2022年高考数学一轮复习专题 专题39 椭圆知识点和典型例题（解析版）.pdf

专题39椭圆知识点和典型例题（解析版）1、定义：平面内与两个定点为，死的距离之和等于常数（大于忸邑I）的点的 轨迹称为椭圆.即：|的|+|版3=24,（2团居|）。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在无轴上焦点在y轴上图形-标准方程 占。)a b彳+=1(以 8 0)a b范围-a x a 且一8 yb-b x A2(2,0)B(0T)、B2(0,)A i(0,a)、A2(0,a)BI(-瓦 0、B2(0)轴长短轴的长=2Z长轴的长=2a隹占 八、八、瓦(c,0)、玛(c,0)尸F式0,c)焦距|牺卜加仗=展一护）对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率i71 e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a焦半径公式1题型一：求椭圆的解析式例L求椭圆4?+92=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；IJ52 2【详解】椭圆4x2+9y2=36化为标准方程上+匕=1,9 4a=3,b=2,c=Va2 b1=,9-4=/5.,.椭圆的长轴长为2。=6,焦距为2c=2后，焦点坐标为片卜石,0),与(右,0)，顶点坐标为 4(3,0),4(3,0)，5,(0,-2),B2(O,2).例2.求适合下列条件的椭圆标准方程：(1)与椭圆、+/=1有相同的焦点，且经过点(1,5)(2)经过4(2,-巫),8(-行两点【详解】椭圆+y=1的焦点坐标为(1,0),3.椭圆过点工5),*2a=j(l+I)2+(-1)2+J(1-Ip+(-|)2=4,a=2,b=J 3,2 2椭圆的标准方程为土+匕=1.4 3(2)设所求的椭圆方程为二+匕=l(z 0,n O,/77 w n).m n把4(2,-弓),3(-亚,-乎)两点代入,2=i n+m,解得加=8,=1,得：2y，y2将 X=X,歹=2,代入 2+y2=4,得/+(2/=4,化简得=_+了2=1.丫2.曲线C的方程为土+/=1；4例4.已知 中，角4 B、。所对的边分别为。、b、c,acb,且2c=a+b,c=2,求点C的轨迹方程.【详解】由题意，以所在直线为轴，线段Z8的垂直平分线为了轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为 c=2,则/(1,0),5(1,0),设 C(x,y),因为 a+b=2c,BP|C B +1 C A|=21 AB,_ _ 2 2即 X _ 1)2+V+1)2+V=4,整理得所以亍+_=1,因为a C BC A,所以点C只能在y轴的左边，即x0.乂 的三个顶点不能共线，所以点。不能在轴上，即XW2.2 2所以所求点C的轨迹方程为L+乙=1(-2 x 0,即左2 一疗+4 0,-2km m2-4且玉 X2=e74,玉“2=由刀=3而，得一芯=3%2，即 =3%2，3（X+x2）2+4XX2=0,12k2 m2 4（m2-4）75 71 二,P rnk1+m2 k1 4=0.（公+47 k+44_当 根2=1时、加2左2+加2 _左2 _4=0 不成立，：.吩=-,m2-5，4-m2,(4-m2)m2V k2-m2+40,A-m2+40,即 1_L0,m2-1 m2-l/.1 m2 4，解得 一2 -1 或 1 2.综上所述，冽的取值范围为机|一2相一1或加=0或1m0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。b.A二时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.A 6 0）的左，右焦点分别为片（血,0）,耳（、反，。卜 且经过点”（、回,1）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为2的直线与椭圆C交于4,5两点，且|力到二2,求该直线的方程.【详解】（1）依题意司.知c=JL根据椭圆的定义可知MF+MF=2a,6即 2a=，（2/）+12+a/o2+12=4 a=2,b=da2-c?二及,2 2所以椭圆C的标准方程为土+匕=1.4 2(2)设直线的方程为歹=2元+，y=2x+t由 12 y2 _消去并化简得9/+8笈+2产一4=0,u+T-由于直线和椭圆相交，所以A EM4x9x(24)0,解得3正设 4（%1，乂），%2，）,则项+%=一2=2/4,9 9两边平方并化简得*=当，所以，=土豆巫.10 10所以直线AB的方程为y=2 需.2例8.已知夕是椭圆+丁=1上的一动点.求尸到直线2%+歹+2=。距离的最大值.【详解】2尸在椭圆+丁=1上，设尸(及cos a si n 8),则产到直线2%+歹+2=0距离为|3sin（8+夕）+2，其中r max.当 sin（6+0）=l 时、&詈37弦长问题直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据 根与系数的关系，进行整体代入。即当直线（斜率为k）与圆锥曲线ax2+by2=1交于点A（xi，yj,BL%）时，贝i j1A BLjl+k?ki-|=Vl+k2 Jki+J-4占勺=Fv 尻-%uFJ题型四：弦长公式例9.已知椭圆C：W+=l（ab0）的右焦点（6,0）,且经过点1,日，点M是轴上的一点，过点M的直线/与椭圆C交于43两点（点4在轴的上方）（1）求椭圆C的方程；4若|ZM|=2|倒，且直线/与圆。：2+歹2=,相切于点n,求pW|的长.a2 b2=c2=3试题解析：（1）由题意知,（-04(2即(4)(4/3)=0,又q2=3+Z?2 3,故/=46=1,椭圆C的方程为工+/=i.4（2）设”（也0）,直线/:%=亚+私/（药,%）,6（%2，%），由|/|二 2|血5,有弘=一2%，8X2 2 一,(-F y=1由 4x=yy+m=(J+4)J?+2my+m2-4=0,rra ZF4 2tm 2 2 4由韦达定理,十%=一不/%K由 乂歹2=-2,凹+%=-2%+y2=-y2,则弘2=-2(弘+力)丁=一(弘+力,m2 4-片，化简得（田4）（产+4）=8严加2,原点0到直线的距离m1+/2 4 2又直线/与圆O：f+/=相切，所以一U 7 V1T7 V7m2-4)(*+4)=-St2m27 2Im4-16m2-16=0,即(3阴？-4)(7加2+力二t2=-m240,解得m22a/34 4 47）此时=；,满足A。，此时M 三一,0,3 3在 RtAOMN 中,甯所以网的长为噤d m-,即/二37例10在平面直角坐标系工。中，已知点6（20）,C（-2,0）,设直线ZC的斜率分别 为h,k2,且左42=；，记点N的轨迹为.（1）求E的方程；（2）若直线/：V=x+1与相交于尸，。两点，求卢。|.【详解】解：（1）设点力（%,歹），则尢=上7，42二上;x-2 x+2因为左/2=一7，则力/2=一L 二一二-2 x-2 x+2 22 2整理得：+=1,斜率存在，所以xw2,4 292 2所以的方程：土+匕=1,（丁。0）4 2(2)设由V=%+1X2 2_,消去丁得到3/+4%2=0,则A=424x3x(2)=400,-1-14 2x1+x2=所以4,，则|尸0卜，1+42E司=芈3所以|尸。|二警.题型五：中点弦问题例11设椭圆+/=1伍60）的短轴长为4,离心率为巧.设点M（2,1）是直线I被椭圆所截得的线段的中点，求直线I的方程.【详解】设力（西,必）,6（工2,%），由.（2,1）在椭圆内,过点”（2,1）的直线与椭圆有两个交点,再由椭圆的对称性可确定直线的斜率一定存在.贝 1小 十?H（M%2）（再+%2）+4（%一%），（必+2）=。,%2+4%=16整理得:乂 一2_ X+%2%-%2-4(凹+%)_2所以斜率左=g，所以直线/的方程为尤+2歹4=0.点评关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.（2）利用“点差法”求解，即若椭圆方程为。+=1,直线与椭圆交于点4（不，刈）、5（X2,及），且弦45的中点为 Mo,“），则10由一得/可一殓十力2爪一粉=0,.yi-yz_ b2xi-rx2_ bxo*X1x2 a2 yi+J2 2 Jo*这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决.题型六：定值问题1.与圆铢曲线有关的最值和范围的讨论常用以下方法（1）结合圆锥曲线的定义，利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法，根据题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数 适合的不等式（组），通过解不等式（组），得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，选一个适当的参数作为 自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；（4）构造一个二次函数，利用判别式求解；利用不等式，若能将问题转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本 不等式求解；例12.（定点问题）已知椭圆C:三+京=1（。60）的离心率为苧，加（6,一乡是椭 圆C上的一点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（-4,0）作直线/与椭圆。交于不同两点力、B,4点关于轴的对称点为。，问 直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【详解】（1）=走，a2=b2+c2,：.a2=4b2,.*.-+-=1,a 2 4b2 b2将”（百,；）代入椭圆 C,，=1,，+(2)显然斜率存在，设方程为：歹=仪+4),区2=4+歹-1=(1+4左2)f+32后2%+64炉4=0,y=k(x+4)A=16 192 4 2 0,左6 424设心,必），爪名）,;,Xi+X2 再“7T11BDy+yx=乃+(x-xj,y=0时=西+马一再x2y1-xlyl _ 2kxx2+4左区+x2)左（X+%2）+8左64左24、.z.32k2、(+4公)+4仪7F)_128-8左28左7.32公k(-7)+8k1+4左2，.直线过定点(1,0).二一1,32左3+8左+32 左3例13（定值问题）已知直线-2歹+2=0经过椭圆。：5+J=1（a 方 0）的左顶 a b点/利上顶点D,设椭圆C的右顶点为B.（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值;（2）设点S是椭圆上位于x轴上方的动点，求证：直线/S与8S的斜率的乘积为定值.【详解】（1）由已知得，椭圆。的左顶点为/（2,0）,上顶点为。（0,1）,。=2，b ,c-1a2-2=5/3，故椭圆。的方程为X+V=l,离心率e的值为乂5；4 2（2）设S（%o,%）,且5（2,0）,2 24=1，故%2=1-十，故ksksB=二=一；为定值.%+2%2 x0-4 4直线/S与BS的斜率的乘积为定值.例14.已知椭圆.：=+4=1（。b0）的离心率为变，且过点（2,、历）.（1）求椭圆的方程；（2）若4,6分别为椭圆M的上，下顶点，过点5且斜率为（左 0）的直线/交椭圆M于 另一点N（异于椭圆的右顶点），交轴于点P,直线N N与直线 相交于点。.求证：直 线。的斜率为定值.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c,则g=正，a 24 21，又/=+/,由解得=8,b?=4,=4,2 2所以椭圆的标准方程为+二=1.8 4（2）证明：易得力（0,2）,5（0,-2）,直线/的方程为歹=去一2,因为直线/不过点（2后,0）,所以左。一，由2 y=kx 2 f+2y2=8得(242+1卜2-8kx=0,12所以=8k2?+18k 4k2-2、2左2+12F+1,从而N42 2直线AN的斜率为丝gl-=-L,故直线AN的方程为y=-x+2.-2k 2k242+1（应、令 x=2瓢,得。2-x/2,-F 2,I k）直线。的斜率勺。&+2-r Z k2a/2-k_0+2A _0（同_1）_0 242k-2-2（8 左一1）2J?所以直线尸。的斜率为定值.2题型七：求离心率2 2例15已知椭圆鼻+方=l(ab0)上有一点4,它关于原点的对称点为5,点产为椭圆71 71的右焦点，且满足，虾，ZABF=a,且ae,求该椭圆的离心率e的取值 12 6范围.【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为耳，连接Z耳,幽，则四边形/EB片为矩形,：ABFF2c,AF+BF2a.*|AF=2c sin a,BF|=2 ccos a,/.2c sin a+2c cos a 2a,._ 1 _ 1sin a+cos a rz 不、.，2 sm a-I 4ja g71 7112?-61371OC H-G4312T，4/.V2sin(tz+-1 g例16：椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（-2,0）,F2（2,0）,且椭圆经过点（,，-1）（1）求椭圆标准方程.（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率.解：（1）设椭圆的标准方程为三齐？=1（ab0）,则 2ad 仔2）斗（一微）（1-2）%：2 伍，即 a=VTo又,*c=2,I.b2=a2-c2=6,2 2故椭圆的标准方程为：J+二=1，10 6（2）由（1）得：椭圆的长轴长：2面,短轴长*、缶 2 V10 离心率e=7To=T,例17：已知直线/：、=履+相与椭圆1+5=1360）恰有一个公共点尸，/与圆 a b-f+y2=Q2相交于a,两点.14(H)点。与点尸关于坐标原点。对称.若当左=-1时。力5的面积取到最大值求 椭圆的离心率.【详解】y=kx+m,2a2kmx+贝L I A=(2q2而)4(a2k2+h1a2 m1 b化简整理，得桃2=上2+；(ID因点。与点P关于坐标原点0对称,12)=0故A QZ3的面积是A O4B的面积的两倍.2所以当左=-大时，A 045的面积取到最大值一 2 2从而原点。到台线/的距离d=宕，H m2 a2故f一 二 一.qE+1 左2+2,“、zB a2k2+b2 a2,2,2b2再由(I),得-=一，则左2=1上z+1 2 a2/_ 1-2 12b2 1 Hn b2 3又k=一不,故左2=-=,即r=_,2/4 a?&u 而 2/b2 5 Vioa2 a2 8 42 2例18椭圆一=1(。60)的中心在原点,此时。4_LO8,片，巴分别为左、右焦点，43分别是椭圆15的上顶点和右顶点，尸是椭圆上一点，且轴，PFJ/AB,求椭圆的离心率.【详解】如图所示：Z（O,b）,6（a,0）,月（c,0）,因为伏_Lx轴，所以尸c,一,I a)_(b2 _.PF2=2c,-,AB=(a,b).I a)因为 PF?/AB,所以2bc+a=0,b=2c.a所以 a=y/b2+c2-J(2c+02 册c，e=.题型八：求面积例19.已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为6,焦距为2石，设尸为椭圆上的一点，片,是该椭圆的两个焦点，若/月尸石=60。，求:（1）椭圆的标准方程；（2）方片鸟的面积.【详解】X（1）设椭圆的标准方程为。+a-y2=l(a b0)，因为长轴长为6,焦距为2石，故。=3,c=B 所以6=2,2 2故椭圆方程为+匕=1.9 416（2）由椭圆的定义可得|正耳|+|正月|=6,由余弦定理可得归片+10闾2 210片|尸用cos60=20,整理得到归片+归入一归片归国=20,归用2+归到2+2归耳忖用二36,所以陷|明罟,故S.二x阀|叫xsin6（r=冬导=华.。/4 3 32 2例20.椭圆0：三+3=1（。/?0）的离心率为且，且过其右焦点歹与长轴垂直的直线被 2椭圆C截得的弦长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C的一个动点，直线/：歹=且X+走与椭圆c交于43两点，求4PAB4 2面积的最大值.试题解析:解:(1)椭圆C:=l（ab0）的离心率为-,.e=,2c=5/3走进高考一、单选题1.2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国卷3正式版)已知椭圆C：LX(ab0)的左、右顶点分别为A”A且以线段A 1A 2为直径的圆与直线区。歹+2ab=0相切，则C的离心率为A C B G 3 3八加 1C.-D.一3 3【答案】A【解析】以线段44为直径的圆是f+y2=a2,直线灰即+2ab=o与圆相切，所以圆。A心到直线的距离2=/61=。,整理为=3/,即/=3储2一02）=2/=3c2,即 y/a2+b2 1 718e=:存故选，则。的方程为2 2B.二+匕=13 22 2C,土+匕=14 32 2D.二+匕=15 42.2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）已知椭圆C的焦点为瓜-1,0），月（1,0）,过尸2的直线与c交于4 B两点.若|AF2=2|F2B,AB=BFA.+y2=1 2【答案】B【解析】【分析】由已知可设优刈=，则忸媪=4S|=3，得=在八台中求得cos/耳力5=；,再在4月片中，由余弦定理得二乎，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设优同=%则忸彳|二|/同=3，由椭圆的定义有2a=忸6|+忸闾=4，.4用=2。一|4闾二2.在八4耳8中，由余弦定理推论得42+9%2_9 2 1 1cosZEAB=一在/片月中，由余弦定理得42+42222；=4,1 2-2n-3n 3-3解得=立.22a-4=23,.a=/3.b2=a2 c2=3 1=2,.,.所求椭圆方程为-=1?故3 2选B.法二：由已知可设怩4=，则|盟|=2，忸周=|/同=3，由椭圆的定义有20=忸片|+忸闾=4，.明=2。一|4闾二2.在力月月和小月中，由余弦定理得4/72+4-2 2 2 cos/AF/=An2,n2+4-2-77-2-cos/BF?F=9n2乂/ABK，NBF2K 互补，19/.cos AAF2F+cos ABF2F=0,两式消去cosN 4K片，cosN陷月，W3/?2+6=112，解得=2a=4/7=2a/3,.a=乖）,.b2=a2 c2=3 1=2,.,.所求椭圆方程为 2111B.c.一D.-234本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.3.2018年全国普通高等学校招生统一考试理数(全国卷II)r2 v2已知E，月是椭圆C：r+=l(a6 0)的左，右焦点，/是C的左顶点，点尸在过4且 a b斜率为由的直线上，纳巴为等腰三角形，4尸2P=120。,则C的离心率为 62A .3【答案】D【解析】【分析】【详解】分析：先根据条件得PFz=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为母;鸟为等腰三角形，5尸2P=120。,所以PFz=FE=2c,由/尸斜率为XI得，tan/4居=sinZPAR 二=,cos/PAF)=华，6 6 2 V13 2 岳由正弦定理得PF2 _sinZPAF2 AF sin AAPF2,20所以2ca+c1 1岳 _ 岳sin(-ZP)6 叵3 2 Vb 2 V132,1：.a=4c,e=,故选 D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于b,c的方程或 不等式，再根据的关系消掉b得到生。的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的儿何性质、点的坐标的范围等.4.2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H）2 2,X V若抛物线y=2内（p0）的焦点是椭圆一+乙=1的一个焦点，则夕=3P PA.2 B.3C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出?，或者利用检验排除的 方法，如夕=2时，抛物线焦点为（1,0）,椭圆焦点为（2,0）,排除A,同样可排除B,C,故选D.【详解】2 2因为抛物线V=2px（p 0）的焦点（4,0）是椭圆二+幺=1的一个焦点，所以2 3p p32一夕=（）2,解得夕=8,故选D.【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养.二、填空题5.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I）2 2一个圆经过椭圆L=1的三个顶点，且圆心在工轴的正半轴上，则该圆的标准方程为16 4【答案】（“告+/弓21【解析】3设圆心为（。，0）,则半径为4 a,则（4一。）2=/+22,解得。=5，故圆的方程为(x-)2+y2=2 4考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程6.2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标III）2 2设耳 月为椭圆。：1+京=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为.2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标m）【答案】（3,而）【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出|讨|、|6|,设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.【详解】由已知可得/=36,=20,/./=/一=16,/.c=4,.阿|二|大|=2c=8.a A4F2=4.设点的坐标为（/，%）（%0,%0）,则Smf鼻=g闺用 匕=仅，乂S%尸=；x4x,822?=4底4yo=4而,解得为=#,.芯）_=i，解得o=3（%（）=-3舍去），.36 20二的坐标为（3,.【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实 了直观想象、逻辑推理等数学素养.三、解答题7.2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）22已知4 B分别为椭圆E：-+y2=（1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG-GB=8,产为直线x=6上的动点，与E的另一交点为C,PB与E的另一交点、为D.（1）求七的方程；（2）证明：直线CD过定点.X2 2 一y=【答案】（1）9；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得:/（一。,0）,B（a,O）,G（O,1）,即可求得怒.演=/,结合已知即可求得：/=9,问题得解.（2）设尸（6,%）,可得直线4P的方程为：y=-（x+3）,联立直线N P的方程与椭圆方 f-3yn2+27 6%）程即可求得点。的坐标为/二，同理可得点。的坐标为I%+9 y02+9）当3时，可表示出宜线C。的方程，整理百线CO的方程可得：尸3（；2）%一|）即可知直线过定点（|，0：当N；=3H寸，直线CD：x=|,直线过（3、点|一,0，命题得证.（2）【详解】（1）依据题意作出如下图象：232由椭圆方程：+_/=151）可得:4（。,0）,5（a,0）,G（O,1）*AG=(tz,1)G3=(a,1)AG-GB=a2-l=S a2=92椭圆方程为：+/=19（2）证明：设尸（6,%）,y _ Q则直线4尸的方程为：k6；_3产+3），即：丁 二联立直线4尸的方程与椭圆方程可得：2X 2 1-H V=19，整理得:V 二(Jo2+9)x2+6yx+9y02-81=0,解得：=-3或%=-3升+27Jo2+9将=-3k+274+9代入直线了二6y0 可得：%+9所以点。的坐标为方+9-3方+27当N：。3时,同理可得：点。的坐标为-3 _2歹（）1赤I4%整理得：J=-3整理可得：+乌4%+i直线。的方程为:24(3、所以直线CD过定点一,0.(2)当 y：=3 时，Il.C D：x=|,在线过点(3、故直线。过定点一,0.(2)【点本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力,属于难题.8.2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标II)已知椭圆G：j+2r=1(0)的右焦点尸与抛物线G的焦点重合，G的中心与。2的顶 a b_ 4点重合.过尸且与x轴垂直的直线交G于4 6两点，交G于。，。两点，且|CQ=1|/%(1)求G的离心率；(2)设M是G与G的公共点，若|四勺=5,求G与G的标准方程.【答案】(1)g；(2)C,：+=C2:y2=12x.2 1 36 27【解析】【分析】求出|4同、|8|,利用|CQ|=；|/邳可得出关于。、。的齐次等式，可解得椭圆G的离心率的值;(2)由(1)可得出G的方程为4c2 3c2联立曲线C与。2的方程，求出点的坐1标，利用抛物线的定义结合阿日=5可求得c的值，进而可得出与G的标准方程.【详解】(1)vF(c,0),48 J_%轴且与椭圆G相交于4、B两点,则直线48的方程为x=c,25x=c2 2，、1 y.联立/+乒=1 a2=b2+c2x=c解得,b2 y=I a则MM二次,抛物线G的方程为歹2=4cx,解得X=C,:.C D=4c,、尸 2c44 Qk2：C D=-AB,即4c=竺，2b23 3a=3ac，3即 2c2+3ac 2/=0，即 2/+3e 2=0，Q0e 0).(1)证明：k -；(2)设/为C的右焦点，尸为C上一点，且而+初+而=0.证明：归可，|所|而|成等差数列，并求该数列的公差.【答案】(1)b0),四点 P(1,1),P2(0,1),P3(-1,正)，P4(1,立)a1 b2 2 2中恰有三点在椭圆C上.(I)求C的方程；(II)设直线1不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P.B的斜率的和为-1,证明：1过定点.丫2【答案】+y2=1.4(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)根据巴，巴两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知，经过R1113两点.另外由=+”=+知，C不经过点F，所以点2在。上.因此EM,与在 a b a 4b椭圆上，代入其标准方程，即可求出。的方程；(2)先设直线鸟4与直线的斜率分别为左，4,再设直线/的方程，当/与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，丫2再设/：ykx+m 将丁=京+?代入一+y2=.,写出判别式，利用根与4系数的关系表示出为+孙 氏如 进而表示出匕+鱼，根据占+%2=-1列出等式表示 出左和根的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：(1)由于，乙两点关于轴对称，故由题设知C经过勺，乙两点.1113 一又由一+77 +知，。不经过点所以点已在。上.a h a 4b30因此1=1b，解得,+二1a*2 4由题设%+e=-1，故（24+1）玉工2+（根1）（匹+%2）=解得人二/=4b2=,丫2故。的方程为L+/=i.4（2）设直线&4与直线月月的斜率分别为K,如果/与X轴垂直，设1：产t,由题设知，。0,且卜|2=i得(4人之+1)%2+Skmx+4m2-4=0由题设可知=16（442一/+1）。8km设/(Xi,Ji),B(X2,%)，贝U 用+照=一:7-4左+14m2-4为莅=-4k2+1而匕+质=比+上%x2feq+加 一 1+京2+”2-1石2kxX2+(2-1)(项+工2)%2/、8km.+(m-1)-=0.7 4公+1m+1231772+I+1当且仅当 2一1 时，A 0,欲使/：y=-x+m,即 y+l=-(x-2),所以/过定点(2,-1)点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过 这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系 转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直 线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情 况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系 进行化简.12.2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)2设O为坐标原点，动点在椭圆C+V=l上，过用作X轴的垂线，垂足为N,点P满 2足标=e两.(1)求点尸的轨迹方程；(2)设点。在直线=-3上，且赤尹0=1.证明：过点尸且垂直于0。的直线/过。的左 焦点F.【答案】(l)f+y2=2；(2)见解析.【解析】【分析】【详解】(1)设 P(x,y),M(x0,y0)，则 N(xo,O),N P=(x-x0,y),N M=(0,y0)由丽=血而疝得玉)=0,y0=-y.2 2因为M(x0,y0)在C上，所以上+乙=1.2 2因此点P的轨迹为V+y2=2.由题意知 F(-1,0),设 Q(-3,t),P(m,n),则OQ=(-3,t),PF=(-l-m,-n),OQ PF=3+3m-tn,OP(=m,n),PQ=(-3-m,t-n).32由 OP-PQ=1 得一3m-加2+tn2=,又由()知根2+“2=2，故 3+3m-tn=0.所以质Pf=O，即。0,际.乂过点P存在唯一直线垂直于0Q，所以过点P且垂直于0Q 的直线1过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的.定点、定值问 题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理,到最后必定参数统消，定点、定值显现.13.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)2 2已知椭圆E:土+匕=1的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于 t 3A,M两点，点N在E上，MA N A.(I)当 t=4,14Ml 时，求 A MN 的面积；(ID当214Ml=|4V|时，求k的取值范围.【答案】(I)；(ID(V2,2J.【解析】试题分析：(I)先求直线/的方程，再求点M的纵坐标，最后求 力的面积；(II)设(项,必)，写出A点坐标，并求直线的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去V,用，上表示王，从而表示|/四|,同理用，上表示|/V|,再由214M卜14Vl及t的取值范围求 左的取值范围.2 2试题解析：(I)设河(演,凹)，则由题意知弘0,当=4时，的方程为亍+?=1,/(-2,0).兀由已知及椭圆的对称性知，直线/的倾斜角为:.因此宜线的方程为y=x+2.42 2 2 2将x=y 2代入+_=1得7y212y=0.解得了=0或歹=亍，所以以=了.1 12 12 144因此4W的面积51的=2x；x亍乂亍=石.(II)由题意f3,k0,力卜,0).332 2将直线AM的方程尸左（+）代入亍+=1得（3+/+2派2%+12k2%=。1/r t2k2 3z zH JF(3-4之)由_/=-丁得x,二一-L，故7)3+小西3+而3+tk2J(l+k2 3k2+t由题设，直线力N的方程为y=：（%+），故同理可得恒可|=竺 由 2|M|二|/N|得7T=即（/2），=3M2左一1）.3+tk 3k+1当左=过时上式不成立，小肖一等价于等3号。,即k 2 k3-20k3-20k-20解得蚯 左A 0）的离心率为/是椭圆E的右焦点，直 a b 2线力产的斜率为2叵，O为坐标原点.3（1）求E的方程；（2）设过点/的动直线/与E相交于尸，。两点.当OP。的面积最大时，求/的方程.【答案】（1）+y2=1（2）y=土-x-24 2【解析】试题分析：设出/，由直线/的斜率为2叵求得C,结合离心率求得。，再由隐含条件求 3得b,即可求椭圆方程；（2）点/J_x轴时、不合题意；当直线/斜率存在时，设直线 34l:y=kx-2,联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得左的范围，再由弦长公式求得 卢。，由点到直线的距离公式求得。至I股的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用 基本不等式求得最值，进一步求出左值，则直线方程可求.试题解析：设尸（c,0）,因为直线/尸的斜率为38,/（0,-2）所以2 c=6C 3解得 a=2,b=1,丫2所以椭圆的方程为二+/=1.4（2）解：设尸由题意可设直线/的方程为：y=kx-2,二 2=1联立+一，消去了得（1+4公）X2 16依+12=0,y=kx-2,当A=16（4423）0,所以左2:，即左 一日或左 孝时16 左 12二帝F二帝之所以。|=J1+k2 J（X+%2）2 4X1X,+1+4左2_411+左214023 1+4公,2点0到直线/的距离d=f5+1铲 i、i c 1；I cd 4,42 3所 以 S&opo=-d|尸。|=-5，、PQ 2 1 1 1+4左 235设左23=z0，则4左2=+3,当且仅当，=2,即14k2-3=2,解得左=0时取等号,23满足左2:所以OPQ的面积最大时宜线/的方程为：y=*x 2或丫=空*_2.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲 线中的最值问题一般有两种方法：一是儿何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面儿何的有 关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特 征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本 题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.15.2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标III）已知椭圆+二=1（0加 5）的离心率为史，A,笈分别为C的左、右顶点.25 m 4（1）求。的方程；（2）若点尸在C上，点。在直线=6上，且尸|=|5Q|,BPLBQ,求力。的面积.【答案】（1）三+叵=1；（2）羡.25 25 2【解析】【分析】2 2（1）因为C：*+J=l（。（根 5）,可得=5,h=m,根据离心率公式，结合已知，即可求得答案;（2）点尸在C上，点。在直线=6上，且|8门=|8。|,BP1BQ,过点尸作工轴垂线，交点、为M,设=6与x轴交点为N,可得APMBvABNQ,可求得2点坐标，求出直线 36力。的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得4PQ的面积.【详解】2 2(1)V C:+v=l(0m 0），直线I不过原点0且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A,B,线段的中点为M.（I）证明：直线的斜率与/的斜率的乘积为定值；（II）若/过点延长线段。“与C交于点尸，四边形O/P3能否为平行四边形？若能，求此时一/的斜率，若不能，说明理由.【答案】（I）详见解析；（H）能，4 或4+近.【解析】试题分析：（1）设直线/：y=履+6（左0力0）,直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线。河的斜率，再表示用加-4；9（2）第一步山（I）得。河的方程为y=设点尸的横坐标为尸，直线与椭圆方程 k联立求点尸的坐标，第二步再整理点M的坐标，如果能构成平行四边形，只需巧,=2万，如果有k值，并且满足%0,%。3的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线/：_y=b+6/w0,6 w0),N(x”必)，jB(x2,y2),M(xM,yM).y=kx+b.,.由？7，得(r+9)%2+2左“22=0,9x+y=m+x2 _ kb2 一F+9yM=%+b=9b k2+9y 9.直线OW的斜率Lw=一/，即七M 左二9.XM K即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值-9.（2）四边形。/尸3能为平行四边形.直线/过点（工,2）,./不过原点且与。有两个交点的充要条件是%0,k手39由（1）得。河的方程为夕=一7.设点P的横坐标为 k9V 二x,A 2,fon.由 k 得4 即丐9/+4忧9 必+81 3M40将点（-,掰）的坐标代入直线I的方程得b=心”）因此历=mk(k 3)3(左2+9)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段0 P互相平分，即斗=2xwkm _ 2*mk(k-3)3&2+9-*3街+9)解得勺=4J7,左2=4+J7.*/kj 0,k产 3,i=1,2,当/的斜率为4 J7或4+旧时，四边形OAPB为平行四边形.考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点M是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜 9 婷9f 2 7J率的关系时，也可以选择点差法，设4巧，必），以巧,以），代入椭圆方程”=m2=m2两式相减姒2_、2）+卜12_%2）=0,化简为 叶口+巧）（七一巧）+&+外融】一%）=o，两边同时除以（巧+sX巧一/）得9+2二21,而也上22=%1f，红玉=心，即得到结果，I玉+1人百一七J 玉+f 玉一马（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次 用坐标表示这些儿何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即 冷=2%，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.41