，
∴OM＝＝＝，
∴MN＝2OM＝．
（3）如图3中，作NH⊥BC于H．
∵NH∥AC，
∴△ABC∽△NBH
∴＝＝
∴＝＝
∴NH＝，BH＝，
∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝，
∴AM＝AC＝，
∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，
∵CM∥NH，
∴△CPM∽△HPN
∴＝，
∴＝，
∴PC＝1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点．
21、（1），；（2）7m；（3）.
【分析】（1）在题中，BE=2，B到y轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k；
（2）根据B，C的坐标求出二次函数解析式，得到点D坐标，即OD长度再减去AP长度，可得滑道ABCD的水平距离；
（3）由题意可知点N为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为，通过计算水流分别落到点B和点D可以得出p的取值范围.
【详解】解：（1）∵，点B到y轴的距离是5，
∴点B的坐标为.
设反比例函数的关系式为，
则，解得.
∴反比例函数的关系式为.
∵当时， ，即点A的坐标为，
∴自变量x的取值范围为；
（2）由题意可知，二次函数图象的顶点为，点C坐标为.
设二次函数的关系式为，则，解得.
∴二次函数的关系式为.
当时，解得（舍去），
∴点D的坐标为，则.
∴整条滑道的水平距离为：；
（3）p的取值范围为.
由题意可知，点N坐标为（，即，为抛物线的顶点.
设水流所成抛物线的表达式为.
当水流落在点时，由，解得；
当水流落在点时，由，解得.
∴p的取值范围为.
【点睛】
此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难度较大．
错因分析 较难题. 失分原因是（1）没有掌握利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）没有掌握二次函数的基本性质，利用二次函数的性质求得点D的坐标；（3）没有掌握利用顶点式求二次函数的解析式，根据B，D两点的坐标进而求得p的取值范围.
22、或
【解析】根据图象与x轴两交点确定对称轴，再根据图象顶点在函数的图像上可得顶点坐标，设顶点式求抛物线的解析式.
【详解】解：∵y1图象与x轴的交点坐标为（-2，0），（4，0），可得图象对称轴为直线x=1，
∵y1图象顶点在函数的图象上，
∴当x=1时，y=2+b,
∴y1图象顶点坐标为（1,2+b）
∵y1图象与形状相同，
∴设y1=a(x-1)2+2+b，或y1=-a(x-1)2+2+b，
将（-2，0）代入得，
0=9a+2+b,或0=-9a+2+b,
∴或
【点睛】
本题考查二次函数图象的特征，确定顶点坐标后设顶点式求解析式是解答此题的重要思路.
23、 (1)证明见解析(2)2
【解析】试题分析：由角平分线得出,得出，由圆周角定理得出证出再由三角形的外角性质得出即可得出
由得：，得出由圆周角定理得出是直径，由勾股定理求出即可得出外接圆的半径．
试题解析：(1)证明：平分
又
平分
连接，
是直径．
平分
∴半径为
24、（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）连接OB，欲证是的切线，即要证到∠OBE=90°，而根据等腰三角形的性质可得到.再根据直角三角形的性质可得到，从而得到，从而得到，然后根据切线的判定方法得出结论即可.
（2）先根据已知条件求出圆的半径，再根据扇形的面积计算公式计算出扇形OBC的面积，再算出三角形OBC的面积，则阴影部分的面积可求.
【详解】（1）证明：如图，连接
∵,,
∴.
∵,,
∴在中，.
∴
∴在中，.
∴，即.
又∵为圆上一点，
∴是圆的切线.
（2）解：当时，.
∵为圆的直径，
∴.
又∵，
∴.
在中，，即，
解得.
∴，
∴
【点睛】
本题考查了切线的判定方法和弓形面积的计算方法，正确作出辅助线是解题的关键.
25、（2）；（2）见解析.
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的结果数及小明和小红都没有抽到“三字经”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
所以恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词”的概率=
小明和小红都没有抽到“三字经”的概率==
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
26、（1）；（2）
【分析】（1）将1代入原方程，可得关于m的方程，解此方程即可求得答案；
（2）利用根与系数的关系列出方程即可求得答案.
【详解】（1）方程的根1代入方程得：=0，
整理得：=0，
∵
∴
故答案为：
（2）方程两个实数根的和为
方程两个实数根的积为，
依题意得：，即：，
分解因式得：
解得：或2，
当时，原方程为：，方程有实数根；
当时，原方程为：，
，方程没有实数根，
∴不符合题意，舍去；
m的值为：
【点睛】
本题考查了根与系数的关系及求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
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