第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数).doc

第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。
教学重点：1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式
3.向量的概念
4.向量的运算
教学难点：1.空间思想的建立
2.向量平行与垂直的关系
教学内容：
一、向量的概念
1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2． 量的表示方法有: 、、、等等。
3． 向量相等：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。
4． 量的模：向量的大小，记为、。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
5． 量平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。
6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为
二、向量的线性运算
1．加减法： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4
2． 即
3．向量与数的乘法：设是一个数，向量与的乘积规定为
时，与同向，
时，
时，与反向，
其满足的运算规律有：结合率、分配率。设表示与非零向量同方向的单位向量，那么
定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝
例1：在平行四边形ABCD中，设，，试用和b表示向量、、和，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4
解：，于是
由于， 于是
又由于，于是
由于， 于是
三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向。
2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、轴、轴，坐标面分别为面、面、面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。
图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点的距离图
3．空间点的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。
注意：特殊点的表示
a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；
b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。
4．空间两点间的距离。 若、为空间任意两点， 则的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为：

而

所以

特殊地：若两点分别为，

例1：求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
证明:

由于 ，原结论成立。
例2：设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标。
解：因为在轴上，设P点坐标为

所求点为：，
四、利用坐标系作向量的线性运算
1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示 图7－5
沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：
i + j+k
或 a = ax i + ayj + azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为
a ＝ {ax，ay，az}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为终点为的向量可以表示为

特别地，点对于原点O的向径

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.
2．向量运算的坐标表示
设，即，
则
(1) 加法：
◆ 减法：
◆ 乘数：
◆ 或

◆ 平行：若a≠0时，向量相当于，即

也相当于向量的对应坐标成比例即

五、向量的模、方向角、投影
设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。
1． 模

2． 方向余弦
由性质1知，当时，有

◆ 任意向量的方向余弦有性质：
◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：

例：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。
解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-}

，，
，，
设为与同向的单位向量，由于
即得

3． 向量在轴上的投影
(1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则
(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有
(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为
(4) 空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。
(5) 向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。
2．投影定理
性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：
性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。
作业：

第二节 数量积 向量积
教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点：1. 数量积、向量积的概念及其等价的表示形式
2.向量平行、垂直的应用
教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式
2.向量平行与垂直的相应结论
教学内容：
一、数量积：
a) 定义：，式中为向量a与b的夹角。
b) 物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为

其中为F与s的夹角。
c) 性质：Ⅰ.
Ⅱ.两个非零向量a与b垂直的充分必要条件为：
Ⅲ.
Ⅳ.
Ⅴ. 为数
d) 几个等价公式：
Ⅰ.坐标表示式：设，则

Ⅱ.投影表示式：
Ⅲ.两向量夹角可以由式求解
e) 例子：已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求
提示：先求出向量及，应用上求夹角的公式。
二、向量积：
a) 概念：设向量是由向量a与b按下列方式定义：
的模，式中为向量a与b的夹角。
的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向b。
※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。
b) 公式：
f) 性质：Ⅰ.
Ⅱ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为：
Ⅲ.
Ⅳ.
Ⅴ. 为数
c) 几个等价公式：
Ⅰ.坐标表示式：设，则

Ⅱ.行列式表示式：
d) 例子：已知三角形ABC的顶点分别为：A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积。
解：根据向量积的定义，
由于＝{2,2,2}，＝{1,2,4}
因此
于是

小结： 向量的数量积（结果是一个数量）
向量的向量积（结果是一个向量）
（注意共线、共面的条件）

作业：
第三节 平面及其方程
教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
教学重点：1.平面方程的求法
2.两平面的夹角
教学难点：平面的几种表示及其应用
教学内容：
一、平面的点法式方程
1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
2．平面的点法式方程
已知平面上的一点和它的一个法线向量，对平面上的任一点，有向量n，即
n
代入坐标式有：
（1）
此即平面的点法式方程。
例1：求过三点（2，－1，4）、（－1，3，－2）和（0，2，3）的平面方程。
解：先找出这平面的法向量，

由点法式方程得平面方程为

即：
二、 平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：

几个平面图形特点：
1）D＝0：通过原点的平面。
2）A＝0：法线向量垂直于轴，表示一个平行于轴的平面。
同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于轴或轴的平面。
3）A＝B＝0：方程为，法线向量，方程表示一个平行于面的平面。
同理：和分别表示平行于面和面的平面。
4）反之：任何的三元一次方程，例如：都表示一个平面，该平面的法向量为
例2：设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。
解：设平面为，由平面过原点知
由平面过点知，

所求平面方程为
三．两平面的夹角
定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
设平面，
，
按照两向量夹角余弦公式有：

三、几个常用的结论
设平面1和平面2的法向量依次为和
1) 两平面垂直： （法向量垂直）
2) 两平面平行： （法向量平行）
3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点，平面的方程为 ，则点到平面的距离为

例3：研究以下各组里两平面的位置关系：

解：(1)，
两平面相交，夹角
(2) ，
两平面平行
两平面平行但不重合。
（3） 两平面平行
所以两平面重合

小结：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。
两平面的夹角以及点到平面的距离公式。

作业：

第四节 空间直线及其方程
教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点
教学重点：1.直线方程
2.直线与平面的综合题
教学难点：1.直线的几种表达式
2.直线与平面的综合题
教学内容：
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：

二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点和它的一方向向量，设直线上任一点为，那么与s平行，由平行的坐标表示式有：

此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）
如设

就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）

三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线
解：在直线上任取一点，取
解得，即直线上点坐标
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
对称式方程为：
参数方程：
例2 一直线过点，且和轴垂直相交，求其方程
解：因为直线和轴垂直相交,所以交点为
取，
所求直线方程：
一． 两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
设两直线和的方向向量依次为和，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算

两直线和垂直： （充分必要条件）
两直线和平行： （充分必要条件）
例3：求过点且与两平面和的交线平行的直线方程
解：设所求直线的方向向量为，根据题意知直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取
所求直线的方程
三、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为。
设直线的方向向量为，平面的法线向量为，直线与平面的夹角为，那么

直线与平面垂直：s//n 相当于 （充分必要条件）
直线与平面平行：sn 相当于 （充分必要条件）
平面束方程：
过平面直线的平面束方程为

四、杂例：
例1：求与两平面x－4z＝3和2x－y－5z＝1的交线平行且过点（－3，2，5）的直线方程。
解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两平面的法线向量垂直，所以

因此，所求直线的方程为

例2：求过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线方程
解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为

再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为
x= -1+3t y=1+2t z=-t
并代入上面的平面方程中去，求得t＝，从而求得交点为
以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量

故所求直线方程为

例3：求直线 在平面上的投影直线的方程
解：应用平面束的方法
设过直线的平面束方程为

即
这平面与已知平面垂直的条件是

解之得
代入平面束方程中得投影平面方程为
y－z－1＝0
所以投影直线为

小结：本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。

作业：
第五节 曲面及其方程
教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。
教学重点：1.球面的方程
2.旋转曲面的方程
教学难点：旋转曲面
教学内容：
一、曲面方程的概念
1. 实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。
2. 曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程
（1）
有下述关系：
（1） 曲面上任一点的坐标都满足方程（1）
（2） 不在曲面上的点的坐标都不满足方程（1）
那么，方程（1）就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程（1）的图形。
3．几种常见曲面
（1）球面
例1：建立球心在、半径为R的球面的方程。
解：设是球面上的任一点，那么

即：
或：
特别地：如果球心在原点，那么球面方程为（讨论旋转曲面）

（2）线段的垂直平分面（平面方程）
例2：设有点和，求线段的垂直平分面的方程。
解：由题意知道，所求平面为与和等距离的点的轨迹，设是所求平面上的任一点，由于，那么

化简得所求方程

研究空间曲面有两个基本问题：
（1） 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。
（2） 已知坐标间的关系式，研究曲面形状。
i. 旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。
二、旋转曲面的方程
设在yoz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为
f（y，z）＝0
把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，设为曲线C上的任一点，那么有
f（y1，z1）＝0 （2）
当曲线C绕z轴旋转时，点M1也绕z轴旋转到另一点，这时z＝z1保持不变，且点M到z轴的距离

将z1＝z，代入（2）式，就有螺旋曲面的方程为

旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。
常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角（0°<<90°）），方程为：

其中
三、柱面
1．定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。
定曲线C：准线 动直线L：母线
2．特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面。
3：几个常用的柱面：
b) 圆柱面：（母线平行于z轴）
c) 抛物柱面：（母线平行于z轴）
四、 二次曲面
1、定义：
三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面
2、截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
3、几种特殊的二次曲面
1． 椭球面
方程为

使用截痕法，先求出它与三个坐标面的交线：
，，，这些交线都是椭圆。
再看这曲面与平行于坐标面的平面的交线：椭球面与平面的交线为椭圆（），同理与平面和的交线也是椭圆。
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右上图所示。
2． 抛物面
例：椭圆抛物面方程为
（p与q同号）
其形状如右图所示。
旋转抛物面方程为
（p >0）
双曲抛物面（鞍形曲面）方程为
（p与q同号）
当p >0， q >0时，其形状如图所示。
2．双曲面
单叶双曲面方程为

双叶双曲面方程为

各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。

小结：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)。

作业：
第六节 空间曲线及其方程
教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式。第五、六节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。
教学重点：1.空间曲线的一般表示形式
2.空间曲线在坐标面上的投影
教学难点：空间曲线在坐标面上的投影
教学内容：
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。

特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。

二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数：

当给定时，就得到曲线上的一个点，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程为
（3）
消去其中一个变量（例如z）得到方程
（4）
曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。
此柱面（垂直于平面）称为投影柱面，投影柱面与平面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为

同理可以求出空间曲线在其它坐标面上的投影曲线。
在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。
例1：设一个立体由上半球面和锥面所围成，见右图，求它在面上的投影。
解：半球面与锥面交线为
消去z并将等式两边平方整理得投影曲线为：

即平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。立体在平面上的投影为圆所围成的部分：

小结：1.空间曲线的一般方程、参数方程：

2.空间曲线在坐标面上的投影

作业：

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