高等教育自学考试高等数学(一)第二章极限及连续.doc

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第二章　极限和连续
2.1　数列极限

　　一、概念的引入（割圆术）
　　“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
　　正六边形的面积A1
　　正十二边形的面积A2
　　正6×2n-1形的面积An
　　A1，A2，A3，…，An，…→…S

　　二、数列的定义
　　定义:按自然数1，2，3…编号依次排列的一列数x1，x2，…，xn，… （1）
　　称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，xn称为通项（一般项）。数列（1）记为{ xn }。
　　例如
　　2，4，8，…，2n，…；{ 2n}

　　注意：
　　（1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取
　　（2）数列是整标函数xn=f（n）

　　三、数列的极限
　　1.定义 设{xn}是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于常数a，则称数列{ xn }收敛，a是数列{ xn }的极限，或者称数列xn收敛于a，记为
　　。
　　如果数列没有极限，就说数列是发散的。
　　例如
　　2，4，8，…，2n，…；{ 2n}，发散
　　，发散
　　收敛于0

　　2.数列极限的性质
　　（1）唯一性
　　定理 每个收敛的数列只有一个极限。
　　（2）有界性
　　定义: 对数列xn， 若存在正数M，使得一切自然数n, 恒有|xn|≤M成立, 则称数列xn有界，否则，称为无界。
　　例如，数列有界，数列无界
　　数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M，M]上。

　　定理 收敛的数列必定有界。
　　注意：有界性是数列收敛的必要条件。
　　推论 无界数列必定发散。
　　（3）保号性
　　收敛数列的保号性：假设数列{αn}收敛，其极限为α，
　　1）若有正整数N，n＞N时，αn＞0（或＜0），则α≥0（或α≤0）
　　2）若α＞0（或＜0，则有正整数N，使得当n＞N时，αn＞0（或＜0）
2.2 　级数

　　1.级数的定义:
　　称为数项无穷级数（或简称数项级数），un为一般项。

　　2.级数的部分和

　　3.部分和数列

　　4.级数的收敛与发散

　　当n无限增大时，如果级数的部分和数列Sn有极限S， 即则称无穷级数收敛,这时极限S叫做级数的和,并写成。
　　如果Sn没有极限，则称无穷级数发散。
　　数项级数收敛存在
　　例1.讨论等比级数（几何级数）
　　（a≠0）的收敛性。
　0101】

　　解：如果q≠1时，

　　当|q|＜1时,收敛
　　当|q|＞1时发散
　　如果|q|=1时
　　当|q|=1时，，级数发散
　　当q=-1时，级数变为α-α+α-α+…
　　不存在，级数发散
　　综上
　　例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：

　0102】
　　解：
　　由
　　得级数收敛，其和为。
　　例3.判断级数的敛散性
　0103】

　　例4.判断级数的敛散性，并在收敛时求出其和
　0104】

　　例5.判别无穷级数
　　的收敛性。
　0105】

　　解

　　∴级数收敛，和为。
2.3　函数极限

　　两种情形:
　　（1）x→∞情形：
　　（2）x→x0情形：

　　一、自变量趋于无穷大时函数的极限
　　定义：设M是任意一个正数，函数f（x）在上有定义，如果存在常数A，当|x|无限增大（即|x|→∞）时，f（x）无限接近于A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，或简称为f（x）在无穷大处的极限，记为或f(x)→A，当x→∞时。

　　定理：
　　例1.（60页例5、例6）求下列函数的极限
　　（1）
　0201】

　　（2）
　0202】
　　解：对于函数

　　对于函数f（x）=arctanx，由反正切曲线y=arctanx的图形，易见

　　所以，极限不存在。
　　例2.
　0203】

　　例3.
　0204】

　　例4.
　0205】

　　二、函数在有限点处的极限（自变量趋于有限值时函数的极限）
　　1.定义：给定函数y=f（x）在（x∈D）上有定义，假设点x0的某一去心邻域，如果存在常数A，使得当x→x0时，函数值f（x）无限接近于A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记为或 f（x）→A，当x→x0时。

　　2.单侧极限
　　定义：设 f（x）在x0的一个左邻域中有定义，如果存在常数A，使得当时，相应的函数值f（x）无限接近于A，则称A为函数f(x)当 时的左极限，记为或f（x0-0）。
　　定理：

　　例5.62页2：（5）（6）（7）
　　求函数在指定点的左右极限，判定该点极限是否存在。
　　（5）　x=2
　0206】

　　（6）　x=0
　0207】

　　（7），x=0
　0208】

　　问题：函数y=f（x）在x→x0的过程中，对应函数值f（x）无限趋近于确定值A。

　　例6.求
　0209】

　　注意：函数极限与f（x）在点x0是否有定义无关

　　三、函数极限的性质
　　1.唯一性
　　定理 若limf(x)存在，则极限唯一。
　　2.有界性
　　定理 （有极限函数的局部有界性）假设存在，则f（x）在x0点的某个邻域中有界，即有常数M＞0，使得在x0的某个去心邻域中，有

　　3.保号性
　　若，且A＞0（或A＜0）

　　推论
　　若时
　　f(x)≥0（或f(x)≤0），则A≥0（或A≤0）

　　四、小结
　　函数极限的统一定义

2.4 　极限的运算法则

　　一、极限运算法则
　　定理

　　设，则
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　例7.
　0210】

　　推论1
　　如果lim f(x)存在，而c为常数，则

　　常数因子可以提到极限记号外面。
　　推论2
　　如果lim f(x)存在，而n是正整数，则

　　二、求极限方法举例
　　例8.求
　0211】
　　解

　　（直接代入法）
　　例9.求。
　0212】
　　解：x→1时，分子，分母的极限都是零。（型）

　　（消去零因子法或因式分解法）
　　例10.求
　0213】

　　解：先变形再求极限。

　　。
　　例11.求
　0214】

　　三、小结
　　1.极限的四则运算法则及其推论；
　　2.极限求法
　　a.多项式与分式函数代入法求极限；
　　b.因式分解法消去零因子求极限；
　　c.通分法
　　d.利用左右极限求分段函数极限。
2.5　无穷小和无穷大

　　一、无穷小
　　1.定义：极限为零的变量称为无穷小。
　　函数f（x）当x→x0 （或x→∞）时为无穷小，记作

　　例如，
　　，∴函数sinx是当x→0时的无穷小。
　　，∴函数是当x→∞时的无穷小。
　　，∴数列是当n→∞时的无穷小。
　　注意：
　　（1）无穷小是变量，不能与很小的数混淆；
　　（2）零是可以作为无穷小的唯一的数。
　　2.无穷小与函数极限的关系：
　　定理 其中α（x）是当x→x0时的无穷小。

　　3.无穷小的运算性质：
　　（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。
　　（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。
　　（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。
　　例如，当x→0时，

　　二、无穷大
　　1.定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大。
　　函数f（x）当x→x0 （或x→∞）时为无穷大，记作。

　　2.特殊情形：正无穷大，负无穷大。

　　注意：
　　（1）无穷大是变量，不能与很大的数混淆；
　　（2）切勿将 认为极限存在。
　　（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大。
　　例如，是无界变量不是无穷大。

　　三、无穷小与无穷大的关系

　　1.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。
　　2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。
　　例1.求。
　0301】
　　解：商的法则不能用
　　又

　　由无穷小与无穷大的关系,得

　　例2.求。
　0302】
　　解：x→∞时，分子，分母的极限都是无穷大。（型）
　　先用x3去除分子分母，分出无穷小，再求极限。

　　（无穷小因子分出法）
　　例3.求
　0303】

　　例4.求
　0304】

　　小结：当，m和n为非负整数时有

　　无穷小分出法：以分子、分母中自变量的最高次幂除分子，分母，以分出无穷小，然后再求极限。
　　例5.
　0305】

　　例6.求
　0306】

　　例7.求
　0307】

　　例8（2007年10月）
　0308】

　　例9（2007年10月）、下面A、B、C、D四个极限中，哪一个极限存在（）
　　A.
　　B.
　　C.
　　D.
　0309】
　　答案：D

　　例10（2007年4月）（　）
　　A.0　　　
　　B.1
　　C.-1　　　
　　D.不存在
　0310】
　　答案：B

　　例11（2007年7月）计算
　0311】

　　例12（2005年）计算
　0312】

2.6　两个重要极限

　　2.6.1　关于

　　例1、计算
　0401】
　　解：

　　例2、
　0402】
　　解：

　　例3、80页第1题（5）
　0403】
　　解：

　　例4、
　0404】
　　解：

　　例5、
　0405】
　　解：

　　例6、判断四个极限分别属于哪一种类型：
　　（1）
　0406】
　　（2）
　0407】
　　（3）
　0408】
　　（4）
　0409】
　　解：

　　解：

　　例7、求
　0410】
　　解

　　2.6.2　关于

　　例1、求
　0501】
　　解：

　　例2、
　0502】
　　解：

　　例3、
　0503】
　　解：

　　例4、
　0504】
　　解：
　　方法一：

　　方法二：

　　例5、
　0505】
　　解：

　　例6、
　0506】
　　解：

　　例7、
　0507】
　　解：

　　例8、
　0508】
　　解：
　　方法一：

　　方法二：

　　例9、81页4题（8）
　0509】
　　解：

　　小结：
　　第一类重要极限：

　　第二类重要极限：

　　2.5.4　无穷小的比较
　　例如，当x→0时，都是无穷小。
　　观察各极限
　　，x2比3x要快得多；
　　，sinx与x大致相同；
　　不存在，不可比。
　　极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同。
　　定义：
　　设α，β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0.
　　（1）如果，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o（α）；
　　（2）如果，就说β与α是同阶的无穷小；
　　特殊地如果，则称β与α是等价的无穷小；记作α～β；
　　等价无穷小：

　　例：
　0601】

　　例：
　0602】
　　得：当x→0时，　

　　例：
　　（1）73页8题：
　　当x→∝时，a，b，c应满足什么条件可使下式成立？
　　（1）

　　（2）

　　等价无穷小代换
　　等价代换原理：在同一极限过程中的三个变量u，v，w，如果u，v是无穷小量，且等价，则有
　　，
　　由　　　
　　得：当x→0时，　　　

　　常用等价无穷小：
　　当x→0时，

　　牢记常用的等价无穷小：
　　当x→0时，

　　例：
　0603】

　　例：
　0604】

　　例
　　求
　0605】
　　错解
　　当x→0时，

　　解
　　当x→0时，

　　例
　　（1）80页1题（7）
　0606】

　　（2）80页1题（9）
　0607】

　　（3）80页1题（10）
　0608】

　　（4）80页2题：设，求a，b
　0609】

　　例：94页3题（4）：
　0610】

　　例：94页4题（1）：证明当时，sin（2cosx）与是同阶无穷小。
　0611】

　　例：81页8题：设，求k。
　0612】

　　小结
　　1.两个重要极限

　　2.无穷小的比较：
　　反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度快慢，但并不是所有的无穷小都可进行比较.
　　高（低）阶无穷小；等价无穷小；
　　3.等价无穷小的替换：
　　求极限的又一种方法，注意适用条件.
2.7　函数的连续性和连续函数

　　一、函数的连续性

　　1.函数的增量
　　设函数f（x）在内有定义，称为自变量在点的增量。

　　2.连续的定义
　　定义1　设函数f（x）在内有定义，如果当自变量的增量趋向于零时，对应的函数的增量也趋向于零，即或，那么就称函数f（x）在点连续，称为的连续点.

　　定义2　设函数f（x）在内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即那么就称函数在点连续。

　　例1、
　0701】
　　证

　　由定义2知

　　3.单侧连续
　　若函数f（x）在内有定义，且，则称f（x）在点处左连续；
　　若函数f（x）在内有定义，且，则称f（x）在点处右连续。

　　定理
　　函数f（x）在处连续函数f（x）在处既左连续又右连续。
　　例2、
　0702】
　　解

　　右连续但不左连续，故函数f（x）在点x=0处不连续。
　　4.连续函数与连续区间

　　在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的续函数，或者说函数在该区间上连续.
　　如果函数在开区间（a，b）内连续，并且在左端点x=a处右连续，在右端点x=b处左连续，则称函数f（x）在闭区间[a，b]上连续。
　　连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

　　二、四则运算的连续性
　　定理1
　　若函数f（x），g（x）在点处连续，则在点处也连续。
　　例如，内连续，
　　故在其定义域内连续。

　　三、反函数与复合函数的连续性
　　定理2　严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。
　　例如，上单调增加且连续，故上也是单调增加且连续。
　　同理上单调减少且连续；上单调且连续。
　　反三角函数在其定义域内皆连续.
　　定理3
　　设函数u=g（x）在点连续，且而函数y=f（u）在点连续，则复合函数y=f[g（x）]在点也连续。
　　例如，

　　四、初等函数的连续性
　　三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.

　　在（0，+∞）内连续，讨论μ不同值， （均在其定义域内连续 ）
　　基本初等函数在定义域内是连续的.
　　一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
　　定义区间是指包含在定义域内的区间.
　　注意　初等函数求极限的方法代入法.

　　例3、
　0703】
　　解：
　　例4、
　0704】
　　解：

　　例5、在x=0处连续。
　0705】
　　解：

　　故当且仅当a=1时，函数f（x）在x=0处连续。
　　例6（95页6题）、设在（-∞，+∞）上连续，求a，b
　0706】

　　五、闭区间上的连续函数
　　定理4（有界性定理）　在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。
　　定理5（最大值和最小值定理）　在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

　　若f（x）∈C[a，b]，则，使得，有

　　注意：
　　（1）若区间是开区间，定理不一定成立；
　　（2）若区间内有间断点，定理不一定成立.
　　零点定理：
　　定义：
　　定理6（零点定理）　设函数在闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间（a，b）内至少有函数f（x）的一个零点，即至少有一点，使.
　　即方程f（x）=0在（a，b）内至少存在一个实根。

　　几何解释：
　　连续曲线弧y=f（x）的两个端点位于x轴的不同侧，则曲线弧与x轴至少有一个交点。

　　定理 7（介值定理）在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.

　　几何解释：连续曲线弧y=f（x）与水平直线y=C至少有一个交点。
　　例7、

　0707】
　　证
　　则f（x）在[0，1]上连续，又f（0）=1>0，f（1）=-2<0，由零点定理，使

　　例8（ 95页9题（3））、证明方程在（-∞，+∞）中必有根。
　0708】

2.8　函数的间断点

　　函数f（x）在点处连续必须满足的三个条件：

　　如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数f（x）在点处不连续（或间断），并称点为f（x）的不连续点（或间断点）。

　　一、定义
　　函数不连续的点称为它的间断点

　　二、第一类间断点
　　1.跳跃间断点
　　如果f（x）在点处左、右极限都存在，但，则称点为函数f（x）的跳跃间断点。

　　例1、
　　讨论函数在x=0处的连续性。
　0801】
　　解

　　∴x=0为函数的跳跃间断点。

　　2.可去间断点
　　如果f（x）在点处的极限存在，但处无定义则称点为函数f（x）的可去间断点。
　　例2、
　　讨论函数在x=1处的连续性。
　0802】

　　解

　　∴x=1为函数的可去间断点。
　　例3、讨论在x＝0处的连续性
　0803】

　　注意　可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义， 则可使其变为连续点.
　　如上例中，

　　跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.

　　特点：

　　三、第二类间断点
　　如查f（x）在点处的左、右极限至少有一个不存在，则称点为函数f（x）的第二类间断点。
　　例4、

　0804】
　　解

　　∴x=0为函数的第二类间断点。
　　这种情况称为无穷间断点。
　　例5、

　0805】
　　解

　　∴x=0为第二类间断点。
　　这种情况称为振荡间断点。

　　例6（98页例5）、求函数的间断点。
　0806】

　　讨论与

　　例7（99页习题2.8，1（1））、求的间断点，并说明其类型。
　0807】

　　例8（99页习题2.8，1（2））、求的间断点，并说明其类型。
　0808】

　　例9（99页习题2.8，1（3））、求　的间断点，并说明其类型。
　0809】

　　四、小结
　　1.函数在一点连续必须满足的三个条件；
　　2.间断点的分类与判别；

　　第一类间断点

　　第二类间断点

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