高等数学(上册)-第二章教案.doc

第二章、一元函数微分学及其应用
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数。
所需学时：24学时（包括：22学时讲授与2学时习题）

第一节：导数的概念及其基本求导公式
1、引入（切线与割线）
在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，y=f（x），求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：

.若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，为此就产生了导数的定义，如下：
2、导数的定义
定义：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为y=f（x）在x0处的导数。记为：还可记为：，
函数y=f（x）在点x0处存在导数简称函数y=f（x）在点x0处可导，否则不可导。若函数y=f（x）在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数y=f（x）在区间(a,b)内可导。这时函数y=f（x）对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数。
注：导数也就是差商的极限
3、简单函数的求导
下面我们利用导数的定义来求部分初等函数的导数：
例3 设y=C（C为常数），求y’.
解 ，则 ，即.
因此，常数的导数为零.
例4 设y=xn（为正整数），求y’.
解 由二项式定理，得

即 一般地，，
例5 设y=sinx，求y’.
解

即同理可求得 .
例7 设，，求y’.
解 当时，有

则

即
4、左、右导数
前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限存在，我们就称它为函数y=f（x）在x=x0处的左导数。若极限存在，我们就称它为函数y=f（x）在x=x0处的右导数。
注：函数y=f（x）在x0处的左右导数存在且相等是函数y=f（x）在x0处的可导的充分必要条件函数的和、差求导法则
5、切线与法线方程
函数y=f（x）在点处的导数f’(x0)就是曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率，由导数的几何意义及直线的点斜式方程可知，曲线y=f（x）上点M处的切线方程为：

法线方程为：

例8 求曲线y=1/x在点(1/2,2)处的切线方程与法线方程.
解：曲线在点(1/2,2)处的切线斜率为
k=y’=-4

所以所求切线方程为
y-2=-4(x-1/2)
所求法线方程为
y-2=1/4(x-1/2)
6、函数的可导性与联系性的关系
定理1 如果函数在点处可导，则它在点处一定连续.
证明 因为函数在点处可导，则
.
又因为
所以，函数在点处连续.这个定理的逆定理不成立.即函数在点处连续，但函数在点处不一定可导.

例9 函数在点处连续.
事实上，

所以，函数在点处连续，但是在处没有导数.因为

因此，在处不可导.
例9讨论函数在x=0处的连续性与可导性.
解 由题设，f(0)=0
又
即
所以，f(x)在x=0处连续.
而极限
不存在，所以在处不可导.定理1说明函数在某点连续是函数在某点可导的必要条件，但不是充分条件，即可导一定连续，但连续不一定可导；另外，如果函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.
7、函数求导法则
(1)函数的和差求导法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：（u+v）’=u’+v’。其中u、v为可导函数。
例10：已知，求y’
解：
例11：已知，求y’
解：
(2)函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则
法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： (cu)’=cu’
例12：已知y=3sinx+4x2，求y’
解：
(3)函数的积的求导法则
法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成：(uv)’=u’v+uv’
例13：已知，求y’
解：
注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。
(4)函数的商的求导法则
法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成：
例14：已知y=tanx，求y’
解：

8、反函数求导法则
根据反函数的定义，函数y=f(x)为单调连续函数，则它的反函数x=φ(y),它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求导法则，如下(我们以定理的形式给出)：
定理：若是x=φ(y)单调连续的，且φ(y)不等于0,，则它的反函数y=f(x)在点x可导，且有：

注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。即：φ(y’)对y求导，f(x’)是对x求导
例题：求y=arcsinx的导数.
解答：此函数的反函数为x=siny，故x’=cosy则：

例题：求y=arctanx的导数.
解答：此函数的反函数为x=tany，x’=sec2y故则：

9、求导公式与基本求导法则
为了便于记忆与使用，将基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则总结如下：
1）基本初等函数的求导公式
（1）常数函数 （C为常数）
（2）幂函数
（3）指数函数 （，），特别地，
（4）对数函数 （，），特别地，
（5）三角函数

（6）反三角函数
，（ ） ，（）

2）导数的四则运算
设，在点处可导，则
（1）；（2）；（3）.
课后作业及小结：
1、掌握导数的基本概念
2、综合运用导数公式与求导法则进行计算
3、综合运用反函数进行求导
作业：P74.1,3,5，7,8

第二节：复合函数的求导规则
1、复合函数的求导法则
定理1（复合函数的求导法则）定理1 设函数在点处可导，函数在对应点处可导，则复合函数在点处也可导，且有

或简写为
.
证明 给以改变量，则取得对应的改变量又得到对应的改变量.因为存在，所以当时，有
（当时，）
或
因是中间变量，所以可能为零，但当时，由函数的连续性，上式对任意值都成立.不妨规定在时,取值为.这样，（1）式对是否为零都是正确的.所以

即 .
或 .
其中表示函数对的导数，表示函数对的导数，表示函数对的导数.
此定理说明，复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.这一法则又称为链式法则.复合函数求导数法则可推广到多次复合的情形.
例如 设,则复合函数的导数为
例1 求函数y=(x2+1)10的导数.
解 设y=u10，u=x2+1则
.
例2 求函数的导数.
解 设，则
.
例3 求函数的导数.
解
.
例4 求函数的导数.
解
注：补充课本练习
2、高阶导数
（1）二阶导数的物理意义
物体作变速直线运动时，瞬时速度是路程对时间的导数,即.而由物理知识知，加速度是速度对时间t的导数,即
.
从而
.
由此可看出，加速度是路程对时间t的导数的导数，称为对t的二阶导数，记作或.
（2）二阶导数的概念
一般地，如果函数的导数在点处可导，则称在点处的导数为函数在点处的二阶导数，记为
，，或.
类似地，的二阶导数的导数称为三阶导数，记为
，，或.
一般地，的阶导数的导数称为阶导数，记为
，，或.
（3）、n阶导数的计算
例5 设,求其各阶导数.
解 ，，，.
例6 设，求其各阶导数.
解 ，，…，.
例7 设 ，求其各阶导数.
解 ，
，…，
.
同理可得：.
例8 设，求其各阶导数.
解 ，，，，一般地，.
注：补充课本练习
3、隐函数的导数
我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.
一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！
若已知F(x,y)=0，求dy/dx时，一般按下列步骤进行求解：
a)：若方程F(x,y)=0，能化为y=f(x)的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；
b)：若方程F(x,y)=0，不能化为y=f(x)的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数y=f(x)，用复合函数求导法则进行。
例9 方程确定y是x的函数，求y的导数.
解 方程两边对x求导，得，
解出得 .
例10 方程y=1+xey确定是的函数，求的导数.
解 方程两边对求导，得
y’=0+ ey +y’xey，
解出 y’= ey /1-x ey
.
例11 方程确定y是x的函数，求.
解 方程两边对求导，得
，
解出得
.

例12：已知x4+y4-xy=1，求y’（0,1）处的值
解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导，4x3-y-xy’+4x3y’=0
代入（0,1），可得y’=1/4
注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。
4、由参数方程确定的函数的导数
若由参数方程确定y是x的函数，则称此函数关系为由参数方程所确定的函数.下面讨论由参数方程所确定的函数的导数.一般地，设有单调、连续的反函数，则y与x构成复合函数关系
，
根据复合函数和反函数的求导法则，有
.
例13 已知圆的参数方程，求.
解 .
例14 已知，求.
解
课后作业及小结：
1、掌握复合函数的导数，高阶导数，隐函数求导等基本概念
2、综合运用复合函数导数公式与隐函数求导进行计算
3、熟练计算高阶导数及参数方程求导
作业：P85.3,4，5，6，7,8，10

第三节：微分的概念与应用
1、微分的定义
学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由x0变到了x0+△x，则此薄片的面积改变了多少？
解答：设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：A=x20 薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当自变量x从x0取的增量△x时，函数A相应的增量△A，即：
。
从上式我们可以看出，△A分成两部分，第一部分是△x的线性函数，即下图中红色部分；第二部分即图中的黑色部分，
当△x→0时，它是△x的高阶无穷小。由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。下面我们给出微分的数学定义：
函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x的常数，o(△x)是△x的高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x0可微的。叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=A△x。
通过上面的学习我们知道：微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差o(△x)是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，由此我们得出：
定理 若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
例1 求函数求dy|x=1与dy|x=0.01
解 函数的微分为
由已知条件：，所以
例2 设，求dy，dy|x=2.
解 ，所以
2、基本初等函数的微分公式与微分法则
由微分的表达式知，要计算微分dy，只要求出函数的导数，再乘上自变量的微分dx即可
基本初等函数的微分公式和微分运算法则.
（1） （为常数） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
（15） （16）
（17） （18）
（19） （20）
若函数y=f(u)对u是可导的，则有：（1）当u是自变量时，函数的微分形式为;
（2）当是中间变量,即是的可导函数时，则是的复合函数，且有,
由复合函数的求导公式知，
,
所以
.
不论是自变量还是关于自变量的可导函数，的微分形式都可以表示为，这种性质称为
微分的形式不变性.
例3 设，求
解 方法1 利用得
方法2 令，则，由微分形式不变性得
.
与复合函数的求导类似，求复合函数的微分也可不写出中间变量.
例4 设，求
解
例5 求由方程所确定的隐函数的微分
解 方程两边求微分，得
,
,
,
于是 .
3、微分的几何意义

在直角坐标系中，函数y=f(x)的图形如图，设点M是该曲线上的一个定点，当自变量在点x取得改变量时，
就得到曲线上另一个点.由图 知，
，.
过点M作曲线的切线，它的倾角为，则

因此，当是曲线上点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上点的纵坐标的增量.
4、近似计算
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.设y=f(x)在x0处可微，根据微分定义，当很小时，有，即

在上述近似计算中，若令，，当充分小时，有.
例6 求的近似值.
解
课后作业及小结：
1、掌握微分的基本概念
2、综合运用微分公式进行计算
3、记忆微分公式
作业：P94.5,6,8,9

第四节：微分中值定理及其应用
1、罗尔定理
下图描绘了在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导的函数的图形.这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，且两个端点处的纵坐标相等，即f(a)=f(b)．可以发现曲线的最高点或最低点C处, 曲线有水平的切线. 如果记C点的横坐标为，那么就有.现在用分析的语言把这个几何现象描述出来，那就是下面的罗尔定理.

注：省略费马定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数y=f(x)满足
(1) 在闭区间[a,b]上连续,
(2) 在开区间(a,b)内可导,
(3) f(a)=f(b)，
则在(a,b)内至少存在一点 ，使得.
证明 由于函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，在闭区间[a,b]上必定取得它的最大值M和最小值m.这样，有如下两种可能情形
（1）M=m.这时在区间[a,b]上必然取相同的数值,即y=f(x)=M．由此，，有.因此，任取，有．
（2）．因为，所以M和m这两个数中至少有—个不等于在区间[a,b]的端点处的函数值．不妨设，那么必定在开区间((a,b)) 内有一点使.下面证明.
由于是最大值，所以不论为正或为负，恒有
，
当时，有
，
从而

当时，有
，
从而

因为，所以
注 如果罗尔定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立.
例1 ，；
例2 ，；
例3 ，;
它们的图形如图所示.

例3

例2

例1

例4 验证函数在区间上罗尔定理成立.
解

则在上满足罗尔定理的三个条件，则存在，使，符合罗尔定理的结论.
罗尔定理中这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制．如果把这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理．
2、拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点x ， 使得

分析：由可看出，为弦AB的斜率，而为曲线在点C处的切线的斜率．因此拉格朗日中值定理的几何意义是；如果连续曲线的弦上AB除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB．

从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数f(x)不一定具备这个条件，为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数（称为辅助函数），使满足条件．然后对应用罗尔定理，再把对所得的结论转化到上，证得所要的结果．下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理．
(略讲)证明 引进辅助函数
.
函数满足罗尔定理的条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）.因此，由罗尔定理得，在开区间内至少有一点，使得

即 .
注（1）拉格朗日中值公式也可写作

推论1 如果函数在区间I上的导数恒为零, 那么在区间I上是一个常数.
证明 在区间I上任取两点，，且，应用拉格朗日中值定理，得
，
由题设知，所以,即.这意味着，区间内任意两点的函数值相等，所以在区间I上是一个常数.
推论2 如果函数与在区间I每一点的导数与都相等， 那么与在区间I上至多相差一个常数.
例5 求证: ，.
证明 设，则有
，
由推论1知，对任意，恒有

令，得. 从而
，.
例6 求证: 当时，.
证明 设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，因此
，
由于，，有.
又，则

从而当时，
,
即
.
3、柯西中值定理
柯西中值定理：如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导, 且在内的每一点处均不为零，那么在内至少有一点,使

4、洛必达法则
当（或）时，分子f(x)与分母g(x)都趋于零或都趋于无穷大.此时，极限可能存在，也可能不存在，通常把这种类型的极限叫做未定式.本节利用中值定理推导出求未定式极限的一般方法——洛必达法则.
(1) 型未定式求极限的方法
定理 f(x)与g(x)满足条件
（1）；
（2）在的某邻域内（点可除外）可导，且；
（3）（或）;
则（或）.
定理1给出的在一定条件下，通过分子、分母求导数,再求极限的方法称为洛必达法则.在使用洛必达法则求极限时，若仍为型，且仍然满足定理的条件时，可继续使用洛必达法则.
注：补充课本例题外，加入以下题目
例 7 求极限.
解 此极限0/0未定式，若用洛必达法则，分子、分母分别求导后，将化为
，
此式振荡无极限，故洛必达法则失效.但原极限是存在的，求法如下：
.

(2) 型未定式求极限的方法
定理 函数满足条件
（1）；
（2）在的某邻域内（点可除外）可导，且；
（3）（或）；
则 （或）.
注 将定理中改为，，，，等过程，洛必达法则同样成立.
例8 求极限.
解 这是型未定式，由洛必达法则得

.
注：补充课本例题外，加入以下题目
例9 求极限.
解 这是型未定式，由洛必达法则得

(3) 其他类型的未定式求极限的方法
前面讨论了两种基本的未定式型和型的极限问题.另外，还有，，，，等五种类型的未定式，它们可以通过适当的变形都可转化为型或型，再利用洛必达法则即可求解.
注：补充课本例题外，加入以下题目
例10 求极限.
解 这是型未定式，先将其转化为型再利用洛必达法则，
.
例11求极限.
解 这是型未定式，通过通分将其变为型未定式，再利用洛必达法则得，

.
对于，，型未定式，利用对数恒等式及指数函数的连续性将其转化为指数的极限.一般地，我们有

例12 求极限.
解 这是型未定式，则
.
例13求极限.
解 这是型未定式，则
，
而 ,
所以 .
课后作业及小结：
1、掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理基本概念
2、综合运用洛必达法则进行计算
作业：P103.2,4,6,10

第五节：泰勒中值定理（不讲）
第六节： 函数的性态与图形
1、函数单调性的判别
函数y=f(x)在区间(a,b)内单调增加，其图像是一条沿x轴正向上升的曲线，其上各点切线斜率都为正值，即
.
函数y=f(x)在区间(a,b)内单调减少，其图像是一条沿x轴正向下降的曲线，其上各点切线斜率都为负值，即

.

由此可见，函数的单调性与导数的符号有密切的关系.那么，能否用导数的符号来判断f(x)的单调性呢？下面的定理对此问题给出了肯定的回答.
定理1（函数单调性的判定法则）设y=f(x)在闭区间连续，开区间(a,b)可导.
（1）如果时，恒有，那么y=f(x)在区间(a,b)内单调增加；
（2）如果时，恒有，那么y=f(x)在区间(a,b)内单调减少.
证明 设x1，x2是(a,b)内任意两点，且，则由拉格朗日中值定理得，
，
如果时，则，又,即，于是，即.所以，函数y=f(x)在区间(a,b)内单调增加；同理可证。
注 （1）若将定理中的换成其他各种区间包括无穷区间，结论同样成立.如果函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.
例1 确定函数f(x)=ex-x-1的增减区间.
   解：容易确定此函数的定义域为(－∞,＋∞)
         其导数为：f’(x)=ex-1的，因此可以判出：
         当x＞0时，f’(x)＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)；
         当x＜0时，f’(x)＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；
例2 求证：当x>0时，x>ln(1+x).
证明 令，则.
当x>0时，，因此在单调增加.又在为连续函数，所以当x>0时，，即
.
因此，当x>0时，.
注：补充课本例题
2、函数的极值及求法
曲线上的这些点以及这些点所对应的函数值在实际应用中有着非常重要的意义.由此引入函数的极值的概念.
定义1 设函数在的某邻域内有定义，
（1）若对，恒有，则称为的极大值，
为的极大值点；
（2）若对，恒有，则称为的极小值，
为的极小值点.
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 显然，极值是一个局部性的概念，它只是在与极值点邻近的所有点的函数值相比较而言，而不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
如图所示，函数在点和各有极大值和，而在点和点各有极小值和，而极大值还小于极小值.

由图还可以看出，在极值点处如果曲线有切线存在，并且切线有确定的斜率，那么，切线平行于轴，即该切线的斜率等于零.但是，在某点曲线的切线平行于轴，并不意味着这点就一定是极值点，如图3-7中的点不是极值点，而曲线在点的切线却平行于轴.因此有下面定理.
定理2（极值的必要条件）如果函数在点处有极值，且存在，则.
证明 设为极大值，则在的某个邻域内总有

于是，当时，
；
反之，
.
由题意知：存在，所以
，
，
因而，.同理可证为极小值的情形.
注：（1）当存在时，是点为极值点的必要条件，但不是充分。使=0的点称为函数的驻点.驻点可能是函数的极值点，也可能不是极值点.
（2）在函数导数不存在的点，函数也可能有极值
把极值可疑点.连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值，但极值可疑点又不一定是极值点.下面给出判定极值的两个充分条件.
定理3（判定极值的第一充分条件）设函数在点的某邻域内连续并且可导（但可以不存在）,
（1）如果当时，，而当时，，则函数在点处有极大值；
（2）如果当时，，而当时，，则函数在点处有极小值.
（3）如果当，，不变号，则在点处无极值.
注：如果函数在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则可按下列步骤求函数的极值点和极值：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数，考虑或不存在，找出极值可疑点；
（3）列表讨论在极值可疑点左右两侧邻近范围内符号变化的情况，确定函数的极值点；
（4）求出各极值点处的函数值，即可得到的全部极值.
例3 求函数的单调区间和极值.
解 （1）函数的定义域为,
（2），令，得驻点

列表如下：

＋

＋

—

＋

↗
非极值
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可见，函数在区间单调增加.在区间单调减少，在点处
有极大值，在点处有极小值.如图所示.

定理4（判别极值的第二充分条件） 设.
（1）如果，则为的极小值.
（2）如果，则为的极大值.
证明（略）
例4 求函数的极值.
解 定义域：
, ,
令，即
得 .
因为 , ,
所以，函数有极大值.
注 若函数在处有，定理4失效，这时函数在处可能取得极大值，可能取得极小值，也可能没有极值.
3、曲线的凹凸性与拐点
为了进一步研究函数的特征，就要研究曲线的弯曲方向以及扭转弯曲方向的点. 曲线的弯曲方向是用曲线与其切线的相对位置来描述的.曲线向上弯曲弧段位于弧段上任意一点的切线上方，曲线向下弯曲的弧段位于这弧段上任意一点的切线的下方.由此，给出如下定义：
定义2 如果在某区间内,曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称曲线在这个区间是上凹的.如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线在这区间内是下凹的（上凹简称为凹，下凹简称为凸）.
从图看到：对于向上凹的曲线弧，切线的斜率随的增大而变大，即；对于向下凹的曲线弧，切线的斜率随的增大而变小，即.反过来，从几何直观可以看到：若时，曲线弧向上凹；若时，曲线弧向下凹.从而可得判定法则：

定理5 设函数在区间内具有二阶导数，则
（1）如果时，恒有，则曲线在内是上凹的（简称凹的）.
（2）如果时，恒有，则曲线在内是下凹的（简称凸的）.
例5 求曲线的拐点，并讨论其凹凸性.
解 定义域：
, ,
令 ，即
得.
列表讨论如下：

—
0

凹
拐点
凸
拐点
凹
求拐点有两种特殊情况要加以注意：
（1）在某点一阶导数存在而二阶导数不存在时，如果在该点左、右邻近二阶导数存在且符号相反，则该点是拐点，如果符号相同则不是拐点.
（2）若函数在某点连续，而一、二阶导数都不存在时，如果在该点左、右邻近二阶导数存在且符号相反，则该点是拐点，如果符号相同则不是拐点.
4、曲线的渐近线
（1）水平渐近线：若，则是曲线的水平渐近线。
（2）垂直渐近线： 若，则是曲线的垂直渐近线。
例6 求曲线的渐近线。
解： 因为 ；；
所以直线是水平渐近线，直线及是两条垂直渐近线。
5、函数图形的描绘（黑板上作图）
课后作业及小结：
1、掌握单调性、凹凸性基本概念
2、综合运用函数性态内容进行画图
3、熟练运用极值进行计算
作业：P124.1,3,8,9,14,15

第七节：微分学的实际应用
1. 函数在闭区间上的最大值与最小值
由第一章内容知，在上连续的函数必有最大值和最小值。闭区间上函数最大、最小值的求法：求出函数在驻点、导数不存在的点及区间端点处的函数值，进行比较，大者为最大值，小者为最小值。
例1 求 在上的最大、最小值。
解：
令，得驻点 ，；则 ，，，；比较知
，
2. 应用问题举例
注： 若在区间内只有唯一一个极大（小）值点，那么在此点处取得最大（小）值。
例2 在边长为的正方形铁皮四个角处剪去边长为的小正方形后，将铁皮做成一个无盖的水箱，问小正方形边长为多少时，水箱容积为最大？
解： 设水箱容积为V，水箱底面为边长是的正方形，则有

令 ，得 ，（舍去） 又因为 ，且
所以是V在内的唯一极大值点，因此，当时，V最大。
答：小正方形边长为时，水箱容积最大。
例 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面积为，问底宽为多少时才能使截面周长最小，从而使建造时所用的材料最少？
解：设截面的周长为l，矩形高为y，已知 ,即，
则有 ， ，
令 ，得驻点 。由 知是唯一的极小值点，因此也是最小值点。所以当截面底宽为米时，截面周长为最小。
2、曲率（P128不讲）
课后作业及小结：
1、掌握最大值，最小值，曲率等基本概念
2、综合运用最大最小值进行计算
3、了解曲率及其计算公式
作业：P133.1,5,6,7,11,13