资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知点P（a，b）是平面直角坐标系中第四象限的点，则化简+|b-a|的结果是（ ）
A． B．a C． D．
2．关于的方程的根的情况，正确的是（ ）．
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．如图，四边形内接于, 为延长线上一点,若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC～△EDC的是（ ）
A．∠A＝∠E B． C．AB∥DE D．
5．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（ ）
A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm
6．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（）
A． B． C． D．
7．如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，，，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（ ）
A．42 B．45 C．46 D．48
10．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是（ ）
A．x= B．x=3 C．x1=，x2=3 D．x1=﹣，x2=﹣3
11．下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ）
A．圆 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形
12．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在矩形 ABCD 中，如果 AB＝3，AD＝4，EF 是对角线 BD 的垂直平分线，分别交 AD，BC 于 点 EF，则 ED 的长为____________________________．
14．两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______．
15．如果关于x的方程x2-5x + a = 0有两个相等的实数根，那么a=_____.
16．如图在Rt△OAB中∠AOB＝20°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB＝____．
17．如图，四边形ABCD是矩形，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．
18．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为__m．
三、解答题（共78分）
19．（8分）对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K2的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），边长为的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上．
（1）填空：
①原点O与线段BC的“近距离”为 ；
②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O’坐标为（m，0），若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为 ；
（2）已知抛物线C：，且-1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；
（3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，-2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0º<α≤180º），将旋转中的△ABC记为△AB’C’，连接DB’，点E为DB’的中点，当正方形PQMN中心O’坐标为（5，-6），直接写出在整个旋转过程中点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”．
20．（8分）如图，AB是的直径，点C、D在上，且AD平分，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
证明EF是的切线；
求证：；
已知圆的半径，，求GH的长．
21．（8分）在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．
22．（10分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，若，且AC=14，求DE的长.
23．（10分）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
24．（10分）如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．
（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；
（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．
25．（12分）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点、．
（1）若时，求证：；
（2）若时，求的度数．
26．先化简，再求值：，其中x=sin45°，y=cos60°．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，求解即可．
【详解】∵点P(a,b)是平面直角坐标系中第四象限的点，
∴a>0，b<0，
∴b−a<0，
∴+|b-a|=−b−(b−a)=−b−b+a=−2b+a=a−2b，
故选A.
【点睛】
本题考查点的坐标， 二次根式的性质与化简，解题的关键是根据象限特征判断正负.
2、A
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况.
【详解】解：∵，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根；
故选择：A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式.
3、D
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，先求出∠ADC的度数，再求∠ADE的度数即可.
【详解】解：四边形内接于
-,
．
故选: ．
【点睛】
本题考查的是内接四边形的对角互补，也就是内接四边形的外角等于和它不相邻的内对角.
4、D
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【详解】A、若∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项A不符合题意；
B、若，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项B不符合题意；
C、若AB∥DE，可得∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项C不符合题意；
D、若，且∠ACB＝∠DCE，则不能证明△ABC～△EDC，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键，判定时需注意找对对应线段.
5、C
【分析】连接CE，先由三角形内角和定理求出∠B的度数，再由线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质求出∠CEA的度数，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半即可解答．
【详解】解：连接CE，
∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，
∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠BCE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠BCE+∠B＝30°，
∵Rt△AEC中，AC＝8cm，
∴CE＝2AC＝16cm，
∵BE＝CE，
∴BE＝16cm．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．
6、A
【分析】根据图形找到对边和斜边即可解题.
【详解】解：由网格纸可知,
故选A.
【点睛】
本题考查了三角函数的实际应用,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键.
7、A
【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图，找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】该几何体的左视图为：是一个矩形，且矩形中有两条横向的虚线．
故选A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图
8、D
【分析】由题意首先过点A作AF⊥DB于F，过点D作DE⊥AB于E，设DF=x，然后利用勾股定理与含30°角的直角三角形的性质，表示出个线段的长，再由三角形的面积，求得x的值，继而求得答案．
【详解】解：过点A作AF⊥DB于F，过点D作DE⊥AB于E．
设DF=x，
∵∠ADB=60°，∠AFD=90°，
∴∠DAF=30°，
则AD=2x，
∴AF=x，
又∵AB：AD=3：2，
∴AB=3x，
∴，
∴，
解得：，
∴.
故选：D.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和三角函数以及勾股定理．解题时注意掌握辅助线的作法以及注意数形结合思想与方程思想的应用．
9、C
【解析】根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.
【详解】解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48
∴中位数为.
故答案为：46.
【点睛】
找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.
10、C
【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可.
解：方程变形为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，
∴（x﹣3）（2x﹣5）=0，
∴x﹣3=0或2x﹣5=0，
∴x1=3，x2=．
故选C．
11、D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】A． 圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B． 正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C． 矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D． 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】
此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解决此题的关键．
12、B
【解析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=∠COB即可解决问题.
【详解】如图，连接OC，
∵AB=14，BC=1，
∴OB=OC=BC=1，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠CDB=∠COB=30°，
故选B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】连接EB，构造直角三角形，设AE为，则，利用勾股定理得到有关的一元一次方程，即可求出ED的长．
【详解】连接EB，
∵EF垂直平分BD，
∴ED=EB，
设，则，
在Rt△AEB中，
，
即：，
解得：．
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，线段的垂直平分线的性质和勾股定理，正确根据勾股定理列出方程是解题的关键．
14、2：1．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可；
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴它们对应中线的比．
故答案为：2：1．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
15、
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a的等式，求出a的值．
【详解】∵关于x的方程x2-5x+a=0有两个相等的实数根，
∴△=25-4a=0，即a=．
故答案为：.
【点睛】
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16、80°．
【分析】由将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，可求得∠A1OA的度数，继而求得答案．
【详解】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，
∴∠A1OA＝100°，
∵∠AOB＝20°，
∴∠A1OB＝∠A1OA﹣∠AOB＝80°．
故答案为：80°．
【点睛】
此题考查了旋转的性质．注意找到旋转角是解此题的关键．
17、．
【分析】根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与的面积之差的和，本题得以解决．
【详解】解：连接AE，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18、．
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【详解】如图，
∵AB＝10米，tanA＝＝．
∴设BC＝x，AC＝2x，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即100＝x2+4x2，解得x＝2，
∴AC＝4米．
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）①2；②；（2）或；（3）点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．
【分析】（1）①由垂线段最短，即可得到答案；
②根据题意，找出正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，的临界点，然后分别求出m的最小值和最大值，即可得到m的取值范围；
（2）根据题意，抛物线与△ABC的“近距离”为1时，可分为两种情况：当点C到抛物线的距离为1，即CD=1；当抛物线与线段AB的距离为1时，即GH=1；分别求出a的值，即可得到答案；
（3）根据题意，取AB的中点F，连接EF，求出EF的长度，然后根据题意，求出点F，点Q的坐标，求出FQ的长度，即可得到EQ的长度，即可得到答案．
【详解】解：（1）①∵B（9，2），C（，2），
∴点B、C的纵坐标相同，
∴线段BC∥x轴，
∴原点O到线段BC的最短距离为2；
即原点O与线段BC的“近距离”为2；
故答案为：2；
②∵A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），
∴线段BC∥x轴，线段AC∥y轴，
∴AC=BC=10，△ABC是等腰直角三角形，
当点N与点O重合时，点N与线段AC的最短距离为1，
则正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，
此时m为最小值，
∵正方形的边长为，
由勾股定理，得：，
∴，（舍去）；
当点Q到线段AB的距离为1时，此时m为最大值，如图：
∵QN=1，△QMN是等腰直角三角形，
∴QM=，
∵BD=9，△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=9，
∵△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=OM=7，
∴m的最大值为：，
∴m的取值范围为：；
故答案为：；
（2）抛物线C：，且，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，
由题可知，点C与抛物线的距离为1时，如图：
∵点C的坐标为（，2），
∴但D的坐标为（，3），
把点D代入中，有
，
解得：；
当线段AB与抛物线的距离为1时，近距离为1，如图：即GH=1，
点H在抛物线上，过点H作AB的平行线，线段AB与y轴相交于点F，作FE⊥EH，垂足为E，
∴EF=GH=1，
∵∠FDE=∠A=45°，
∴，
∵点A（-1，-8），B（9，2），设直线AB为，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
∴直线EH的解析式为：；
∴联合与，得
，
整理得：，
∵直线EH与抛物线有一个交点，
∴，
解得：；
综合上述，a的值为：或；
（3）由题意，取AB的中点F，连接EF，如图：
∵点A（-1，-8），B（9，2），
∴，
在中，F是AD的中点，点E是的中点，
∴，
∵点D的坐标为（5，-2），A（-1，-8），
∴点F的坐标为（2，），
∵在正方形PNMQ中，中心点的坐标为（5，），
∴点Q的坐标为（6，），
∴，
∴；
∴点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．
【点睛】
本题考查了图形的运动问题和最短路径问题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的平移，勾股定理，旋转的性质，根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，作出临界点的图形，从而进行分析．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．难度很大，是中考压轴题．
20、（1）详见解析；（1）详见解析；（3）.
【解析】（1）由题意可证OD∥AE，且EF⊥AE，可得EF⊥OD，即EF是⊙O的切线；（1）由同弧所对的圆周角相等，可得∠DAB＝∠DGB，由余角的性质可得∠DGB＝∠BDF；（3）由题意可得∠BOG＝90°，根据勾股定理可求GH的长．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠DAB+∠OBD＝90°
由（1）得，EF是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°
∴∠BDF+∠ODB＝90°
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD
∴∠DAB＝∠BDF
又∠DAB＝∠DGB
∴∠DGB＝∠BDF
（3）连接OG，
∵G是半圆弧中点，
∴∠BOG＝90°
在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝1．
∴GH＝＝.
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键．
21、2.6cm
【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD＝DE
又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm
∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．
∴DE＝DC＝2.6cm．
∴点D到AB的距离为2.6cm．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理,属于简单题,正确作出辅助线是解题关键.
22、DE =8.
【分析】先根据角平分线的性质和平行线的性质证得，再根据平行线分线段成比例即可得.
【详解】如图，CD平分
又
，即
故DE的长为8.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，通过等角对等边证出是解题关键.
23、（2）y＝﹣x2+3x+2；（2）存在．P（﹣，）．（3）
【分析】（2）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+2求出a,b,c值，即可确定表达式；
（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.
【详解】解：如图：
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣2，0），B（2，0），点C三点．
∴ 解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+2．
（2）存在．理由如下：
y＝﹣x2+3x+2＝﹣（x﹣）2+．
∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，
∴m＝2，∴D（3，2），∵C（0，2）
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝25°．
连接CD，∴CD∥x轴，
∴∠DCB＝∠OBC＝25°，
∴∠DCB＝∠OCB，
在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，
再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，
∴△DCB≌△GCB（SAS）
∴∠DBC＝∠GBC．
设直线BP解析式为yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，2），B（2，0）代入，得
k＝﹣，b＝2，
∴BP解析式为yBP＝﹣x+2．
yBP＝﹣x+2，y＝﹣x2+3x+2
当y＝yBP 时，﹣x+2＝﹣x2+3x+2，
解得x2＝﹣，x2＝2（舍去），
∴y＝，∴P（﹣，）．
（3） 理由如下，如图
B(2，0),C(0，2) ，抛物线对称轴为直线，
设N(，n)，M(m, ﹣m2+3m+2)
第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,
∴2-=0-m，∴m=
∴﹣m2+3m+2=,
∴；
或∴0-=2-m，
∴m=
∴﹣m2+3m+2=,
∴；
第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，
∴
∴m=
∴﹣m2+3m+2=
∴
综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为 .
【点睛】
本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.
24、（1）如图所示，△A1B1O即为所求；见解析；（2）线段AO旋转时扫过的面积为．
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）先根据勾股定理求出AO，再根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】解：（1）根据题意，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，如图所示，△A1B1O即为所求；
（2）根据勾股定理：
线段AO旋转时扫过的面积为：＝．
【点睛】
此题考查的是图形的旋转和求线段旋转时扫过的面积，掌握图形旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.
25、（1）证明见解析；（2）48°．
【分析】（1）根据对顶角与三角形的外角定理即可求解；
（2）根据圆内接四边形得到，再根据三角形的内角和及外角定理即可求解.
【详解】，，
，
；
（2），，
．
，且，
，
，
．
【点睛】
此题主要考查圆内的角度求解，解题的关键是熟知三角形的内角和及圆内接四边形的性质.
26、
【分析】利用分式的乘法和除法进行化简，再把x、y的值代入计算，即可得到答案.
【详解】解：原式＝＝．
当x=sin45°=，y=cos60°=时，
原式＝．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，分式的化简求值，以及分式的混合运算，解题的关键是正确的进行化简，掌握特殊角的三角函数值.
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