同济大学(高等数学)-第二章-导数和微分.doc

第二篇 一元函数微积分第二章 导数与微分微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少，即函数的局部改变量的估值本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用第1节 导数的概念1.1 导数概念的引入1.1.1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程与运动时间的函数关系式记为，求在时刻时质点的瞬时速度为多少？整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的设质点从时刻改变到时刻，在时间增量内，质点经过的路程为，在时间内的平均速度为，当时间增量越小时，平均速度越接近于时刻的瞬时速度，于是当时，的极限就是质点在时刻时的瞬时速度，即1.1.2 平面曲线的切线斜率问题已知曲线，求曲线上点处的切线斜率欲求曲线上点的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限图2-1如图2-1所示，取曲线上另外一点，则割线的斜率为当点沿曲线趋于时，即当时，的极限位置就是曲线在点的切线，此时割线的倾斜角趋于切线的倾斜角，故切线的斜率为前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质导数1.2 导数的概念1.2.1 函数在一点处的导数定义1 设函数在点的某领域内有定义，自变量在处取得增量，且时，函数取得相应的增量，如果极限存在，那么称函数在点可导，并称此极限值为函数在点的导数，记作，即注：（1）由导数的定义可得与其等价的定义形式；（2）若极限不存在，则称函数在点不可导特别地，若，也可称函数在点的导数为无穷大，此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线例1 设，求解 根据导数的等价定义，可得例2 设，求下列极限：（1）； （2）解（1）（2）1.2.2 单侧导数导数是由函数的极限来定义的，因为极限存在左、右极限，所以导数也存在左、右导数的定义定义2 （1）设函数在点的某左邻域内有定义，当自变量在点左侧取得增量时，如果极限或存在，则称此极限值为在点的左导数，记为，即（2）设函数在点的某右邻域内有定义，当自变量在点右侧取得增量时，如果极限或存在，则称此极限值为在点的右导数，记为，即 由极限存在的充要条件可得函数在点可导的充要条件如下：定理1 函数在点可导和存在且相等例3 研究函数在点的可导性解 因为，所以，从而，因此在点不可导1.2.3 导函数定义3 （1）若函数在区间内每一点均可导，则称在区间内可导；（2）若函数在区间内可导，在区间左端点的右导数和区间右端点的左导数均存在，则称在闭区间上可导定义4 若函数在区间（可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，且对于任意的，都对应着一个导数值，其是自变量的新函数，则称为在区间上的导函数，记作，即或注：（1）在导函数的定义式中，虽然可以取区间上的任意值，但在求极限的过程中，是常数，和是变量（2）导函数也简称为导数，只要没有指明是特定点的导数时所说的导数都是指导函数显然函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即下面利用导数的定义求一些简单函数的导数例4 求常值函数（为常数）的导数解 即得常值函数的导数公式：例5求正弦函数的导数解 即得正弦函数的导数公式：类似可得余弦函数的导数公式：例6求指数函数的导数解 由于当时，所以即得指数函数的导数公式：特别地，例7 求对数函数的导数解 即得对数函数的导数公式：特别地，例8 求幂函数的导数解 ，因为当时，从而，故即得幂函数的导数公式：1.3 导数的几何意义函数在点可导时，导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率（图2-1）由此可得，曲线在处的切线方程为若，可得切线的倾斜角为或，此时切线方程为当时，曲线在处的法线方程为若，则法线方程为例9 求函数在点处的切线的斜率，并写出在该点的切线方程和法线方程解 根据导数的几何意义，函数在点处的切线的斜率为从而所求的切线方程为，即所求法线的斜率为，从而所求的法线的方程为，即1.4 函数可导性与连续性的关系定理2 如果函数在点处可导，那么在点处连续证明 因为在点处可导，即，其中，所以根据连续的定义可知在点处连续注：（1）定理2的逆命题不成立，即连续函数未必可导（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导例10 讨论函数在点处的连续性与可导性解 因为，所以在点处连续又因为不存在，所以在点处不可导例11 讨论函数在点处的连续性与可导性解 因为，所以在点处不连续，从而在点处不可导例12 设函数在点处可导，求解 由于在点处可导，所以在点处必连续，即因为，所以可得又因为，要使在点处可导，则应有，即所以，如果在点处可导，则有习题2-11. 已知物体的运动规律为，求：（1）物体在到这一时间段的平均速度；（2）物体在时的瞬时速度2. 设，按定义求.3. 设存在，指出下列极限各表示什么？（1）； （2）；（3）（设且存在）.4. 设函数在点处连续，且，求.5. 已知函数，求和，判定是否存在？6. 求曲线在点处的切线方程和法线方程.7. 试讨论函数在处的连续性与可导性.8. 设函数在处可导，求的值.第2节 函数的求导法则在上一节中，利用导数的定义求得了一些基本初等函数的导数但对于一些复杂的函数，利用导数定义去求解，难度比较大因此本节将介绍几种常用的求导法则，利用这些法则和基本求导公式就能比较简单地求一般初等函数的导数2.1 导数的四则运算法则定理1 如果函数和都在点处可导，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）都在点处可导，且（1）（2）特别地，（为常数）（3）特别地，证明（1） （2） ，由于在点处可导，从而其在点处连续，故（3）先考虑特殊情况当时，由于在点处可导，从而其在点处连续，故因此，函数在点处可导，且于是注：（1）法则（1）可以推广到有限个可导函数的和与差的求导如（2）法则（2）可以推广到有限个可导函数的积的求导如例1 设，求解 例2 设，求解 例3 设，求解 例4 设，求解 例5 设，求解 即得正切函数的导数公式：类似可得余切函数的导数公式：例6 设，求解 即得正割函数的导数公式：类似可得余割函数的导数公式：2.2 反函数的求导法则定理2 如果函数在区间内单调、可导且，那么它的反函数在区间内也可导，且 或 换句话说，即反函数的导数等于原函数的导数的倒数证明 由于在区间内单调、可导（必连续），从而可知的反函数存在，且在区间内也单调、连续取，给以增量，由的单调性可知，于是有，由于连续，所以，从而例7 设，求解 因为的反函数在区间内单调可导，且又因为在内有，所以在对应区间内有即得到反正弦函数的导数公式：类似可得反余弦函数的导数公式：例8 设，求解 因为的反函数在区间内单调可导，且，所以在对应区间内有即得反正切函数的导数公式：类似可得反余切函数的导数公式：2.3 复合函数的求导法则定理3 如果函数在点可导，函数在相应点可导，那么复合函数在点可导，且其导数为 或 证明 因为在点可导，所以存在，于是根据极限与无穷小的关系可得，其中是时的无穷小由于上式中，在其两边同乘，可得，用除上式两边，可得，于是根据函数在某点可导必在该点连续可知，当时，从而可得又因为在点可导，所以，故如果，规定，那么，此时仍成立，从而仍有注：（1）表示复合函数对自变量求导，而则表示函数对中间变量求导（2）定理的结论可以推广到有限个函数构成的复合函数例如，设可导函数构成复合函数，则例9 设，求解 因为由复合而成，所以例10 设，求解 因为由复合而成，所以从以上例子可以直观的看出，对复合函数求导时，是从外层向内层逐层求导，故形象地称其为链式法则当对复合函数求导过程较熟练后，可以不用写出中间变量，而把中间变量看成一个整体，然后逐层求导即可例11 设，求解 例12 设，求解 例13 设（为常数），求解 例14 设，求解 因为，所以，当时，；当时，综上可得例15 设可导，求的导数解 2.4 高阶导数变速直线运动的质点的路程函数为，则速度，加速度，从而这种导数的导数称为二阶导数，依次类推就产生了高阶导数的概念一般地，可给出如下定义：定义1 若函数的导数在点可导，则称在点的导数为函数在点的二阶导数，记作，即这时也称在点二阶可导若函数在区间上每一点都二阶可导，则称它在区间上二阶可导，并称为在区间上的二阶导函数，简称为二阶导数如果函数的二阶导数仍可导，那么可定义三阶导数：，记作以此类推，如果函数的阶导数仍可导，那么可定义阶导数：，记作习惯上，称为的一阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数有时也把函数本身称为的零阶导数，即注：由高阶导数的定义可知，求高阶导数就是多次接连地求导数，所以前面学到的求导方法对于计算高阶导数同样适用定理4 如果函数和都在点处具有阶导数，那么（1）（2），其中特别地，（为常数）定理4中的（2）式称为莱布尼兹（Leibniz）公式例16 设，求解 ，一般地，设，则例17 设，求解 ，由归纳法可得特别地，当时，例18 设，求解 ，由归纳法可得类似地，可得例19 设，求解 ，由归纳法可得例20 设（为任意常数），求解 ，由归纳法可得特别地，当时，可得而例21 设，求解 例22 设，求解 设，则，由莱布尼兹公式，可得2.5 导数公式与基本求导法则基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、反函数的求导法则及复合函数的求导法则等在初等函数的求导运算中起着重要的作用为了便于查阅，现在把这些导数公式和求导法则归纳如下：2.5.1 基本初等函数的导数公式（1）（为常数）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）2.5.2 导数的四则运算法则设函数和都可导，则（1）； （2）； （3）（为常数）； （4）；（5）2.5.3 反函数的求导法则如果函数在区间内单调、可导且，那么它的反函数在区间内也可导，且 或 2.5.4 复合函数的求导法则如果函数在点可导，函数在相应点可导，那么复合函数在点可导，且其导数为 或 2.5.5 高阶导数的运算法则如果函数和都在点处具有阶导数，那么（1）（2），其中特别地，（为常数）习题2-2 1. 求下列函数的导数.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）.2. 求曲线上横坐标为的点处的切线方程和法线方程.3. 求下列函数的导数.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）.4. 设为可导函数，求下列函数的导数.（1）； （2）；（3）； （4）.5. 求下列函数的二阶导数.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.6. 求下列函数所指定阶的导数.（1），求； （2），求.第3节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数3.1 隐函数的导数以解析式的形式确定的函数称为显函数例如，以二元方程的形式确定的函数称为隐函数例如，把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数但隐函数的显化有时候是困难的，甚至是不可能的例如方程所确定的隐函数就难以化成显函数但在很多情况下，需要计算隐函数的导数，因此，我们希望找到一种方法，不论隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数隐函数求导的基本思想是：把方程中的看成自变量的函数，结合复合函数求导法，在方程两端同时对求导数，然后整理变形解出即可的结果中可同时含有和若将看成自变量，同理可求出例1 求由方程所确定的隐函数的导数解 方程两端对求导，得，从而例2 求由方程所确定的隐函数的导数解 方程两端对求导，得，从而例3 求椭圆曲线上点处的切线方程和法线方程解 方程两端对求导，得，故从而，切线斜率和法线斜率分别为，所求切线方程为，即法线方程为，即例4 求由方程所确定的隐函数的二阶导数解 方程两端对求导，得，从而上式两端再对求导，得3.2 对数求导法对于以下两类函数：（1）幂指函数，即形如的函数（2）函数表达式是由多个因式的积、商、幂构成的要求它们的导数，可以先对函数式两边取自然对数，利用对数的运算性质对函数式进行化简，然后利用隐函数求导法求导，这种方法称为对数求导法例5 设，求解 函数两端取自然对数，得，两端分别对求导，得，所以例6 设，求解 先在函数两端取绝对值后再取自然对数，得，两端分别对求导，得，即 容易验证，例6中的解法，若省略取绝对值这一步所得的结果是相同的，因此，在使用对数求导法时，常省略取绝对值的步骤3.3 由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程确定了与之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数定理1 设参数方程，其中均可导，且函数严格单调，则有 或 证明 因为函数严格单调，所以其存在反函数又因为可导且，故也可导，且有对于复合函数求导，可得如果还是二阶可导的，那么由定理1可得到函数的二阶导数公式：，即例7 设，求解 因为所以例8 求星形线在的相应点处的切线方程和法线方程（图2-2）图2-2解 由可得，星形线在点处的切线斜率和法线斜率分别为，从而，所求切线方程为，即所求法线方程为，即例9 设，求解 （方法一）因为，所以（方法二）由于，代入公式可得3.4 由极坐标方程所确定的函数的导数研究函数与的关系通常是在直角坐标系下进行的，但在某些情况下，使用极坐标系则显得比直角坐标系更简单如图2-3所示，从平面上一固定点，引一条带有长度单位的射线，这样在该平面内建立了极坐标系，称为极点，为极轴设为平面内一点，线段的长度称为极径，记为，极轴到线段的转角（逆时针）称为极角，记为，称有序数组为点的极坐标图2-3若一平面曲线上所有点的极坐标都满足方程，且坐标满足方程的所有点都在平面曲线上，则称为曲线的极坐标方程将极轴与直角坐标系的正半轴重合，极点与坐标原点重合，若设点的直角坐标为，极坐标为，则两者有如下关系：或设曲线的极坐标方程为，利用直角坐标与极坐标的关系可得曲线的参数方程为，其中为参数由参数方程的求导公式，可得例10 求心形线在处的切线方程（图2-4）图2-4解 由极坐标的求导公式得当时，所以，所求切线方程为，即习题2-3 1. 求由下列方程所确定的隐函数的导数. （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.2. 求曲线在点处的切线方程和法线方程.3. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数.（1）； （2）.4. 利用对数求导法求下列函数的导数.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.5. 求下列参数方程所确定的函数的指定阶的导数.（1），求； （2），求；（3），求； （4），求.6. 求四叶玫瑰线（为常数）在对应点处的切线方程.第4节 函数的微分4.1 微分的概念在许多实际问题中，要求研究当自变量发生微小改变时所引起的相应的函数值的改变例如，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（图2-5），问此薄片的面积改变了多少？当很微小时，正方形的面积改变的近似值是多少？图2-5设此正方形的边长为，面积为，则与存在函数关系当边长由变到，正方形金属薄片的面积改变量为从上式可以看出，分为两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，第二部分是图中右上角的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小量，即因此，当很微小时，我们用近似地表示，即故是正方形的面积改变的近似值定义1 设函数在某区间内有定义，及在此区间内，如果函数的增量可表示为，其中是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记为或4.2 微分与导数的关系定理1 函数在点可微的充要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是证明 （必要性）设函数在点可微，即，其中是不依赖于的常数上式两边用除之，得，当时，对上式两边取极限就得到即因此，若函数在点可微，则在点一定可导，且（充分性）函数在点可导，即存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成，其中（当时），从而，其中是与无关的常数，比是高阶无穷小，所以在点也是可微的根据微分的定义和定理1可得以下结论：（1）函数在点处的微分就是当自变量产生增量时，函数的增量的主要部分（此时）由于是的线性函数，故称微分是的线性主部当很微小时，更加微小，从而有近似等式（2）函数的可导性与可微性是等价的，故求导法又称微分法但导数与微分是两个不同的概念，导数是函数在处的变化率，其值只与有关；而微分是函数在处增量的线性主部，其值既与有关，也与有关定义2 函数在任意点处的微分，称为函数的微分，记作或，即通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即因此，函数的微分可以写成或从而有或因此，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数所以，导数又称微商例1 设函数，（1）求；（2）若，求和解 （1）由微分的定义可得（2）将代入（1）的结果，可得；4.3 微分的几何意义在平面直角坐标系中，函数的图形是一条曲线，对于曲线上某一确定的点，当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点（图2-6）过点作曲线的切线，它的倾斜角为，则有，.图2-6由此可见，对于可微函数，当是曲线上的点的纵坐标的增量时，微分就是曲线在点的切线的纵坐标的相应增量当很小时，比小得多，因此在点的邻近，可以用近似代替，进而可以用切线段来近似代替曲线段4.4 微分公式与微分运算法则由函数的微分表达式可得，只要先计算出函数的导数，再乘以自变量的微分就可以计算出函数的微分因此可得如下的微分公式和微分运算法则4.4.1 基本初等函数的微分公式（1）（为常数）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）4.4.2 微分的运算法则设函数和都可导，则（1）； （2）； （3）（为常数）； （4）4.4.3 复合函数的微分法则设均可导，则复合函数的微分为由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变这一性质称为微分形式不变性例2 设，求解 （方法一）令，则利用微分形式不变性，可得（方法二）若不引入中间变量，则4.4.4 隐函数的微分例3 求由方程所确定的隐函数的微分解 对方程两边分别求微分，有，即，从而，可得4.5 微分在近似计算中的应用根据前面的讨论可知，如果函数在点处的导数，且很小时，那么有， （2-4-1）公式（2-4-1）可以改写为， （2-4-2）或 （2-4-3）在（2-4-3）式中令，即，则可得 （2-4-4）如果和都容易计算，则可以利用（2-4-1）式来近似计算，利用（2-4-3）式来近似计算，以及利用（2-4-4）式来近似计算若在（2-4-4）式中令，则有 （2-4-5）从而，当很小时，可用（2-4-5）式推得以下几个常用的近似公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）例4 一个内直径为的球壳体，球壳的厚度为，问球壳体的体积的近似值为多少？解 半径为的球体体积为由于，故就是球壳体的体积用作为其近似值，则所以球壳体的体积的近似值为例5 计算的近似值解 设，则取，则例6 计算的近似值解 由于，而，其值较小，故利用近似公式，可得习题2-4 1.已知函数，计算在处，当时的和.2. 求下列函数的微分.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.3. 求由方程所确定的函数的微分.4. 利用微分计算下列近似值.（1）； （2）.5设扇形的圆心角，半径如果不变，减少，问扇形面积大约改变了多少？又如果不变，增加，问扇形面积大约改变了多少？6有一批半径为的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，铜的厚度定为，估计一下每只球需用铜多少（铜的密度为）？第5节 导数的应用由于导数就是函数的变化率，所以现实生活中很多涉及变化率的问题，都可以转化为对导数的计算问题因此导数在现实生活中的应用是非常广泛的5.1 相关变化率定义1 若及为可导函数，且函数由，确定，则变化率与称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率例1 一气球从离开观察员500 m处离地面铅直上升，其速度为，当气球高度为500 m时，观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升分钟后其高度为，观察员视线的仰角为，则上式两边对求导，可得当时，即又因为，所以即此时观察员视线的仰角增加率是例2 平静的水面由于石头的落入而产生同心波纹，如果最外一圈波纹半径的增大率总是，问在末水面扰动面积的增大率是多少？解 设时最外一圈波纹半径为，此时水面扰动面积为，则上式两边对求导，可得当时，又因为，所以，即在末水面扰动面积的增大率是5.2 经济学上的应用5.2.1 边际与边际分析在经济学中，边际概念是与导数密切相关的一个经济学概念，它反映的是一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率定义2 设函数在可导，则称导函数为的边际函数称为边际函数在处的边际函数值下面介绍经济分析中几个常用的边际函数：1. 边际成本定义3 总成本函数的导数称为边际成本边际成本表示当已生产了个单位产品时，再增加一个单位产品使总成本增加的数量例3 设生产某种产品个单位的总成本为，试求当时的总成本及边际成本，并解释边际成本的经济意义解 由，可得边际成本函数为当时，总成本为，边际成本为经济意义：当产量为10个单位时，再增加一个单位产量，总成本需再增加5个单位2. 边际收益定义4 总收益函数的导数称为边际收益边际收益表示销售个单位产品后，再多销售一个单位产品时所增加的总收益例4 某产品的价格与销售量的关系为，求时的总收益及边际收益，并解释边际收益的经济意义解 总收益函数为，边际收益函数为当时，总收益为，边际收益为经济意义：当销售量为30个单位时，再多销售一个单位产品，总收益将减少2个单位（或者说，再少销售一个单位产品，总收益将少损失2个单位）3. 边际利润定义5 总利润函数的导数称为边际利润边际利润表示若已经生产了个单位的产品，再多生产一个单位的产品时所增加的总利润例5 某煤炭公司每天生产煤吨的总成本函数为，如果每吨煤的销售价为490元，求（1）边际成本；（2）总利润函数以及边际利润；（3）当吨时的边际利润，并解释其经济意义解 （1）由，可得边际成本为（2）因为总收入函数为，所以总利润函数为，故边际利润为（3）当吨时，边际利润为经济意义：当每天煤的产量在1000吨的基础上再增加一吨时，总利润没有增加5.2.2 弹性与弹性分析弹性概念是经济学中的另一个重要概念，它是用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度定义6 设函数在点处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比称为函数在与两点间的弹性，或两点间的相对变化率当时，的极限称为函数在点处的弹性或相对变化率，记为或对于一般的，如果可导，且，则有，它是的函数，称之为的弹性函数，简称弹性 注：表示在点处，当改变时，函数改变下面介绍经济分析中常见的弹性函数：1. 需求的价格弹性定义7 设某商品的需求函数（表示商品价格，表示需求量）在点处可导，由于一般情形下单调减少，和符号相反，且为正数，故和均为非正数，为了用正数表示弹性，我们称为该商品在和两点间的需求的价格弹性称为该商品在点处的需求的价格弹性函数，简称为需求弹性根据需求弹性的大小，可分为下面三种情况：（1）当时，称需求富有弹性，此时需求变动的幅度大于价格变动的幅度，价格变动对需求量的影响较大（2）当时，称需求有单位弹性，此时需求变动的幅度等于价格变动的幅度（3）当时，称需求缺乏弹性，此时需求变动的幅度小于价格变动的幅度，价格变动对需求量的影响不大例6 已知某商品的需求函数为，求：（1），并解释其经济意义；（2）需求弹性函数；（3）时的需求弹性，并解释其经济意义解 （1）当时，有当时，有，从而，故其经济意义：当商品价格从30降到25时，在该区间内，价格从30每降低1%，需求量从40平均增加1.2%（2）因为，所以需求弹性函数（3）时的需求弹性为 其经济意义：当时，价格每上涨（下跌）1%，需求量则减少（增加）1%2. 供给的价格弹性定义8 设某商品的供给函数（表示商品价格，表示供给量）在点处可导，则称为该商品在和两点间的供给弹性称为该商品在点处的供给的价格弹性函数，简称为供给弹性注：由于供给函数一般为价格的递增函数，故当价格上涨时，供给量相应增加；当价格下跌时，供给量相应减少例7 设某商品的供给函数为，求：（1）供给弹性函数；（2）当时的供给弹性，并解释其经济意义解 （1）因为，所以供给弹性函数为（2）时的供给弹性为 其经济意义：当时，价格再上涨（下跌）1%，供应量将增加（减少）6%3. 收益的价格弹性定义9 设某商品的需求函数为可导函数（表示商品价格，表示需求量），则收益关于价格的函数为，称为该商品在点处的收益的价格弹性函数，简称为收益弹性例8 已知某商品的需求函数为，求：（1）该商品的收益弹性函数；（2）时的收益弹性，并解释其经济意义解 （1）商品的收益函数为，从而收益弹性函数为（2）时的收益弹性为其经济意义：当时，价格再上涨（下跌）1%，总收益将减少（增加）0.5%习题2-5 1. 气球充气时，其半径以的速度增大，假设在充气过程中气球始终保持球形，求时气球体积的变化率.2. 注水入深上顶直径的正圆锥形容器中，其速率为，当水深为时，其表面上升的速率为多少？3. 已知某商品的成本函数为，求当时的总成本及边际成本.4. 设某产品的需求函数为，其中为价格，为销售量，求销售量为15个单位时的总收益和边际收益.5. 已知某商品的需求函数为，求：（1），并解释其经济意义；（2）需求弹性函数；（3）、和，并解释其经济意义6. 设某商品的供给函数为，求：（1）供给弹性函数；（2）当时的供给弹性，并解释其经济意义7. 设某商品的需求函数为可导函数（表示商品价格，表示需求量），收益函数为，证明8. 已知某公司生产经营的某种电器的需求弹性在之间，如果该公司计划在下一年度内将价格降低，试求这种电器的销售量将会增加多少？总收益将会增加多少？第6节 MATLAB软件应用MATLAB符号工具箱中提供的函数diff可以求取一般函数的导数及高阶导数，也可求隐函数和由参数方程确定的函数的导数函数diff的调用格式如下：D= diff(fun,x,n)参数说明：D是求得的导数， fun是函数的符号表达式，x是符号变量，n是求导阶数，若n缺省，其默认值为1在MATLAB中还可以使用函数subs来计算函数在某一点的导数值函数subs的调用格式如下：Z=subs(fun,old,new)参数说明：fun 是函数的符号表达式，old是符号变量，Z是在函数fun中用变量new替换old后所求得的导数值例1 求的导数.解 输入命令：syms a x;daoshu=diff(log(x+sqrt(a2+x2), x );daoshu=simplify(daoshu) % 使输出的结果简单化输出结果：daoshu=1/(a2+x2)(1/2)例2 求的5阶导数.解 输入命令：syms x;daoshu5=diff(exp(2*x),x,5)输出结果：daoshu5=32*exp(2*x)例3 求由方程所确定的隐函数的导数.解 输入命令：syms x y;z=exp(y)+x*y-exp(1);dydx=-diff(z,x)/diff(z,y)输出结果：dydx=-y/(x+exp(y)例4 求由参数方程所确定的函数的导数.解 输入命令：syms tx=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);daoshu=diff(y,t)/diff(x,t);daoshu=simplify(daoshu)输出结果：daoshu=(cos(t)+sin(t)/(cos(t)-sin(t)例5 求的微分.解 输入命令：syms x;y=cos(3*x+2);dy=char(diff(y),dx输出结果：dy=-3*sin(3*x+2)dx例6 求函数在处的导数值.解 输入命令：syms xf=x3+4*sin(x);dfdx=diff(f,x);f_pi=subs(dfdx,x,pi)输出结果：f_pi=3*pi2-4总习题2（A） 1. 一物体的运动方程为，求下列各值：（1）物体在到这段时间的平均速度；（2）物体在时的速度.2. 已知函数，求.3. 讨论下列函数在点的连续性和可导性.（1）； （2）.4. 设在点处可导，求的值.5. 求曲线在点处的切线方程和法线方程. 6. 求下列函数的导数.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）；