资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或－2 B．2 C．－2 D．0
2．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径r=6，若d是方程x2–x–6=0的一个根，则直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交
C．相离 D．不能确定
4．下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1
5．2019年教育部等九部门印发中小学生减负三十条：严控书面作业总量，初中家庭作业不超过90分钟．某初中学校为了尽快落实减负三十条，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．下列关于40名同学每天做书面家庭作业的时间说法中，错误的是（ ）
书面家庭作业时间（分钟）
70
80
90
100
110
学生人数（人）
4
7
20
7
2
A．众数是90分钟 B．估计全校每天做书面家庭作业的平均时间是89分钟
C．中位数是90分钟 D．估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人
6．若点，，在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ）
A．-3 B．0 C．3 D．9
8．如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
9．在平面直角坐标系中，将关于轴的对称点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数中属于二次函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2-1 C．y＝ D．y＝x2＋＋1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．二次函数的图象如图所示，若点，是图象上的两点，则____(填“>”、“<”、“=”).
12．若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是__________．
13．用配方法解方程时，可配方为，其中________．
14．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为______．
15．已知反比例函数的图象如图所示，则_____ ，在图象的每一支上，随的增大而_____．
16．__________．
17．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______．
18．如图，正六边形ABCDEF中的边长为6，点P为对角线BE上一动点，则PC的最小值为_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
（1）随机抽取一张卡片，则抽到数字“2”的概率是___________；
（2）从四张卡片中随机抽取2张卡片，请用列表或画树状图的方法求抽到“数字和为5”的概率．
20．（6分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣2）．
（I）求此反比例函数的解析式；
（II）当y≥2时，求x的取值范围．
21．（6分）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径，高，求这个圆锥形漏斗的侧面积．
22．（8分）某超市销售一种商品，成本每千克30元，规定每千克售价不低于成本，且不高于70元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
40
50
60
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入−成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
23．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．
（1）当AE＝8时，求EF的长；
（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
24．（8分）已知：、是圆中的两条弦，连接交于点，点在上，连接，．
（1）如图1，若，求证：弧弧；
（2）如图2，连接，若，求证：；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长交圆于点，点在上，连接，若，，，求线段的长．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴、两点（在的左侧），且，，与轴交于，抛物线的顶点坐标为.
（1）求、两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点作直线轴，交轴于点，点是抛物线上、两点间的一个动点（点不与、两点重合），、与直线分别交于点、，当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.
26．（10分）如图，为了测量上坡上一棵树的高度，小明在点利用测角仪测得树顶的仰角为，然后他沿着正对树的方向前进到达点处，此时测得树顶和树底的仰角分别是和．设，且垂足为．求树的高度(结果精确到，)．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|=1，且m+1≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：|m|=1，且m+1≠0，
解得：m=1．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是1”；“二次项的系数不等于0”．
2、B
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．
【详解】A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B
【点睛】
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.
3、B
【分析】先解方程求得d，根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系即可解题．
【详解】解方程：x2–x–6=0，即：,解得，或(不合题意，舍去)，
当时，，则直线与圆的位置关系是相交；
故选：B
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离和半径的大小关系．没有交点，则；一个交点，则；两个交点，则．
4、A
【分析】依据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A. 3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故A正确；
B. ＋－2＝0是分式方程，故B错误；
C. 当a=0时,方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故C错误；
D. x2+2x=x2-1，整理得2x=-1是一元一次方程，故D错误；
故选A.
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.
5、D
【分析】利用众数、中位数及平均数的定义分别确定后即可得到本题的正确的选项．
【详解】解：A、书面家庭作业时间为90分钟的有20人，最多，故众数为90分钟，正确；
B、共40人，中位数是第20和第21人的平均数，即＝90，正确；
C、平均时间为：×（70×4＋80×7＋90×20＋100×8＋110）＝89，正确；
D、随机调查了40名同学中，每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有8＋1＝9人，故估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人说法错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于统计基础题，比较简单．
6、D
【分析】由于反比例函数的系数是－8，故把点A、B、C的坐标依次代入反比例函数的解析式，求出的值即可进行比较.
【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上，
∴，，，
又∵，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关键.
7、D
【解析】解：，由①得：x≤2a+4，由②得：x＜﹣2，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即，符合题意；
把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意；
把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即，符合题意；
把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意；
把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即，符合题意；
把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合题意；
把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即，符合题意；
把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合题意，∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为1．故选D．
8、C
【分析】连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．
【详解】解：连接，，如图，
，
为的直径，
点在上，
，
，，，，，
设，
，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离最大，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的最大值是1．
故选：．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理等，作出辅助线，得到是解题的关键．
9、C
【分析】先求出点B的坐标，再根据旋转图形的性质求得点的坐标
【详解】由题意，关于轴的对称点的坐标为（-1，-4），
如图所示，点绕原点逆时针旋转得到，过点B’作x轴的垂线，垂足为点C
则OC=4，B’C=1，
所以点B’的坐标为
故答案选：C.
【点睛】
本题考查平面直角坐标系内图形的旋转，把握旋转图形的性质是解题的关键.
10、B
【解析】根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A. y＝x是正比例函数，不符合题意；
B. y＝2x2-1是二次函数，符合题意；
C. y＝不是二次函数，不符合题意；
D. y＝x2＋＋1不是二次函数，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、>
【分析】利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．
【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，且开口向下，
∴点，都在对称轴右侧的抛物线上，
∴＞．
故答案为＞．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A和点B都在对称轴的右侧．
12、
【解析】试题分析：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴这两个相似三角形的相似比为1：1，∴这两个相似三角形的周长比是1：1，故答案为1：1．
考点：相似三角形的性质．
13、-6
【分析】把方程左边配成完全平方，与比较即可.
【详解】，
，
，
可配方为，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查用配方法来解一元二次方程，熟练配方是解决此题的关键.
14、
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5=Fl，
则．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
15、, 增大.
【解析】根据反比例函数的图象所在的象限可以确定k的符号；根据图象可以直接回答在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
【详解】根据图象知，该函数图象经过第二、四象限，故k＜0；
由图象可知，反比例函数y＝ 在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
故答案是：＜；增大．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象．解题时，采用了“数形结合”的数学思想．
16、
【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
17、x＞
【详解】解：把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y=x2+bx+c中，得：，
解得：，
那么二次函数的解析式是：，
函数的对称轴是：，
因而当y随x的增大而增大时，
x的取值范围是：．
故答案为．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质，利用数形结合思想解题是关键．
18、.
【分析】如图，过点C作CP⊥BE于P，可得CG为PC的最小值，由ABCDEF是正六边形，根据多边形内角和公式可得∠GBC=60°，进而可得∠BCG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出PC的长.
【详解】如图，过点C作CG⊥BE于G，
∵点P为对角线BE上一动点，
∴点P与点G重合时，PC最短，即CG为PC的最小值，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC==120°，
∴∠GBC=60°，
∴∠BCG=30°，
∵BC=6，
∴BG=BC=3，
∴CG===.
故答案为：
【点睛】
本题考查正六边形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，根据垂线段最短得出点P的位置，并熟练掌握多边形内角和公式是解题关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）P= ．
【解析】（1）根据概率公式直接解答；
（2）画出树状图，找到所有可能的结果，再找到抽到“数字和为5”的情况，即可求出其概率．
【详解】解：（1）∵四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，
∴随机抽取一张卡片，抽到数字“2”的概率＝；
（2）随机抽取第一张卡片有4种等可能结果，抽取第二张卡片有3种等可能结果,列树状图为：
所有可能结果：（1，2），（１，３），（１，４），（２，１），
（２，３），（２，４），（３，１），（３，２），
（３，４），（4，１）（４，２），（４，３），
总的结果共12种，数字和为“5”的结果有4种：（1，4）, （2，3）, （3，2）, （4，1）
抽到数字和为“5”的概率P= ．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20、 (I) y＝﹣；(II) 当y≥2时，﹣2≤x＜1
【分析】（I）利用待定系数法可得反比例函数解析式；
（II）利用反比例函数的解析式不求出的点，利用函数图象即可求得答案.
【详解】（I）设解析式为y＝，
把点（2，﹣2）代入解析式得，
﹣2＝，
解得：k＝﹣4
∴反比例函数的解析式y＝﹣；
（II）当y＝2时，x＝﹣2，
如图，
所以当y≥2时，﹣2≤x＜1．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确求出函数解析式，画出函数图象的草图．
21、
【解析】首先根据底面半径OB=3cm，高OC=4cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】解：根据题意，由勾股定理可知．
,
圆锥形漏斗的侧面积．
【点睛】
此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
22、（1）y=﹣2x+180；（2）W=﹣2x2+240x﹣5400；（3）当x=60时，W取得最大值，此时W=1．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式；
（3）将所得函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
【详解】（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
则 ，
解得k=-2,b=180.
即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+180；
（2）由题意可得，W=（x﹣30）（﹣2x+180）=﹣2x2+240x﹣5400，
即W与x之间的函数表达式是W=﹣2x2+240x﹣5400；
（3）∵W=﹣2x2+240x﹣5400=﹣2（x﹣60）2+1，30≤x≤70，
∴当30≤x≤60时，W随x的增大而增大；
当60≤x≤70时，W随x的增大而减小；
当x=60时，W取得最大值，此时W=1．
【点睛】
考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
23、（1）1；（2）①y=﹣x2+3x（0＜x＜12）；②x=6时，y有最大值为9；（3）S=
【分析】(1)由EF∥BC,可得,由此即可解决问题;
(2)①先根据点E为AB上一点得出自变量x的取值范围,根据30度的直角三角形的性质求出EF和AF的长,在在Rt△ACB中,根据三角函数求出AC的长,计算FC的长,利用矩形的面积公式可求得S的函数关系式;
②把二次函数的关系式配方可以得结论;
(3)分两种情形分别求解即可解决问题.
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，
∴BC=AB=6，AC=BC=6，
∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥BC，
∴=，
∴=，
∴EF=1．
（2）①∵AB=12，AE=x，点E与点A、点B均不重合，
∴0＜x＜12，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AFE中，∠A=30°，
∴EF=x，
AF=cos30°•AE=x，
在Rt△ACB中，AB=12，
∴cos30°=，
∴AC=12×=6，
∴FC=AC﹣AF=6﹣x，
∴y=FC•EF=x（6﹣x）=﹣x2+3x（0＜x＜12）；
②y=x（12﹣x）=﹣（x﹣6）2+9，
当x=6时，S有最大值为9；
（3）①当0≤t＜3时，如图1中，重叠部分是五边形MFPQN，
S=S矩形EFPQ﹣S△EMN=9﹣t2=﹣t2+9．
②当3≤t≤6时，重叠部分是△PBN，
S=（6﹣t）2，
综上所述，S=
【点睛】
本题考查二次函数与三角形综合的知识，难度较大，需综合运用所学知识求解.
24、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）通过角度之间的关系，求得，得证，即可证明 ；
（2）通过证明≌，求得，，可得为等边三角形，可得，，即可证明；
（3）延长交于点，延长到点，使，连接，，设，先证明≌，可得，设，解得，，过点作，在中，解得，故在中， ，解得，即可求出线段BG的长度．
【详解】（1）证明：
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）证明：
∵，
∵
∴
在和中
∵ ，，
∴≌
∴，
∴
∴为等边三角形
∵，
∴
（3）证明：延长交于点，延长到点，使，连接，
设，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
在和中
∵， ，
∴≌
∴
∵
∴
∴
设，
∴，，
在中，，，，
解得，
过点作，在中，
∵ ，
∴，，
在中， ，
【点睛】
本题考查了三角形和圆的综合问题，掌握圆心角定理、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、锐角三角函数是解题的关键．
25、（1）点坐标，点坐标；（2）；（3）是定值，定值为8
【分析】（1）由OA、OB的长可得A、B两点坐标；
（2）结合题意可设抛物线的解析式为，将点C坐标代入求解即可；
（3）过点作轴交轴于，设，可用含t的代数式表示出，，的长，利用，的性质可得EF、EG的长，相加可得结论.
【详解】（1）由抛物线交轴于、两点（在的左侧），且，
，得
点坐标，点坐标；
（2）设抛物线的解析式为，
把点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为
；
（3）（或是定值），理由如下：
过点作轴交轴于，如图
设，
则，，
，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴
∴
【点睛】
本题考查了抛物线与三角形的综合，涉及的知识点主要有抛物线的解析式、相似三角形的判定和性质，灵活利用点坐标表示线段长是解题的关键.
26、15.7米
【分析】设，在Rt△BCQ中可得，然后在Rt△PBC中得，进而得到PQ=，，然后利用建立方程即可求出，得到PQ的高度．
【详解】解：设，
∵在Rt△BCQ中，，
∴
又∵在Rt△PBC中，，
∴
∴，
又∵，
∴
∵
∴，解得：
∴
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
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