2021-2022版高中数学-单元素养评价解三角形素养评价检测新人教A版必修5.doc

2021-2022版高中数学 单元素养评价解三角形素养评价检测新人教A版必修5

2021-2022版高中数学 单元素养评价解三角形素养评价检测新人教A版必修5

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姓名：

单元素养评价(一)(第一章)
(120分钟　150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(2020·青岛高一检测)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=,
b=1,C=,则a= (　　)
A. B.2 C. D.3
【解析】选B.由余弦定理可得,cos C=,即-=,整理可得a2+a-6=0解得a=2(负值舍去).
2.已知在△ABC中,AB=2,sin A=,tan C=,则BC= (　　)
A.8 B.8 C.4 D.4
【解析】选B.由AB=2,sin A=,tan C==,可得cos C=sin C,由sin2C+cos2C=1,可得(sin C)2+sin2C=1,解得sin C=,由正弦定理=,可得BC===8.
3.(2020·扬州高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=,则等于 (　　)
A. B. C. D.2
【解析】选D.A=60°,a=,由正弦定理可得,====2,
所以b=2sin B,c=2sin C,则=2.
4.(2020·延安高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=60°,b=,则△ABC外接圆的面积是 (　　)
A.2π B.π C. D.
【解析】选B.设△ABC 外接圆的半径为r,
则 2r===2,解得r=1,
所以△ABC外接圆的面积=π×12=π.
5.(2020·烟台高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(a+c,sin B-sin A),若m∥n,则B的大小为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选D.因为m=(a+b,sin C),
n=(a+c,sin B-sin A),若m∥n,
所以(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0,
由正弦定理知:(a+b)(b-a)=c(a+c),
即a2+c2-b2=-ac.
由余弦定理知:2accos B=-ac,
所以cos B=-,因为B∈(0,π),所以B=150°.
6.在△ABC中,D是边BC上一点,若AD⊥AC,
sin ∠BAC=,AD=3,AB=3,则BD= (　　)
A. B.2 C.2 D.3
【解析】选A.如图所示.

由诱导公式得sin ∠BAC=sin=cos ∠BAD=,在三角形ABD中,由余弦定理得BD==.
7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则C= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.由3sin A=5sin B可得3a=5b,又因为b+c=2a,可令a=5t,b=3t,c=7t(t>0),可得cos C==-,
又0<C<π,故C=.
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=(2c-a)cos B,c=2,a=1,则△ABC的面积是(　　)
A. B. C.1 D.
【解析】选B.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=
(2c-a)cos B,利用正弦定理得sin Bcos A=2sin Ccos B-sin Acos B,
整理得:sin(A+B)=sin C=2sin Ccos B,
由于sin C≠0,所以cos B=,由于0<B<π,
则B=.由于c=2,a=1,则S△ABC=acsin B
=×2×1×=.
【补偿训练】
设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sin A-sin C),则A的大小为 (　　)
A.　　 　B.　　 　C.　 　　D.
【解析】选C.因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sin B,所以已知等式可化为(b+c)sin B=(a+c)(sin A-sin C),
所以由正弦定理可得:(b+c)b=(a+c)(a-c),
整理可得:b2+c2-a2=-bc,
所以由余弦定理可得:cos A=-,
由A∈(0,π),可得A=.
9.在△ABC中,A=60°,a=3,则△ABC的周长为 (　　)
A.6sin(B+30°)+3 B.4sin(B+30°)+3
C.6sin(B+60°)+3 D.4sin(B+60°)+3
【解析】选A.由正弦定理可得==,所以b=2sin B,c=2sin C,
因为A+B+C=180°,A=60°,
所以C=180°-A-B=120°-B,那么△ABC的周长:a+b+c=3+2sin B+
2sin(120°-B)=3+2sin B+2=3+3sin B+
3cos B=3+6sin(B+30°).
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则△ABC的形状是 (　　)
A.等腰三角形　　　　 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.由已知===,所以=或=0,即C=
90°或=.由正弦定理得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
11.(2020·武汉检测)如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知∠ADC=90°,∠A=60°,AB=2,BD=2,DC=4,则BC的长为 (　　)

A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选A.在△ABD中,∠A=60°,AB=2,BD=2,由正弦定理得=
,sin ∠ADB==;∠BDC=90°-∠ADB,cos ∠BDC=sin ∠ADB=;在△BCD中,DC=4,BD=2,由余弦定理得,BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos ∠BDC
=+-2×2×4× =48,所以BC=4.
【补偿训练】
如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 (　　)

A.20海里 B.40海里
C.20(1+)海里 D.40海里
【解析】选A.连接AB,

由题意可知CD=40,∠ADC=105°,
∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,
所以∠CAD=45°,∠ADB=60°,
在△ACD中,由正弦定理得=,
所以AD=20,在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=CD=40.
在△ABD中,由余弦定理得AB=
=20.
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=2 019c2,+= (　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.+=tan C=tan C=
tan C==.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,
又因为a2+b2=2 019c2,
所以c2=2 019c2-2abcos C,
所以1 009c2=abcos C,所以+=.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.在△ABC中,a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为　　　　. 
【解析】因为cos C=,0<C<π,所以sin C=.
所以S△ABC=absin C=×3×2×=4.
答案:4
14.在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60°,则A=　　　　. 
【解析】因为b=2a,所以sin B=2sin A,
又因为B=A+60°,所以sin(A+60°)=2sin A,
即sin Acos 60°+cos Asin 60°=2sin A,化简得:sin A=cos A,所以tan A=,又0°<A<180°,所以A=30°.
答案:30°
【补偿训练】
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则
sin B=　　　　,c=　　　　. 
【解析】由正弦定理=得=,得sin B=.由余弦定理得
cos A===,解得c=3(负值舍去).
答案:　3
15.在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B为钝角,若acos A=bsin A,则sin A+sin C的最大值为　　　　. 
【解析】因为acos A=bsin A,由正弦定理可得,sin Acos A=sin Bsin A,因为sin A≠0,所以cos A=sin B,又B为钝角,所以B=A+,sin A+sin C=sin A+
sin(A+B)=sin A+cos 2A=sin A+1-2sin2A=-2+,所以sin A+sin C的最大值为.
答案:
16.一次飞行训练中,地面观测站观测到一架飞机以72千米/小时的速度在同一高度向正东飞行,如图,第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上,1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上,仰角为30°,则飞机飞行的高度为　　　　(结果保留根号). 

【解析】如图,由题上条件可得线AC平行于东西方向,AC==千米;所以
∠ABC=135°;∠BAC=30°;在△ABC中,=⇒=
⇒BC==.
如图,

D1C⊥平面ABC,在直角△BD1 C中,tan ∠D1BC==⇒h=BC·tan ∠D1BC=×
tan 30°=千米.
答案:千米
三、解答题(共70分)
17.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+csin C-
asin C=bsin B.
(1)求B;
(2)若A=75°,b=2,求a,c.
【解析】(1)由正弦定理得a2+c2-ac=b2.
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得cos B=(0<B<π),因此B=45°.
(2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+
cos 30°sin 45°=.
故a=b==1+,
c=b=2×=.
【补偿训练】
(2019·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.
(1)求cos B的值;
(2)求sin的值.
【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理=,得bsin C=csin B,又由
3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,因为sin C≠0,所以3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cos B===-.
(2)由(1)可得sin B==,sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=
cos2B-sin2B=-,故sin=sin 2Bcos+cos 2Bsin=-×-×=-.
18.(12分)在△ABC中,求证:-=-.
【证明】左边=-
=-2=右边.
所以原式成立.
19.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin2B+sin2C
=sin2A+sin Bsin C.
(1)求A的大小;
(2)若2sin Bsin C+cos 2A=1,判断△ABC的形状.
【解析】(1)因为sin2B+sin2C=sin2A+sin B·sin C,
由正弦定理得b2+c2=a2+bc,
由余弦定理得cos A===,
因为0<A<π,所以A=.
(2)因为2sin Bsin C+cos 2A=1,
所以2sin Bsin C=1-cos 2A
=1-(1-2sin2A)=2sin2A,
即sin Bsin C=sin2A,所以bc=a2,
所以b2+c2=2bc,(b-c)2=0,b=c,又因为A=,
所以△ABC为等边三角形.
20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=
6cos Bcos C.
(1)求cos A;
(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c.
【解析】(1)因为3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C,
所以3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1,
所以3cos(B+C)=-1,所以cos(π-A)=-,
所以cos A=.
(2) 由(1)得sin A=,由面积公式bcsin A=2可得bc=6①,根据余弦定理得
cos A===,则b2+c2=13②,①②两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.
21.(12分)(2020·盐城高二检测)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,点D为△ABC内一点,满足BD=CD=2,且·+5·=0.
(1)求的值;
(2)求边BC的长.

【解析】(1)设BC=a,AC=b,AB=c,
由·+5·=0,
得5×4cos A+5×2×2cos D=0,即cos A=-cos D,
又A,D为三角形的内角,所以sin A=sin D;
在△ABC中,由=,得=;同理=,所以
=,所以=2.
(2)在△ABC中,由余弦定理得cos A===,同理cos D=,由(1)可得=-,解得BC=a=.
22.(12分)如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处,12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,求船速多少.

【解析】轮船从C到B用时80分钟,从B到E用时20分钟,而船始终匀速前进,设t为从B到E的用时,则t= h,由此可见:BC=4EB,设EB=x,则BC=4x,由已知得∠BAE=30°,∠EAC=150°,
在△AEC中,由正弦定理得:
=,
所以sin C===,
在△ABC中,由正弦定理得:=,
所以AB===,
在△ABE中,由余弦定理得BE2=AE2+AB2-2AB·AE·cos 30°=25+-2×5××=,故BE=,
所以船速v===.
答:该船的速度为 km/h.
【补偿训练】
如图,观测站C在目标A的南偏西20°方向,经过A处有一条南偏东40°走向的公路,在C处观测到与C相距31 km的B处有一人正沿此公路向A处行走,走20 km到达D处,此时测得C,D相距21 km,求D,A之间的距离.

【解析】由已知,得CD=21 km,BC=31 km,
BD=20 km.在△BCD中,由余弦定理,
　得cos ∠BDC==-.
设∠ADC=α,则cos α=,sin α=.
在△ACD中,由正弦定理得=,得=,
所以AD=sin(60°+α)==15(km),
即所求的距离为15 km.