资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知二次函数的图象与轴的一个交点为(-1，0)，对称轴是直线，则图象与轴的另一个交点是( )
A．(2，0) B．(-3，0) C．(-2，0) D．(3，0)
2．在平面直角坐标系中，二次函数与坐标轴交点个数（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．在中，，，，则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（ ）千米．
A．3 B．30 C．3000 D．0.3
6．在半径为6cm的圆中,长为6cm的弦所对的圆周角的度数为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
7．如图，的外接圆的半径是.若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．若一次函数 y=ax+b（a≠0）的图像与 x 轴交点坐标为（2，0），则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为( )
A．直线 x=1 B．直线 x=-1 C．直线 x=2 D．直线 x=-2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若二次函数的图像经过点，则的值是_______．
12．如图，与中，，，，，AD的长为________.
13．如图，若抛物线与轴无交点，则应满足的关系是__________．
14．点（﹣1，）、（2，）是直线上的两点，则 （填“＞”或“=”或“＜”）
15．如图，BC⊥y轴，BC＜OA，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，D是线段BC上一点，BD＝OA＝2，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°，将△AEF沿一条边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则线段OE的值为_____．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，若∠BCD＝24°，则∠ABD的度数为___度．
17．如图的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的负半轴上，顶点在第一象限内，交轴于点，过点作交的延长线于点．若反比例函数经过点，且，，则值等于__________．
18．某班主任将其班上学生上学方式（乘公汽、骑自行车、坐小轿车、步行共4种）的调查结果绘制成下图所示的不完整的统计图，已知乘坐公汽上学的有12人，骑自行车上学的有24人，乘家长小轿车上学的有4人，则步行上学的学生人数在扇形统计图对应的扇形所占的圆心角的度数为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）计算被抽取的天数；
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；
（3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数．
20．（6分）如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，将三角板绕点旋转，当时，连接交于点求证：；
（3）如图3，将“正方形”改为“矩形”，且将三角板的直角顶点放于对角线(不与端点重合)上，使三角板的一边经过点，另一边交于点，若，求的值．
21．（6分）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节.为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目.小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.
(1)五届艺术节共有________个班级表演这些节日，班数的中位数为________，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为________；
(2)补全折线统计图；
(3)第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用，，，表示).利用树状图或表格求出该班选择和两项的概率.
22．（8分）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．
24．（8分）如图，△ABC的高AD与中线BE相交于点F，过点C作BE的平行线、过点F作AB的平行线，两平行线相交于点G，连接BG．
（1）若AE=2.5，CD=3，BD=2，求AB的长；
（2）若∠CBE=30°，求证：CG=AD+EF．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
26．（10分）如图，射线交一圆于点，，射线交该圆于点，，且 .
（1）判断与的数量关系.（不必证明）
（2）利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法），求证：平分.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】求出点(-1，0)关于直线的对称点，对称点的坐标即为图象与轴的另一个交点坐标．
【详解】由题意得，另一个交点与交点(-1，0)关于直线对称
设另一个交点坐标为(x，0)
则有
解得
另一个交点坐标为(3，0)
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称问题，掌握轴对称图象的性质是解题的关键．
2、B
【分析】首先根据根的判别式判定与轴的交点，然后令，判定与轴的交点，即可得解.
【详解】由题意，得
∴该函数与轴有一个交点
当时，
∴该函数与轴有一个交点
∴该函数与坐标轴有两个交点
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查利用根的判别式判定二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握，即可解题.
3、B
【分析】根据余弦的定义求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB= ，
∴BC=10cos40°．
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
4、C
【解析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故图像都是线段，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，分3个阶段；
① P在OC之间,∠APB逐渐减小,到C点时, ∠APB为45°，所以图像是下降的线段，
②P在弧CD之间,∠APB保持45°，大小不变，所以图像是水平的线段，
③P在DO之间,∠APB逐渐增大,到O点时, ∠APB为90°，所以图像是上升的线段，
分析可得：C符合3个阶段的描述；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况.
5、A
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【详解】解：设这条道路的实际长度为x，则=，
解得x=300000cm=3km．
∴这条道路的实际长度为3km．
故选A．
【点睛】
本题考查成比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换
6、C
【解析】试题解析：如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，
连接OA、OB，
因为AB=OA=OB=6，
所以，∠AOB=60°，
根据圆周角定理知，∠C=∠AOB=30°，
根据圆内接四边形的性质可知，∠D=180°-∠C=150°，
所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．
故选C．
7、A
【分析】由题意连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：连接OA、OB，
由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=90°，
所以的长为.
故选：A.
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
8、B
【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得，，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
9、D
【分析】先利用平方差公式得到=（a+b）（a-b），再把，整体代入即可．
【详解】解：=（a+b）（a-b）==．
故答案为D．
【点睛】
本题考查了平方差公式，把a+b和a-b看成一个整体是解题的关键．
10、A
【分析】先将（2，0）代入一次函数解析式y＝ax＋b，得到2a＋b＝0，即b＝-2a，再根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x＝即可求解．
【详解】解：∵一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（2，0），
∴2a＋b＝0，即b＝-2a，
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：
点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式，二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】首先根据二次函数的图象经过点得到，再整体代值计算即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴==1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算，此题比较简单．
12、
【分析】先证明△ABC∽△ADB，然后根据相似三角形的判定与性质列式求解即可.
【详解】∵，，
∴△ABC∽△ADB，
∴,
∵，，
∴，
∴AD=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
13、
【分析】根据抛物线与轴交点个数与的符号关系即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线与轴无交点
∴
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是根据抛物线与轴交点个数判断的关系，掌握抛物线与轴交点个数与的符号关系是解决此题的关键．
14、＜．
【解析】试题分析：∵k=2＞0，y将随x的增大而增大，2＞﹣1，∴＜．故答案为＜．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
15、6﹣或6或9﹣3
【分析】可得到∠DOE＝∠EAF，∠OED＝∠AFE，即可判定△DOE∽△EAF，分情况进行讨论：①当EF＝AF时，△AEF沿AE翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；②当AE＝AF时，△AEF沿EF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；③当AE＝EF时，△AEF沿AF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长．
【详解】解：连接OD，过点BH⊥x轴，
①沿着EA翻折，如图1：∵∠OAB＝45°，AB＝3，
∴AH＝BH＝ABsin45°=，
∴CO＝，
∵BD＝OA＝2，
∴BD＝2，OA＝8，
∴BC＝8﹣，
∴CD＝6﹣；
∵四边形FENA是菱形，
∴∠FAN＝90°，
∴四边形EFAN是正方形，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵∠DEF＝45°，
∴DE⊥OA，
∴OE＝CD＝6﹣；
②沿着AF翻折，如图2：
∴AE＝EF，
∴B与F重合，
∴∠BDE＝45°，
∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE＝BD＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝8﹣2＝6；
③沿着EF翻折，如图3：
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴△AEF是等腰三角形，
过点F作FM⊥x轴，过点D作DN⊥x轴，
∴△EFM∽△DNE，
∴，
∴，
∴NE＝3﹣，
∴OE＝6﹣+3﹣＝9﹣3；
综上所述：OE的长为6﹣或6或9﹣3，
故答案为6﹣或6或9﹣3．
【点睛】
此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行四边形、菱形及正方形的性质，利用三角函数、勾股定理及相似三角形的性质进行求解.
16、66
【解析】连接AD，根据圆周角定理可求∠ADB=90°，由同弧所对圆周角相等可得∠DCB=∠DAB，即可求∠ABD的度数．
【详解】解：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BCD＝24°，
∴∠BAD＝∠BCD＝24°，
∴∠ABD＝66°，
故答案为：66
【点睛】
本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可求∠ADB=90°是本题的关键．
17、6
【分析】可证,得到
因此求得
【详解】解：设,
根据题意,点在第一象限,
又
又
因此
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质以及反比例函数的性质.
18、90°
【分析】先根据骑自行车上学的学生有12人占25%，求出总人数，再根据步行上学的学生人数所对应的圆心角的度数为所占的比例乘以360度，即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：
总人数是：12÷25%＝48人，
所以乘车部分所对应的圆心角的度数为360°×＝90°；
故答案为：90°．
【点睛】
此题主要考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，列出算式是解决问题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）50（2）条形统计图见解析，57.6°（3）292天
【分析】（1）根据扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，即可得出被抽取的总天数．
（2）利用轻微污染天数是50-32-8-3-1-1=5天；表示优的圆心角度数是360°=57.6°，即可得出答案．
（3）利用样本中优和良的天数所占比例得出一年（365天）达到优和良的总天数即可
【详解】（1）∵扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，
∴被抽取的总天数为：32÷64%=50（天）．
（2）轻微污染天数是50﹣32﹣8﹣3﹣1﹣1=5天．因此补全条形统计图如图所示：
；
扇形统计图中表示优的圆心角度数是360°=57.6°．
（3）∵样本中优和良的天数分别为：8，32，
∴一年（365天）达到优和良的总天数为：×365=292（天）．
因此，估计该市一年达到优和良的总天数为292天．
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据旋转全等模型利用正方形的性质，由可证明，从而可得结论；
（2）根据正方形性质可知，结合已知可得；再由（1）可知是等腰直角三角形可得 ，从而证明 ，由相似三角形性质即可得出结论；
（3）首先过点作，垂足为，交AD于M点，由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，再由平行可得，由此即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵在正方形ABCD中，
∴，
又∵，
，
在和中，
，
∴（ASA），
；
（2）证明 ：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
由（1）可知是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴．
（3）解：如图，过点作，垂足为，交AD于M点，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，，
∴四边形ABNM是矩形，
∴ ，，
∴
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
，
∵
．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形性质和判定；涉及了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意旋转全等模型和一线三垂直模型的应用．
21、 (1)40，7，81°；(2)见解析；(3).
【解析】（1）根据图表可得，五届艺术节共有：；根据中位数定义和圆心角公式求解；（2）根据各届班数画图；（3）用列举法求解；
【详解】解：(1) 五届艺术节共有：个，第四届班数：40×22.5%=9，第五届40=13，第一至第三届班数：5，7，6，故班数的中位数为7，
第四届班级数的扇形圆心角的度数为：3600×22.5%=81°；
(2)折线统计图如下；.
(3)树状图如下.
所有情况共有12种，其中选择和两项的共有2种情况，
所以选择和两项的概率为.
【点睛】
考核知识点：用树状图求概率.从图表获取信息是关键.
22、证明见解析.
【解析】试题分析：利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得△ABD∽△ACB，进一步得出 ，整理得出答案即可．
试题解析：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴AB2=AD•AC．
考点：相似三角形的判定与性质．
23、54°．
【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．
【详解】解：连接OD，
∵AB＝2DE＝2OD，
∴OD＝DE，又∠E＝18°，
∴∠DOE＝∠E＝18°，
∴∠ODC＝36°，
同理∠C＝∠ODC＝36°
∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝54°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角和定理，外角等于不相邻的两个内角的和．
24、（1）；（2）见解析．
【分析】（1）BE是△ABC的中线，则AC=5，由勾股定理求出AD的长，再由勾股定理求得AB的长；
（2）过点E作EM∥FG，作EN∥AD，先得出EN=AD，然后证明EN=BE，从而有AD=BE．再证明△ABE≌△EMC，得出BE=MC，再推导出四边形EFGM是平行四边形，得出EF=GM，继而可得出结论．
【详解】（1）解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE=EC=2.5，∴AC=5，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
，
；
（2）证明：如图，过点E作EM∥FG，作EN∥AD．
∵BE是中线，即E为AC的中点，∴EN为△ACD的中位线，∴EN=AD．
∵AD是高，∴EN⊥BC，∴∠ENB=90°．
∵∠CBE=30°，∴EN=BE．
∴AD=BE．
∵FG∥AB，EM∥FG，∴EM∥AB，
∴∠BAE=∠MEC．
∵EB∥CG，∴∠AEB=∠ECM．
在△ABE和△EMC中，
∵，
∴△ABE≌△EMC（ASA），
∴BE=MC．
∵EM∥FG，BE∥GC，
∴四边形EFGM是平行四边形，
∴EF=GM．
∴GC=GM+MC=EF+BE=EF+AD．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形性质以及全等三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线构建三角形中位线以及构造平行四边形是解题的关键．
25、（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．
考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．
26、（1）AC=AE；（2）图见解析，证明见解析
【解析】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC=DE，得CP=EQ后得证；
（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN得证．
【详解】证明：(1)作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO.
∵，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ.
∴BP=DQ=CP=EQ.
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO.
∴AP=AQ.
∵CP=EQ，
∴AC=AE.
（2）作图如图所示
证明：∵AC=AE，∴，
∴， 由于AF是CE的垂直平分线，且CF平分，
∴CF=EF.
∴
因此EF平分
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系, 全等三角形的判定与性质, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，综合性比较强，熟练掌握性质定理是解题的关键.
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