资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图是由5个完全相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A． B． C． D．
3．随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
4．下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（ ）
A． B． C． D．
5．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一个，周二个，周三个，周四个，周五个则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是
A．180个，160个 B．170个，160个
C．170个，180个 D．160个，200个
6．在以下四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
7．如图，线段是⊙的直径，弦，垂足为，点是上任意一点， ,则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若数据，，…，的众数为，方差为，则数据，，…，的众数、方差分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．如图，是的外接圆，是的直径，若的半径是，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，二次函数y＝x（x﹣3）（0≤x≤3）的图象，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……若P（2020，m）在这个图象连续旋转后的所得图象上，则m＝_____．
12．如图，已知OP平分∠AOB，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．CP＝，PD＝1．如果点M是OP的中点，则DM的长是_____．
13．方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，点，作第一个正方形且点在上，点在上，点在上；作第二个正方形且点在上，点在上，点在上…，如此下去，其中纵坐标为______，点的纵坐标为______．
15．在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，以点为位似中心，相们比为，把缩小，得到，则点的对应点的坐标为_____．
16．已知且为锐角，则_____．
17．对于两个不相等的实数a、b，我们规定max{a、b}表示a、b中较大的数，如max{1，1}＝1．那么方程max{1x，x﹣1}＝x1﹣4的解为 ．
18．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是_____________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D，以AB上点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=6，劣弧DE的长为π，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）.
20．（6分）用一块边长为的正方形薄钢片制作成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合起来(如图②)．若做成的盒子的底面积为时，求截去的小正方形的边长．
21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
22．（8分）如图，为线段的中点，与交于点，，且交于，交于.
（1）证明：.
（2）连结，如果，，，求的长.
23．（8分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的长．
24．（8分）如图1，四边形ABCD中，，，点P为DC上一点，且，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．
证明：∽；
若，求的值；
如图2，若，设的平分线AG交直线BP于当，时，求线段AG的长．
25．（10分）如图，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，为直线下方抛物线上一点，连接，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点的坐标；如果没有，请说明理由．
（3）为轴右侧抛物线上一点，为对称轴上一点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
26．（10分）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=∠COB即可解决问题.
【详解】如图，连接OC，
∵AB=14，BC=1，
∴OB=OC=BC=1，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠CDB=∠COB=30°，
故选B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．
2、B
【分析】主视图就是从正面看，根据横竖正方形的个数可以得到答案.
【详解】主视图就是从正面看，视图有2层，一层3个正方形，二层左侧一个正方形.
故选B
【点睛】
本题考核知识点：三视图.解题关键点：理解三视图意义.
3、C
【解析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．
【详解】随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：
至少有一次正面朝上的概率是．
故选C．
【点睛】
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4、A
【分析】根据反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k＞0，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限；
B、不确定；
C、不确定；
D、不确定．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．
5、B
【解析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；
160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；
故选B．
【点睛】
此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6、B
【分析】旋转180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7、D
【分析】只要证明∠CMD=△COA，求出cos∠COA即可.
【详解】如图1中，连接OC,OM.
设OC=r,
∴ ,
∴r=5,
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴，
∴∠AOC=∠COM,
∵∠CMD=∠COM，
∴∠CMD=∠COA，
∴cos∠CMD=cos∠COA= .
【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会转化的思想思考问题.
8、C
【分析】根据众数定义和方差的公式来判断即可，数据，，…，原来数据相比都增加2，,则众数相应的加2，平均数都加2，则方差不变．
【详解】解：∵数据，，…，的众数为，方差为，
∴数据，，…，的众数是a+2，这组数据的方差是b．
故选：C
【点睛】
本题考查了众数和方差，当一组数据都增加时，众数也增加，而方差不变．
9、A
【分析】连接CD，得∠ACD=90°，由圆周角定理得∠B=∠ADC，进而即可得到答案．
【详解】连接CD，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∵的半径是，
∴AD=3，
∵∠B=∠ADC，
∴，
故选A．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理以及正弦三角函数的定义，掌握圆周角定理以及正弦三角函数的定义，是解题的关键．
10、C
【解析】从上往下看，总体上是一个矩形，中间隔着一个竖直的同宽的小矩形，而挖空后长方体内的剩余部分用虚线表示为左右对称的两条靠近宽的线，选项C中图象便是俯视图.
故选：C.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【分析】x（x﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A1＝A1A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣1019）（x﹣1011），然后计算自变量为1010对应的函数值即可．
【详解】当y＝0时，x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x1＝3，则A1（3，0），
∵将C1点A1旋转180°得C1，交x轴于点A1；将C1绕点A1旋转180°得C3，交x轴于点A3；……
∴OA1＝A1A1＝A1A3＝…＝A673A674＝3，
∴抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣1019）（x﹣1011），
把P（1010，m）代入得m＝﹣（1010﹣1019）（1010﹣1011）＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律的基本解题方法.
12、2．
【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP，PC=PD=1，∠PDO=∠PEO=90°，由勾股定理得出，由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP，得出∠OPC=∠BOP，证出，得出OE=CE+CO=8，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
∴∠AOP＝∠BOP，PC＝PD＝1，∠PDO＝∠PEO＝90°，
∴，
∵CP∥OA，
∴∠OPC＝∠AOP，
∴∠OPC＝∠BOP，
∴，
∴，
∴，
在Rt△OPD中，点M是OP的中点，
∴；
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，证明CO=CP是解题的关键．
13、1
【解析】试题解析：x2+2x-1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+1=2，
（x+1）2=2，
则m=1；
故答案为1．
14、
【分析】先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．
【详解】解：设直线AB的解析式y=kx+b
则有： ，解得：
所以直线仍的解析式是：
设C1的横坐标为x，则纵坐标为
∵正方形OA1C1B1
∴x=y，即，解得
∴点C1的纵坐标为
同理可得：点C2的纵坐标为=
∴点Cn的纵坐标为．
故答案为：，．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
15、或
【解析】利用位似图形的性质可得对应点坐标乘以和-即可求解.
【详解】解：以点为位似中心，相似比为，把缩小，点的坐标是
则点的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键.
16、2
【分析】根据特殊角的三角函数值，先求出，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴；
∴
=
=
=
=；
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，零次幂，解题的关键是正确求出，熟练掌握运算法则进行计算.
17、
【分析】直接分类讨论得出x的取值范围，进而解方程得出答案．
【详解】解：当1x＞x﹣1时，
故x＞﹣1，
则1x＝x1﹣4，
故x1﹣1x﹣4＝0，
（x﹣1）1＝5，
解得：x1＝1+，x1＝1﹣；
当1x＜x﹣1时，
故x＜﹣1，
则x﹣1＝x1﹣4，
故x1﹣x﹣1＝0，
解得：x3＝1（不合题意舍去），x4＝﹣1（不合题意舍去），
综上所述：方程max{1x，x﹣1}＝x1﹣4的解为：x1＝1+，x1＝1﹣．
故答案为：x1＝1+，x1＝1﹣．
【点睛】
考核知识点:一元二次方程.理解规则定义是关键.
18、
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数为3，
故两人一起做同样手势的概率是的概率为．
故答案为：．
【点睛】
本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题(共66分)
19、（1）直线BC与⊙O相切，理由详见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义可得∠DAC=∠DAB，根据等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，即可证明OD//AC，根据平行线的性质可得，可得直线BC与⊙O相切；
（2）利用弧长公式可求出∠DOE=60°，根据∠DOE的正切可求出BD的长，利用三角形和扇形的面积公式即可得答案.
【详解】（1）直线与⊙O相切，理由如下：
连接，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线与⊙O相切.
（2）∵，劣弧的长为，
∴，
∴
∵，
∴，
∴.
∴BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积为.
【点睛】
本题考查切线的判定、弧长公式及扇形面积，经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线的圆的切线；n°的圆心角所对的弧长为l=（r为半径）；圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=（r为半径）；熟练掌握弧长公式及扇形面积公式是解题关键.
20、截去的小正方形长为
【分析】根据题意设截去的小正方形长为，并由题意列方程与解出方程即可.
【详解】解:设截去的小正方形长为，依题意列方程
解得:(舍去)
答:截去的小正方形长为.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和一元二次方程的应用，只要理解题意并根据题干所给关系列出方程即可作出正确解答．
21、（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）方法1、先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出结论；
方法2、判断出OP是CD的垂直平分线，即可得出结论；
（2）先求出∠COD＝60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论.
【详解】解：（1）方法1、连接OC，OD，
∴OC＝OD，
∵PD，PC是⊙O的切线，
∵∠ODP＝∠OCP＝90°，
在Rt△ODP和Rt△OCP中，，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL)，
∴∠DOP＝∠COP，
∵OD＝OC，
∴OP⊥CD；
方法2、∵PD，PC是⊙O的切线，
∴PD＝PC，
∵OD＝OC，
∴P，O在CD的中垂线上，
∴OP⊥CD
（2）如图，连接OD，OC，
∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，
∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，
∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，
∴∠COD＝60°，
∵OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，
在Rt△ODP中，OP＝＝．
【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定(HL)和性质和锐角三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定(HL)和性质和锐角三角函数.
22、（1）见解析；（2）
【分析】（1）由，可证∠AFM=∠BMG，从而可证；
（2）当时，可得且，再根据可求BG，从而可求CF，CG，进而可求答案.
【详解】（1）证明：∵
∴,
又∵
∴.
解：（2）∵，
∴且
∵为的中点，
∴
又∵,
∴
∴
∴,
∴
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握相似三角形的相关知识与勾股定理是解题的关键.
23、（1）见解析；（2）DB=5.
【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似即可证得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长，进而可得结果.
【详解】解：（1）∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；
（2）∵△ABC∽△ACD，∴，即，解得AB=9，∴DB=AB－AD=5.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.
24、（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】由余角的性质可得，即可证∽；
由相似三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求的值；
由题意可证∽，可得，可求，由等腰三角形的性质可得AE平分，可证，可得是等腰直角三角形，即可求AG的长．
【详解】证明：，
又，
又，
∽
∽，
又，，
如图，延长AD与BG的延长线交于H点
，
∽
∴
，由可知≌
，
，
代入上式可得，
∽，
，，
∴
，，
平分
又平分，
，
是等腰直角三角形．
∴.
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是添加恰当辅助线构造相似三角形．
25、（1）；（2）最大值为，点的坐标为；（3）点的坐标为，．
【分析】（1）先设顶点式，再代入顶点坐标得出，最后代入计算出二次项系数即得；
（2）点的坐标为，先求出B、C两点，再用含m的式子表示出的面积，进而得出面积与m的二次函数关系，最后根据二次函数性质即得最值；
（3）分成Q点在对称轴的左侧和右侧两种情况，再分别根据和列出方程求解即得．
【详解】（1）设抛物线的解析式为．
∵顶点坐标为
∴．
∵将点代入，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）如图1，过点作轴，垂足为，交于点．
∵将代入，解得，
∴点的坐标为．
∵将代入，解得
∴点C的坐标为
设直线的解析式为
∵点的坐标为，点的坐标为
∴，解得
∴直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为
∴
过点作于点
∵
∴
故当时，的面积有最大值，最大值为
此时点的坐标为
（3）点的坐标为，．
分两种情况进行分析：①如图2，过点作轴的平行线，分别交轴、对称轴于点，
设点的坐标为
∵
∴
∴在和中
∴
∴
∵，
∴
解得（舍去），
∴点的坐标为．
②如图3，过点，作轴的平行线，过点作轴的平行线，分别交，于点，．
设点的坐标
∵由①知
∴
∵，
∴
解得，（舍去)
∴点的坐标为
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数最值的应用、解一元二次方程、全等三角形的判定及性质，解题关键是熟知二次函数在实数范围的最值在顶点取到，一线三垂直的全等模型，二次函数顶点式：．
26、（1）500件；（2）利润的最大值为1；（3）每月的成本最少需要10000元．
【分析】(1)设函数关系式为y=kx+b，把(40，600)，(75，250)代入，列方程组即可．
(2)根据利润=每件的利润×销售量，列出式子即可．
(3)思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S，构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】(1)设函数关系式为y=kx+b，
把(40，600)，(75，250)代入可得，
解得：，
∴y=﹣10x+1000，
当x=50时，y=﹣10×50+1000=500(件)；
(2)根据题意得，W=(x﹣40)(﹣10x+1000)
=﹣10x2+1400x﹣40000
=﹣10(x﹣70)2+1．
当x=70时，利润的最大值为1；
(3)由题意，
解得：60≤x≤75，
设成本为S，
∴S=40(﹣10x+1000)=﹣400x+40000，
∵﹣400＜0，
∴S随x增大而减小，
∴x=75时，S有最小值=10000元，
答：每月的成本最少需要10000元．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数的实际应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
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