资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．要使式子有意义，则x的值可以是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．9
2．在△ABC中，∠C=90°，∠B =30°，则cos A的值是（ ）
A． B． C． D．1
3．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为( )
A．-2 B．1 C．2 D．0
4．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC弧上，则∠ADB的大小为
A．46° B．53° C．56° D．71°
5．下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛掷个均匀的骰子，出现点向上 B．人中至少有人的生日相同
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等 D．实数的绝对值是非负数
6．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
7．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中符合题意的是( )
A．x(x﹣1)＝21 B．x(x﹣1)＝42
C．x(x+1)＝21 D．x(x+1)＝42
8．已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（ ）
x
…
-1
0
1
3
…
y
…
0
3
4
3
…
A．（2，0） B．（3，0） C．（4，0） D．（5，0）
9．分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到封闭图形就是莱洛三角形，如图，已知等边，，则该莱洛三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．用配方法解方程x2+4x+1=0时，方程可变形为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算：sin45°·cos30°+3tan60°= _______________.
12．已知为锐角，且，则度数等于______度.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．
14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件 （只需写一个）．
15．两同学玩扔纸团游戏，在操场上固定了如下图所示的矩形纸板，E为AD中点，且∠ABD＝60°，每次纸团均落在纸板上，则纸团击中阴影区域的概率是________.
16．甲、乙两人在米短跑训练中，某次的平均成绩相等，甲的方差是，乙的方差是，这次短跑训练成绩较稳定的是___（填“甲”或“乙”）
17．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．
18．在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）数学活动课上，老师提出问题:如图1，有一张长,宽的长方形纸板,在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成-一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大.下 面是探究过程，请补充完整:
（1）设小正方形的边长为，体积为，根据长方体的体积公式得到和的关系式 ;
（2）确定自变量的取值范围是
（3）列出与的几组对应值.
···
···
（4）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点画出该函数的图象如图2，结合画出的函数图象，当小正方形的边长约为 时， 盒子的体积最大，最大值约为.(估读值时精确到)
20．（6分）阅读下面内容，并按要求解决问题： 问题：“在平面内，已知分别有个点，个点，个点，5 个点，…，n 个点，其中任意三 个点都不在同一条直线上.经过每两点画一条直线，它们可以分别画多少条直线？ ” 探究：为了解决这个问题，希望小组的同学们设计了如下表格进行探究：（为了方便研 究问题，图中每条线段表示过线段两端点的一条直线）
请解答下列问题：
（1）请帮助希望小组归纳，并直接写出结论：当平面内有个点时，直线条数为 ；
（2）若某同学按照本题中的方法，共画了条直线，求该平面内有多少个已知点.
21．（6分）如图，已知点D是的边AC上的一点，连接，，．
求证：∽；
求线段CD的长．
22．（8分）计算：﹣12119+|﹣2|+2cos31°+（2﹣tan61°）1．
23．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90º后得到△A1OB1．
（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；
（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为 ；
（3）点A1的坐标为 ；
（4）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为 ．
24．（8分）如图，双曲线（）与直线交于点和，连接和．
（1）求双曲线和直线的函数关系式．
（2）观察图像直接写出：当时，的取值范围．
（3）求的面积．
25．（10分）若关于的一元二次方程有实数根，
（1）求的取值范围：
（2）如果是符合条件的最小整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值.
26．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】式子为二次根式，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可得x-50，解不等式就可得到答案.
【详解】∵式子有意义，
∴x-50，
∴x5，
观察个选项，可以发现x的值可以是9.
故选D.
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件.
2、A
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠B =30°，
∴∠A=90°-30°=60°．
cos A=cos60°=.
故选：A．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
3、C
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入方程，即可得到关于a的方程，再求解即可．
【详解】解：根据题意得：1-3+a=0
解得：a=1．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0.
4、C
【解析】试题分析：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=56°．
∵∠ADB和∠ACB都是弧AB对的圆周角，
∴∠ADB=∠ACB=56°．
故选C．
5、D
【分析】根据概率、平行线的性质、负数的性质对各选项进行判断．
【详解】A. 抛掷个均匀的骰子，出现点向上的概率为 ，错误．
B.367人中至少有人的生日相同，错误．
C.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误．
D. 实数的绝对值是非负数，正确．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了必然事件的性质以及判定，掌握概率、平行线的性质、负数的性质是解题的关键．
6、D
【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
详解：∵方程有两个不相同的实数根，
∴
解得：m＜1．
故选D．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7、B
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：x（x-1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数=21场，依此等量关系列出方程即可．
【详解】设这次有x队参加比赛,则此次比赛的总场数为x(x−1)场，
根据题意列出方程得：x(x−1)=21，
整理,得：x(x−1)=42，
故答案为x(x−1)=42.
故选B.
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确找到等量关系是解题的关键.
8、C
【分析】根据（0，3）、（3，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（3，3）两点，
∴对称轴x==1.5；
点（-1，0）关于对称轴对称点为（4，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（4，0）．
故选C．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9、D
【分析】莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，代入已知数据计算即可．
【详解】解：如图所示，作AD⊥BC交BC于点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=，
∴，
∴莱洛三角形的面积为
故答案为D．
【点睛】
本题考查了不规则图形的面积的求解，能够得出“莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积”是解题的关键．
10、C
【解析】根据配方法的定义即可得到答案.
【详解】将原式变形可得：x2＋4x＋4－3＝0,即（x＋2）2＝3，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查了配方法解一元二次方程，解本题的要点在于将左边配成完全平方式，右边化为常数.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先求出各个特殊角度的三角函数值，然后计算即可
【详解】∵
∴原式=
故答案为
【点睛】
本题考查特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键。
12、30
【分析】根据锐角三角函数值即可得出角度.
【详解】∵，为锐角
∴=30°
故答案为30.
【点睛】
此题主要考查根据锐角三角函数值求角度，熟练掌握，即可解题.
13、1．
【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=BD=12cm，
在Rt△ACB中，AB===13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），
故答案为1．
考点：旋转的性质．
14、
【解析】试题分析：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似. 所以在本题的条件的需要满足
考点：相似三角形的判定
点评：解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似.
15、
【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据E为AD中点得出S△ODES△OAD，进而求解即可．
【详解】∵ABCD是矩形，
∴S△AOD=S△AOB=S△BOC=S△CODS矩形纸板ABCD．
又∵E为AD中点，
∴S△ODES△OAD，
∴S△ODES矩形纸板ABCD，
∴纸团击中阴影区域的概率是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
16、乙
【分析】根据方差的含义，可判断谁的成绩较稳定.
【详解】在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是刻画数据的波动大小程度，方差越小，代表数据波动越小.因此，在本题中，方差越小，代表成绩越稳定，故乙的训练成绩比较稳定．
【点睛】
本题考查方差的概念和含义.
17、
【详解】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=1，
∴FM=DM×cos30°=，
∴，
∴A′C=MC﹣MA′=．
故答案为．
【点评】
此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．
18、
【解析】根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，可得P（在日常生活中进行垃圾分类）==.
故答案为.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）；（3）3,2；（4）0.55
【分析】（1）根据长方形和正方形边长分别求出长方体的长、宽、高，然后即可得出和的关系式；
（2）边长都大于零，列出不等式组，求解即可；
（3）将的值代入关系式，即可得解；
（4）根据函数图象，由最大值即可估算出的值.
【详解】（1）由题意，得
长方体的长为，宽为，高为
∴y和x的关系式：
（2）由（1）得
∴变量x的取值范围是；
（3）将和代入（1）中关系式，得
分别为3，2；
（4）由图象可知，与3.03对应的值约为0.55.
【点睛】
此题主要考查展开图折叠成长方体，以及与函数的综合运用，熟练掌握，即可解题.
20、（1）；（2）8.
【分析】（1）根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，由特殊到一般，总结出公式：；（2）将28代入公式求n即可.
【详解】解：（1）当平面内有2个点时，可以画条直线；
当平面内有3个点时，可以画条直线；
当平面内有4个点时，可以画条直线；
…
当平面内有n（n≥2）个点时，可以画条直线；
设该平面内有 个已知点.
由题意，得
解得（舍）
答：该平面内有个已知点
【点睛】
此题是探求规律题并考查解一元二次方程，读懂题意，找出规律是解题的关键，解题时候能够进行知识的迁移是一种重要的解题能力．
21、（1）参见解析；（2）1．
【分析】（1）利用两角法证得两个三角形相似；
（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD长．
【详解】（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角），
∴△ABD∽△ACB；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，
∵相似三角形的对应线段成比例 ，∴=，即＝，
解得：CD＝1．
22、2
【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝﹣1+2﹣+1
＝2
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
23、（1）见解析；（2）（-3，-2）；（3）（-2，3）；（4）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据关于O点中心对称的点的坐标的特点直接写出答案即可；
（3）根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；
（4）利用勾股定理列式求出OB，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）△A1OB1如图所示；
（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为（-3，-2）；
（3）点A1的坐标为（﹣2，3）；
（4）由勾股定理得，OB=，弧BB1的长为：．
考点：1．作图-旋转变换；2．弧长的计算．
24、（1），；（2）或；（3）
【分析】（1）把点A坐标代入可求出双曲线的关系式，进而可得点B坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）找出图象上双曲线比直线高的部分对应的x的取值范围即可；
（3）过点作轴平行线交轴于点，过点作轴平行线交轴于点，所作两直线相交于，如图，利用代入数据计算即可．
【详解】解（1）∵点在双曲线上上，
∴，
∴，
∵点也在双曲线，
∴，
∵点和点在直线上，
∴，解得：，
∴直线关系式为；
（2）当时，的取值范围是：或；
（3）过点作轴平行线，交轴于点，过点作轴平行线，交轴于点，所作
两直线相交于，如图，则点E（4，4），
∴．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、函数图象上点的坐标特征和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本知识是解题的关键．
25、（1）且；（2）.
【分析】（1）根据跟的判别式进行计算即可；
（2）先求出最小整数m，然后解出的解，再分情况进行判断.
【详解】解：（1）化为一般式：方程有实数根
∴
解得：且，
（2）由（1）且，若是最小整数
∴
方程变形为，解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根
①当时，，∴
②当时，，∴，（舍去，∵）
综上所示，
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解，熟练掌握相关内容是解题的关键.
26、2.6cm
【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD＝DE
又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm
∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．
∴DE＝DC＝2.6cm．
∴点D到AB的距离为2.6cm．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理,属于简单题,正确作出辅助线是解题关键.
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