资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，C(m，﹣3)是图象上的一点，且AC⊥BC，则a的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．对书中某一问题改编如下：意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个正好分完，大和尚共分得（ ）个馒头
A．25 B．72 C．75 D．90
3．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣6 B．π C．π﹣3 D．+π
4．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）
A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm
5．如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
6．反比例函数与二次函数在同一直角坐标系的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
7．将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（ ）
A． B．y＝
C．y＝ D．y＝
8．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0
9．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，轴于点C，交C2于点A，轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A．100° B．72° C．64° D．36°
11．某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，设这两次提价的年平均增长率为x，那么下面列出的方程正确的是（ ）
A．180（1+x）＝300 B．180（1+x）2＝300
C．180（1﹣x）＝300 D．180（1﹣x）2＝300
12．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，河的两岸、互相平行，点、、是河岸上的三点，点是河岸上一个建筑物，在处测得，在处测得，若米，则河两岸之间的距离约为______米（，结果精确到0.1米）（必要可用参考数据：）
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则＝_____．
15．计算:cos45°= ________________
16．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．
17．二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的顶点坐标是_____．
18．已知点与点，两点都在反比例函数的图象上，且<<，那么______________. （填“＞”，“＝”，“＜”）
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，是圆外一点，是圆一点，交圆于点，．
（1）求证：是圆的切线；
（2）已知，，求点到直线的距离．
20．（8分）新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
21．（8分）如图，在A岛周围50海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续正东方向航行40海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据：）
22．（10分）如图，与关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．
求证：FD=BE．
23．（10分）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件．
（1）每件商品涨价多少元时，每星期该商品的利润是4000元？
（2）每件商品的售价为多少元时，才能使每星期该商品的利润最大？最大利润是多少元？
24．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．
(1)求证：△ABD≌△ACF；
(2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．
25．（12分）如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：；（2）若，求MN的长．
26．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克25元，连续两次涨价后每千克水果现在的价格为36元．
（1）若每次涨价的百分率相同．求每次涨价的百分率；
（2）若进价不变，按现价售出，每千克可获利15元，但该水果出现滞销，商场决定降价m元出售，同时把降价的幅度m控制在的范围，经市场调查发现，每天销售量 （千克）与降价的幅度m（元）成正比例，且当时，． 求与 m的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若商场每天销售该水果盈利元，为确保每天盈利最大，该水果每千克应降价多少元？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理AD2+DC2+CD2+BD2=AB2，即m2﹣m(x1+x2)+18+x1x2=0；然后根据根与系数的关系即可求得a的值．
【详解】过点C作CD⊥AB于点D．
∵AC⊥BC，
∴AD2+DC2+CD2+BD2=AB2，
设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2(x1≤x2)，
∴A(x1，0)，B(x2，0)．
依题意有(x1﹣m)2+9+(x2﹣m)2+9=(x1﹣x2)2，
化简得：m2﹣m(x1+x2)+9+x1x2=0，
∴m2m+90，
∴am2+bn+c=﹣9a．
∵(m，﹣3)是图象上的一点，
∴am2+bm+c=﹣3，
∴﹣9a=﹣3，
∴a．
故选：D．
【点睛】
本题是二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解答本题的关键是注意数形结合思想．
2、C
【分析】设有x个大和尚，则有（100-x）个小和尚，根据馒头数=3×大和尚人数+×小和尚人数结合共分100个馒头，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
【详解】解：设有x个大和尚，则有(100−x)个小和尚，
依题意，得：3x+(100−x)=100，
解得：x=25，
∴3x=75；
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用是解题的关键.
3、B
【解析】根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积=，
故选B．
【点睛】
考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．
4、B
【解析】试题分析：解：如图：
根据题意可知：：△AFO∽△ABD，OF=EF=30cm
∴，
∴
∴CD=72cm，
∵tanα=
∴
∴AD==180cm．
故选B．
考点：解直角三角形的应用.
5、A
【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【详解】解：∵1是一元二次方程x1-3x+k=0的一个根，
∴11-3×1+k=0，
解得，k=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
6、C
【分析】先根据反比例函数图象确定k的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可
【详解】A、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，且与y轴交于负半轴，故此选项错误；
B、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误；
C、由反比例函数图象知：k＜0，因此二次函数图象应开口向下，且与y轴交于正半轴，故此选项正确；
D、由反比例函数图象知：k＞0，因此二次函数图象应开口向上，故此选项错误；
故选Ｃ．
【点睛】
本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质，比较基础．
7、A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是：．故答案为A．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移法则，即掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键.
8、B
【解析】分析：根据一元二次方程根的判别式判断即可．
详解：A、x2+6x+9=0.
△=62-4×9=36-36=0，
方程有两个相等实数根；
B、x2=x.
x2-x=0.
△=（-1）2-4×1×0=1＞0.
方程有两个不相等实数根；
C、x2+3=2x.
x2-2x+3=0.
△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，
方程无实根；
D、（x-1）2+1=0.
（x-1）2=-1，
则方程无实根；
故选B．
点睛：本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
9、B
【解析】试题分析：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD=×1=，
∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=4--=1．
故选B．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
10、C
【详解】试题分析：设AC和OB交于点D，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C．
11、B
【分析】本题可先用x表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意表示出第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x的方程．
【详解】当商品第一次提价后，其售价为：180（1+x）；
当商品第二次提价后，其售价为：180（1+x）1．
∴180（1+x）1＝2．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于2即可．
12、C
【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．
【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：
（2）当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、54.6
【分析】过P点作PD垂直直线b于点D，构造出两个直角三角形，设河两岸之间的距离约为x米，根据所设分别求出BD和AD的值，再利用AD=AB+BD得出含x的方程，解方程即可得出答案.
【详解】过P点作PD垂直直线b于点D
设河两岸之间的距离约为x米，即PD=x，则，
可得：
解得：x=54.6
故答案为54.6
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的应用，解题关键是做PD垂直直线b于点D，构造出直角三角形.
14、
【分析】先利用平行条件证明三角形的相似,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方,即可解题.
【详解】解：∵DE∥BC，，
∴,
由平行条件易证△ADE△ABC,
∴S△ADE:S△ABC=1:9,
∴=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,中等难度,熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
15、1
【分析】将cos45°=代入进行计算即可.
【详解】解：cos45°=
故答案为：1.
【点睛】
此题考查的是特殊角的锐角三角函数值，掌握cos45°=是解决此题的关键.
16、
【解析】试题分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．共有正反，正正，反正，反反4种可能，则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为.
故答案为.
考点：概率公式．
17、（1，﹣5）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】解：因为y＝（x﹣1）2﹣5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，﹣5）．
故答案为：（1，﹣5）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键．
18、＜
【分析】根据反比例函数图象增减性解答即可.
【详解】∵反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大
∴图象上点与点 ，且0＜＜
∴＜
故本题答案为：＜.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）作于点，结合，得，进而得，即可得到结论；
（2）作于点，设圆的半径为，根据勾股定理，列出关于的方程，求出的值，再根据三角形的面积法，即可得到答案．
【详解】（1）作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，即：，
∴是圆的切线．
（2）作于点，设圆的半径为，则，
在中，，解得：，
∴，
∵，
∴，
即点到直线的距离为：．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的判定和性质定理以及勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
20、（1）w=﹣2x2+480x﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元（3）销售单价应定为100元
【解析】（1）用每件的利润乘以销售量即可得到每天的销售利润，即 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求所对应的自变量的值，即解方程然后检验即可.
【详解】（1）
w与x的函数关系式为：
（2）
∴当时，w有最大值．w最大值为1．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润1元．
（3）当时，
解得：
∵想卖得快，
不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
21、无触礁的危险．
【分析】根据已知条件解直角三角形OAC可得A岛距离航线的最短距离AC的值，若AC>50，则无触礁危险，若AC<50，则有触礁危险．
【详解】解由题意得：∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACO=90°， OB=40
∠BAC=45°，AC=BC
在Ｒt△OAC中，∠ACO=90°，∠AOC=30°，tan∠AOC=，
∴，
∴，．
因此无触礁的危险．
【点睛】
本题考查解直角三角形，由题意画出几何图形把实际问题转化为解直角三角形是解题关键．
22、详见解析
【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．
【详解】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC．
∵AF=CE，∴OF=OE．
∵在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE（SAS）．∴FD=BE．
23、（1）20；（2）65，1．
【分析】（1）每件涨价x元，则每件的利润是（60-40+x）元，所售件数是（300-10x）件，根据利润=每件的利润×所售的件数列方程，即可得到结论；
（2）设每件商品涨价m元，每星期该商品的利润为W，根据题意先列出函数解析式，再由函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
【详解】解：（1）设每件商品涨价x元，
根据题意得，（60-40+x）（300-10x）=4000，
解得：x1=20，x2=-10，（不合题意，舍去），
答：每件商品涨价20元时，每星期该商品的利润是4000元；
（2）设每件商品涨价m元，每星期该商品的利润为W，
∴W=（60-40+m）（300-10m）=-10m2+100m+6000=-10（m-5）2+1
∴当m=5时，W最大值．
∴60+5=65（元），
答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为1元．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
24、 (1)证明见解析； (1)
【分析】（1）由题意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠DAB＝∠FAC，进而可证AB＝AC，然后问题可证；
（1）由（1）可得△ABD≌△ACF，则有∠ABD＝∠ACF，进而可得∠ACF＝135°，然后根据正方形的性质可求解．
【详解】(1)证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABD≌△ACF(SAS)；
(1)解：由(1)知△ABD≌△ACF，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠ACF＝135°，
由(1)知∠ACB＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵正方形ADEF边长为，
∴DF＝4，
∴OC＝DF＝×4＝1．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长．
【详解】证明：（1）∵DB平分，
，且，
（2）
，且
，且，
，
且
【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
26、（1）20%；（2）（3）商场为了每天盈利最大，每千克应降价7元
【分析】（1）设每次涨价的百分率为x，根据题意列出方程即可；
（2）根据题意列出函数表达式即可；
（3）根据等量关系列出函数解析式，然后根据解析式的性质，求出最值即可．
【详解】解：（1）设每次涨价的百分率为x，根据题意得：25（1+x）2＝36，
解得：（不合题意舍去）
答：每次涨价的百分率20%；
（2）设，
把，代入得，
∴k=30，
∴y与m的函数解析式为；
（3）依题有，
∵抛物线的开口向下，对称轴为，
∴当时，w随m的增大而增大，又，
∴当时，每天盈利最大，
答：商场为了每天盈利最大，每千克应降价7元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意得出等量关系是解题关键．
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