资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A． B． C． D．
2．若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知二次函数，当时随的增大而减小，且关于的分式方程的解是自然数，则符合条件的整数的和是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．已知如图中，点为，的角平分线的交点，点为延长线上的一点，且，，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，空心圆柱的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
7．下列结论中，错误的有：（ ）
①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；
③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．1．
9．如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是( )
A．(，0) B．(1，0) C．(2，0) D．(3，0)
10．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝_____m．
12．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为__m．
13．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．
14．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为_____．
15．如果是一元二次方程的一个根，那么的值是__________.
16．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形成为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为 ．
17．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长.
18．计算： sin260°+cos260°﹣tan45°=________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，的面积为.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点坐标和反比例函数的解析式.
20．（6分）解分式方程：．
21．（6分）平行四边形的对角线相交于点，的外接圆交于点且圆心恰好落在边上，连接，若.
（1）求证：为切线.
（2）求的度数.
（3）若的半径为1，求的长.
22．（8分）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点，，如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，试求出点，的坐标，并判断的形状；
（3）点是直线上的一个动点（点不与点和点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，点在直线上，距离点为个单位长度，设点的横坐标为，的面积为，求出与之间的函数关系式．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，动点E、F分别在边AB、AD上，且AF=AE．将△AEF绕点E顺时针旋转10°得到△A'EF'，设AE=x，△A'EF'与矩形ABCD重叠部分面积为S，S的最大值为1．
（1）求AD的长；
（2）求S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
24．（8分）如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：；（2）若，求MN的长．
25．（10分）如图，已知是的外接圆，是的直径，为外一点，平分，且．
（1）求证：；
（2）求证：与相切．
26．（10分）自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线表示．
（1）________；
（2）求图1表示的售价与时间的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
【详解】∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE==3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选A．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
2、D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到答案
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式求参数的值.
3、B
【分析】根据平均年增长率即可解题.
【详解】解：设这两年的年净利润平均增长率为x，依题意得：
故选B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉平均年增长率概念是解题关键.
4、A
【分析】由二次函数的增减性可求得对称轴，可求得a取值范围，再求分式方程的解，进行求解即可．
【详解】解：
∵y=-x2+（a-2）x+3，
∴抛物线对称轴为x= ，开口向下，
∵当x＞2时y随着x的增大而减小，
∴≤2，解得a≤6，
解关于x的分式方程可得x=，且x≠3，则a≠5，
∵分式方程的解是自然数，
∴a+1是2的倍数的自然数，且a≠5，
∴符合条件的整数a为：-1、1、3，
∴符合条件的整数a的和为：-1+1+3=3，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，由二次函数的性质求得a的取值范围是解题的关键．
5、C
【分析】连接BO，证O是△ABC的内心，证△BAO≌△DAO，得∠D=∠ABO，根据三角形外角性质得∠ACO=∠BCO=∠D+∠COD=2∠D，即∠ABC=∠ACO=∠BCO，再推出∠OAD+∠D=180°-138°=42°，得∠BAC+∠ACO=84°，根据三角形内角和定理可得结果.
【详解】连接BO，由已知可得
因为AO,CO平分∠BAC和∠BCA
所以O是△ABC的内心
所以∠ABO=∠CBO=∠ABC
因为AD=AB,OA=OA,∠BAO=∠DAO
所以△BAO≌△DAO
所以∠D=∠ABO
所以∠ABC=2∠ABO=2∠D
因为OC=CD
所以∠D=∠COD
所以∠ACO=∠BCO=∠D+∠COD=2∠D
所以∠ABC=∠ACO=∠BCO
因为∠AOD=138°
所以∠OAD+∠D=180°-138°=42°
所以2（∠OAD+∠D）=84°
即∠BAC+∠ACO=84°
所以∠ABC+∠BCO
=180°-（∠BAC+∠ACO）
=180°-84°
=96°
所以∠ABC=96°=48°
故选：C
【点睛】
考核知识点：三角形的内心.利用全等三角形性质和角平分线性质和三角形内外角定理求解是关键.
6、D
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线．
7、B
【分析】根据相似多边形的定义判断①⑤，根据相似图形的定义判断②，根据相似三角形的判定判断③④.
【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，菱形之间的对应角不一定相等，故①错误；
放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似，②错误；
等边三角形的角都是60°，一定相似，③正确；
钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似，④正确；
矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例，故⑤正确.
有2个错误，故选B.
【点睛】
本题考查相似图形的判定，注意相似三角形与相似多边形判定的区别.
8、C
【分析】连接OD交AC于点G，根据垂径定理以及弦、弧之间的关系先得出DF=AC，再由垂径定理及推论得出DE的长以及OD⊥AC，最后在Rt△DOE中，根据勾股定理列方程求得半径r，从而求出结果．
【详解】解：连接OD交AC于点G，
∵AB⊥DF，∴，DE=EF．
又点是弧的中点，
∴，OD⊥AC，
∴，
∴AC=DF=12，
∴DE=2．
设的半径为r，
∴OE=AO-AE=r-3，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD2，
∴(r-3)2+22=r2，
解得r=．
∴的直径为3．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查垂径定理及其推论，弧、弦之间的关系以及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，是中考常考题型．
9、B
【解析】根据图表，可得抛物线y=a(x+1)2+2与x轴的交点坐标为(−3，0)；将(−3，0)代入y=a(x+1)2+2，可得a(−3+1)2+2=0，解得a=−；所以抛物线的表达式为y=−(x+1)2+2；当y=0时，可得−(x+1)2+2=0，解得x1=1，x2=−3，所以该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是(1，0)．
故选 B.
10、D
【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此，四个选项中只有D符合．故选D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.21，将A（0，1.21）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长．
【详解】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.21
∵点A（0，1.21）在抛物线上
∴1.21＝a（0﹣1）2+2.21
解得：a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.21
令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.21
解得：x＝2.1或x＝﹣0.1（舍去）
∴点B坐标为（﹣2.1，0）
∴OB＝OC＝2.1
∴CB＝1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．
12、．
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【详解】如图，
∵AB＝10米，tanA＝＝．
∴设BC＝x，AC＝2x，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即100＝x2+4x2，解得x＝2，
∴AC＝4米．
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
13、3或
【解析】分两种情况：与直线CD相切、与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得.
【详解】如图1中，当与直线CD相切时，设，
在中，，
，
，
，；
如图2中当与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形，
，
，，
在中，，
综上所述，BP的长为3或．
【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键．
14、
【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．
【详解】连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB＝OA＝OC＝2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝ OB＝1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S菱形ABCO＝
S扇形AOC＝
则图中阴影部分面积为S扇形AOC﹣S菱形ABCO＝
故答案为
【点睛】
本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积和扇形的面积，有一定的难度．
15、6
【分析】根据是一元二次方程的一个根可得m2-3m=2，把变形后，把m2-3m=2代入即可得答案.
【详解】∵是一元二次方程的一个根，
∴m2-3m=2，
∴=2(m2-3m)+2=2×2+2=6，
故答案为：6
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义，熟练掌握定义并正确变形是解题关键.
16、1
【解析】试题分析：根据题意可得圆心角的度数为：，则S==1．
考点：扇形的面积计算．
17、这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长3+．
【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．
【详解】连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，
∴点D的坐标为(0，−3)，
∴OD的长为3，
设y=0，则0=(x-1)2-4，
解得：x=−1或3，
∴A(−1，0)，B(3，0)
∴AO=1，BO=3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO⋅BO=3，
∴CO=，
∴CD=CO+OD=3+，
故答案为3+.
18、0
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.
【详解】.
故答案为.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.
三、解答题(共66分)
19、（1）（1）;
【分析】（1）作AH⊥y轴于H．根据△AOC的面积为1，求出OC，得到点C的坐标，代入y=1x+b即可结论；
（1）把A、B的坐标代入y=1x+1得：n、m的值，进而得到点B的坐标，即可得到反比例函数的解析式．
【详解】（1）作AH⊥y轴于H．
∵A（-1，n），
∴AH=1．
∵△AOC的面积为1，
∴OC⋅AH=1，
∴OC=1，
∴C（0，1），把C（0，1）代入y=1x+b中得：b=1，
∴一次函数的解析式为y=1x+1．
（1）把A、B的坐标代入y=1x+1得：n=-1，m=1，
∴B（1，4）．
把B（1，4）代入中，k=4，
∴反比例函数的解析式为．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合．根据△AOC的面积求出点C的坐标是解答本题的关键．
20、分式方程无解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】去分母得：x(x+1)﹣x2+1=2，
去括号得：x2+x﹣x2+1=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21、（1）详见解析;（2）;（3）
【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠BAD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD＝90°，根据平行线的性质得到OB⊥BC，即可得到结论；
（2）连接OM，根据平行四边形的性质得到BM＝DM，根据直角三角形的性质得到OM＝BM，求得∠OBM＝60°，于是得到∠ADB＝30°；
（3）连接EM，过M作MF⊥AE于F，根据等腰三角形的性质得到∠MOF＝∠MDF＝30°，根据OM＝OE＝1，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DOB＋∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC为⊙O切线；
（2）解：连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BM＝DM，
∵∠BOD＝90°，
∴OM＝BM，
∵OB＝OM，
∴OB＝OM＝BM，
∴∠OBM＝60°，
∴∠ADB＝30°；
（3）解：连接EM，过M作MF⊥AE于F，
∵OM＝DM，
∴∠MOF＝∠MDF＝30°，
∵的半径为1
∴OM＝OE＝1，
∴FM＝,OF＝，
∴EF＝1−
故EM==．
【点睛】
本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直径三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
22、（1）；（2），，是直角三角形；（3）当时，，当或时，．
【分析】（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与轴的交点，再判断出和都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出，再分两种情况，当点在点上方和下方，分别计算即可．
【详解】解（1），
，，
，是一元二次方程的两个实数根，且，
，，
抛物线的图象经过点，，
，
，
抛物线解析式为，
（2）令，则，
，，
，
，
顶点坐标，
过点作轴，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
是直角三角形；
（3）如图，
，，
直线解析式为，
点的横坐标为，轴，
点的横坐标为，
点在直线上，点在抛物线上，
，，
过点作，
是等腰直角三角形，
，
，
当点在点上方时，即时，
，
，
如图3，当点在点下方时，即或时，
，
．
综上所述：当点在点上方时，即时，，当点在点下方时，即或时，．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是利用等腰直角三角形判定和性质求出，．
23、（1）；（2）
【分析】（1）根据题意，当在上时，，则重叠的面积有最大值1，根据面积公式，即可求出AD的长度
（2）根据题意，需要对x的值进行讨论分析，分成三种情况进行解题，分别求出S与x的关系式，即可得到答案.
【详解】（1）如图，当在上时，，
∵，，
∴．
解方程，得：或（舍去），
∴．
（2）①当时，如图，
．
②如图可知，经过点时，，
．
．
．
,
．
当时，如图，，
．
．
．
．
．
③当时，如图，，，
在和中，，，
．
．
．
∵矩形，
．
综上所述：.
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练运用分类讨论的思想进行解题是解本题的关键．
24、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长．
【详解】证明：（1）∵DB平分，
，且，
（2）
，且
，且，
，
且
【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
25、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）由角平分线的定义得出，再根据即可得出；
（2）由相似三角形的性质可得出，然后利用等腰三角形的性质和等量代换得出 ，从而有 ，根据平行线的性质即可得出 ，则结论可证．
【详解】（1）∵平分，
∴
∴
（2）连接OC
∵是的直径，
∵
∵
∴与相切．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，切线的判定，掌握相似三角形的判定及性质，切线的判定方法是解题的关键．
26、（1）；（2）；（3）当20天或40天，最小利润为10元千克
【分析】（1）把代入可得结论；
（2）当时，设，把，代入；当时，设，把，代入，分别求解即可；
（3）设利润为，分两种情形：当时、当时，利用二次函数的性质分别求解即可．
【详解】解：（1）把代入，得到，
故答案为：．
（2）当时，设，
把，代入得到，
解得，
．
当时，设，
把，代入得到，
解得，
．
综上所述，．
（3）设利润为．
当时，，
当时，有最小值，最小值为10（元千克）．
当时，
，
当时，最小利润（元千克），
综上所述，当20天或40天，最小利润为10元千克．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键从函数图象中获取信息，利用待定系数法求得解析式．
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