2022年新高考数学（人教版）一轮复习课件：第2章 第12讲 第1课时 导数与函数的单调性.pdf

必考部分第二章函数、导数及其应用第十二讲导教在研究函数中的应用第一课时导数与函数的单调性1知识梳理双基自测2考点突破互动探究3名师讲坛素养提升D返回导航2022电 轮总复习知识梳理-双基自测&前网闹理知识点函数的单调性(1)设函数”=心)在某个区间内可导，若/(X)0,则/。)为增函数，若/(%)二0,则/)为减函数.(2)求可导函数危)单调区间的步骤：确定为x)的定义域；求导孙(x);令f(%)0(或)(%)0 时,外)在相应区间上是增函数，当f(%)0 时，加)在相应区间上是减函数.第二章函数、导数及其应用&国图蔺闽导数与函数单调性的关系a/a）o（或/a）o）是/G）在（诙3内单调递增（或递减）的充分不必 要条件.（2/a）2o（或（%）wo）（r（%）不恒等于0）是危）在g,与内单调递增（或递减）的充要条件.第二章函数、导数及其应用|0 之）题组一走出误区1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“义”）（1）若函数1A%）在（。，6）内单调递增，那么一定有，（%）（）.（X）（2）若函数y=/2在（a,6）内恒有/（%）20,则y=/（x）在（a,6）上一定为增函数.（X）（3）如果函数外）在某个区间内恒有，a）=o,则加）在此区间内没有单调性.（V）第二章函数、导数及其应用&1 1(4)因为乎=的导函数为yf=x(ln%产;丁。，0，因此y3c的减区间为(0,+).(X)第二章函数、导数及其应用 I0 之)解析(1)有可能/(X)=0,如兀)=/,它在(-8,+8)上为增 函数,但/(%)=%2三0.(2)因为y=/(x)若为常数函数，则一定有，(%)=0满足条件，但不具 备单调性.(3)如果函数人、)在某个区间内恒有/(%)=0,则此函数火、)在这个区 间内为常数函数，则函数1A%)在这个区间内没有单调性.1(4加=而工定义域为(0,1)1)(1,+8),因此它的减区间为(0,1)和(1,+OO第二章函数、导数及其应用&题组二走进教材2.(选修22P26 T l改编)函数/)=如一6 N的单调递减区间为(A)A.(0,4)B.(0,2)C.(4,+8)D.(8,0)解析f(x)=3x2-12x=3x(x-4),由(x)0,得0%=幻）递减，故/（x）WO,解集为-1,2U456).第二章函数、导数及其应用&题组三走向高考5.（2017浙江，4分）函数的导函数 的图象如图所示，则函数y=#x）的图象可能是（D）A B第二章函数、导数及其应用 I&解析根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的 两边导函数值的符号相反，因此函数段）在这些零点处取得极值，排除 A,B；记导函数/（%）的零点从左到右分别为11，又在（-8,修）上/（x）vO,在（a，x2）_ b/（x）0,所以函数於）在（-8,a）上单调递 减，排除C,选D.第二章函数、导数及其应用|&6.（2016全国卷 I,5 分）若函数/（x）=x：sin 2x+sin x 在（一8,+8）上单调递增，则。的取值范围是（C）r 1 1A.-1,1 B.LjD.一1,一彳第二章函数、导数及其应用&1解析函数/(x)=x-sin 2x+asinx在(-8)+8)上单调递增,等2 4 5价于 f(x)=1-qcos 2x+“cosx=-3cos2、+acosx+在(-?+00)4 5上恒成立.设cosx=K则g。)=-J+必+三。在-11上恒成立,所4 5、g(l)=,+$三 0,以 4 5 解得-故选C.g(-1)=-3-fl+30,注:文科(sin2x)z=(2sinxcosx)=2(sinx)-cosx+sinx-(cosx)=2(cos2、-sii?、)=2cos 2x._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _第二章函数、导数及其应用D返回导航2022电 轮总复习考点突破-互动探究考点函数的单调性考向1不含参数的函数的单调性自主练透例1(1)函数/(x)=x221n x的单调递减区间是(A)A.(0,1)B.(b+8)C.(8,I)D.(-1,1)(2)函数/(%)=(%3)旷的单调递增区间是A.(8,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+8)(D)第二章函数、导数及其应用 I&(3)函数/(%)=%+2厂彳的单调递增区间是(一8,0)；单调递减区间是(0J).(4)已知定义在区间(一兀，兀)上的函数/(x)=xsinx+cosx,则/(x)的单调递增区间是一兀，,_,2 2(%+1)(%-1)解析./(x)=2x-=(x0)当x(0J)时，/(x)0,火工)为增函数.第二章函数、导数及其应用&(2/(%)=(%-3y ex+(x-3)(ex)z=(%-2)et 令，(%)0,解得2,故选D.排除法：观察=%-3,y=ex,在(3,+8)上递增，.选d.(3必)的定义域为x|xW1,f(x)=1-J.令 f(x)=0,得 1=0.y 一%当 0 xvl 时，f(x)0.当 x0.加)的单调递增区间为(-8,0),单调递减区间为(o).第二章函数、导数及其应用 I&(4)/z(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.令 f(x)=xcos x3（则其在区间（-兀）兀）上的解集为-兀,（即火X）的单调递增区间为-兀，和0,5第二章函数、导数及其应用 I0 M/NG SUI DIAN BO用导数()确定函数/G)单调区间的三种类型及方法：(1)当不等式/(x)0或/(x)0或/(%)0求出单调区间.(2)当方程/(x)=0可解时，根据函数的定义域，解方程/(%)=(),求出实数根，把函数危)的间断点(即段)的无定义点)的横坐标和实根按从 大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，再确定/(x)在各 个区间内的符号，从而确定单调区间.第二章函数、导数及其应用0或(x)0).讨论小）的单调性.解析函数小）的定义域为（0，+8,(x)=a(x-1)-11(x-l)(ax-1)+-=-X X1令，（X）=0,则/=L 12=若4=1,则，（X）三0恒成立，所以火X）在（0，+8）上是增函数.第二章函数、导数及其应用 I&1若QaLCL当 C（0,1）时,f（x）0,於）是增函数，（1当xG L 2时，（x）O,4）是减函数，当xG 3+8时，/（x）o,兀。是增函数.1若a,则00,1A x）是增函数，第二章 函数、导数及其应用&fl)当7 1时，(x)0,/)是增函数,综上所述，当4=1时，加)在(0,+8)上是增函数；当01时，)在3 7;上是增函数，在1上是减函数，在(L+I CL J8)上是增函数.第二章函数、导数及其应用H第 MING S/DIAN BO(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论.遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式 以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数 为0的点和函数的间断点.(3)个别导数为0的点不影响在区间的单调性，如於)=X3,f(x)=(%)=0在1=0时取到)，於)在R上是增函数.第二章函数、导数及其应用0 变式训练1)设函数/(%)=%1一aln x(a R),讨论/(%)的单调性.1 a x2-6 zx+1解析4)的定义域为(0,+8),，(、)=1+*?=-5.令g(x)=X2-4X+1,则方程f-OX+1=0的判别式程=2 4.当同W2 时,即一时，4W0,7y(x)N0,故於)在(0,+8)上单调递增.当av-2时，/0,g(x)=0的两根都小于0,在(0,+8)上恒有 f(x)0,故人x)在(0,+8)上单调递增.第二章函数、导数及其应用&当a2时/0,g(x)=0有两根为%i=L-_ 4 a+2，%2=一fa2-42,当 OvxVq 时5 f(x)0；当%ix f(x)%2 时 f(x)0 5 故段)在(0,修)，(%2，+8)上单调递增，在(修，2)上单调递减.综上得，当qW2时，段)在(0,+8)上单调递增；当a2时，於)在a-y a2-4|(a+y a2-4)l*、由、名 用 一0,-,一-,+8 上单调递增，在一耳，上单调递减.第二章函数、导数及其应用/-f/V)37D.J上3次I)第二章函数、导数及其应用 I&角单析因为 y(x)=xsinx,所以八 一 x)=(_ x),sin(x)=xsin x=/(x)?兀所以函数）是偶函数，所以/VJT.又当 0,5 时,f(x)=sin x+XCOSx0,所以函数4）在3 5上是增函数，所以!)715故选A.第二章函数、导数及其应用 I角度2解不等式例4设函数/)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0,且g=0,贝U不等式/(x)g(x)0的解集是A.(-3,0)U(3,+8)B.(3,0)U(0,3)C.(8,-3)U(3,+8)D.(8,-3)U(0,3)(A)第二章函数、导数及其应用 I&解析v/(x)g(x)+Xx)gz(x)0,即 g)g(x)，0./(%应(%)在(-8,0)上单调递增，又麻；)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，/.g(x)为奇函数，/(0)g(0)=0,?.g(x)在(0,+8)上也是增函 数.VA 3)g=0，#-3应(-3)=0.，应玉。)0的解集为(-3,0)口(3,+8).故选A.第二章函数、导数及其应用例5角度3已知函数的单调性求参数取值范围若函数/(x)=A xln%在区间(1,+8)上单调递增，贝I J上的取 值范围是(D)A.(2 B.(一 1C.2,+8)D.b+8)分析利用函数/)=近一I n%在区间(1,+8)上单调递增等价于 f(%)三0在(1,+8)恒成立求解.或利用区间(1,+8)是的增区间 的子集求解.第二章函数、导数及其应用&解析解法一：因为火X)在(L+8)上单调递增,所以，(%)20在(1,+8)上恒成立，因为 Xx)=kx In x,1 1所以，(、)=左一；三0,即左三；.1因为xL所以00),1、当左WO时,，(x)=左-)在其定义域内递减,不合题意)X1(1)当k0时，由f(x)0知介白 即於+是火X)的增区间.由题急1可知无WL即左三L故选D.第二章函数、导数及其应用&引申本例中(1)若危0的增区间为(1,+8),则左=1；(2)若危)在(1,+8)上递减，则上的取值范围是(一8,0；(3)若/(X)在(1,+8)上不单调，则左的取值范围是(0,1)；(4)若小)在(1,+8)上存在减区间，则上的取值范围是(一8,1)；(8,U r 1-I-ooA(5)若危)在(1,2)上单调，则左的取值范围是，2L，十：.第二章函数、导数及其应用|&1解析(1)由解法2知=1,=1;A x 1 1(2)由题意知，(x)=1WO在(L+8)上恒成立即左三丁又xi,1.0-L.kWO)即。的取值范围是(-8,0;JC由本例及引申(2)知，於)在(1,+8)上单调,则一W0或栏1,.W%)在(1,+8)上不单调，则0左1.即左的取值范围是(0,1)；kx 1 1(4)由题意可知，(x)=1W0在(L+8)内有解即无三%E(L1+8)有解,由。V1可知上V1,即左的取值范围是(-8,1)；第二章 函数、导数及其应用&xC(l,2),kx 1 1若人x)在(1,2)上单调增，则，(x)=。恒成立，即左三左三1.kx 1 1 1若启)在(1,2)上单调减,则，(x)=一；W0恒成立,即左左.1A%)在(1,2)上单调，则左的取值范围是(-8,|U1,+8).第二章函数、导数及其应用司&MING S/DIAN BO已知函数单调性，求参数取值范围的两个方法利用集合间的包含关系处理：尸八%）在3，6）上单调，则区间（诙6）是相应单调区间的子集.（2）转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调递增，则 f（%）三0；若函数危：）单调递减，则，（%）wo”来求解.提醒：八）为增函数的充要条件是对任意的工（。，田都前（工）三0且 在（e 6）内的任一非空子区间上/（%）不恒等于0.应注意此时式子中的等 号不能省略，否则漏解.第二章函数、导数及其应用 0(变式训练2)1(1)(角度1)已知函数八%)=?in%,则有(D)A.42)/(e)/(3)B./e)2)A 3)C.犬3)友)次2)D.Xe)3)2)(2)(角度2)(2021昆明模拟)已知函数八%)=%sin x+cos%+f,则不等(1式川nx)+/ln.加1)的解集为(A)A.(e,+8)B.(0,e)o)，人/人/在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，3)次e)次2).故选A.第二章函数、导数及其应用0时,f(x)0,一%)单调递增,JL/(-x)=(-x)sin(-x)+cos(-x)+(-x)2=fix),所以/(x)为偶函数，即有/(x)=A|x|),(1则不等式4nx)+/ln-)贺1)，即为/(I n%)勺(1),即为川ln%|)勺,1则|ln x|l?即-lln x0),41/(%)=3+；i:函数NO=-一 3x+41nx在(右，+1)上不单调,4/(x)=-x-3+;：在0+1)上有变号零点，丫2+3 丫 一 4-=0在,，+1)上有解，第二章函数、导数及其应用&*+34=0在。+1)上有解,由 N+3x-4=0得x=1 或x=-4(舍去)./+1),()/)，故实数，的取值范围是(01).第二章函数、导数及其应用返回导航&构造法在导教中的应用例51A%)为定义在R上的可导函数，且，(%)/(%),对任意正实数。，下列式子成立的是A.%)eD.人。)*第二章函数、导数及其应用0-.g(x)在R上为增函数.又,40,g(a)g(O)，艮*，即加)e7(0).第二章 函数、导数及其应用&例5(2015课标全国II)设函数/(x)是奇函数t)(xR)的导函数，八-1)=0,当x0时，xf(x)-0成立的x的取值范围是(A)A.(8,-l)U(05l)B.(-l50)U(l,+oo)C.(8,-1)U(-15O)D.(0,1)U(l,+oo)第二章函数、导数及其应用&解析令尸(%)=号，因为八工)为奇函数，所以尸(%)为偶函数，由于f(x)=一，当%0 时，xf(x)-/(x)0成立的x的取值范围是(-8,-l)u(o5l).故选A.第二章函数、导数及其应用第 MING S/DIAN BO(1)对于不等式/(x)+g，(x)0(或0),构造函数 F(x)=fix)+g(x)；(2)对于不等式 F(%)-g(%)。(或 V。)，构造函数 F(x)=fix)-g(x);亦可构造1A x)=孥；特别地，对于不等式/(x)左(或左)(左WO),构造函数77a)=/(%)-A x.对于不等式/(%)g(x)+於嵬，(%)0(或0),构造函数F(x)=/(x)g(x)；第二章函数、导数及其应用&(4)对于不等式，(x)g(x)-/(x)g(x)0(或0(或0),构造函数/%)=欢%)；对于不等式力7(%)或0的解集为(2,+8).(2)函数/(%)的导函数/(%),对任意R,都有1(%)/(%)成立，若/(I n 2)=2,则满足不等式作)的的范围是(C)A.xl B.0%ln 2 D.0 xo,，ga)为增函数.Vg(2)=X2)-2=0,，g(x)0的解集为(2,+8).第二章函数、导数及其应用&（2）由题意，对任意xCR,都有，（%）次x）成立，即，（%）-於）0，令 g（%）=零，则g（%）=，（2：（?=）0,所以函数g（x）为单调递增 函数，又因为不等式段）/,即g（x）l,因为火山2）=2,所以g（因2）=1,所以不等式的解集为ln2,故选C.第二章函数、导数及其应用