初二等腰三角形讲义.doc

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学员编号： 年 级： 初二 课时数：3课时
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
课 题
等腰三角形
教学目的
1、 熟练掌握等腰三角形的性质和判定
2、 熟练等腰三角形“三线合一”的性质
3、 会运用性质和判定解决实际问题
重点、难点
重点：等腰三角形的性质
难点：“三线合一”的应用
教学内容

基础知识巩固：
1．等腰三角形定义：

2．等腰三角形的性质：
A
B
C

3．等腰三角形的判定：

【知识点简单运用】
例1、 如图，在△ABC中，，在AC上，且求△ABC各角的度数。

练习：1、如图△ABC是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，图中有哪些相等的线段？

2、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数。

例2：求证：如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
（写出已知和求证，画出图形）

随堂练习：
1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°

（1） （2）
2．如图2，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．

3.等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________．

动手操作：
拿出一张类似于如图（1）的矩形纸张，按照虚线对折如图（2），按（3）中的线段剪开，得到图形（4），DE、DF分别是边AC、BC上的高线，观察DF与DE的关系，并给予证明。

（1） （2） （3） （4） （5）

如果DE、DF是两边上的中线或者是∠ADC，∠BDC的平分线，它们还相等吗？
【例题经典】

根据等腰三角形的性质寻求规律
例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，
根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，
即可得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=90°+∠A；
∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=120°+∠A；
∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠BOC=·180°+∠A．
【点评】在例1图中，若AE=AB，AD=AC．类似上题方法同样可证得BD=CE．上述规律仍然存在．
A
A
A
A
B
B
B
C
C
C
36°
45°
90°
108°
练习：如图，在下列三角形中若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 。

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．

练习：1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=________．

2、同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于（ ）
A．25° B．50° C．60° D．130°
利用等腰三角形的性质证线段或角相等
例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
【分析】（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC是直角三角形．
【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．

A
B
C
E
F
D

练习：已知：如图所示，的平分线交于，过作交于，交于．求证：．

例：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于P，AB=5，BP=2，AC=9。求证：∠ABP=2∠ACB。
A
P
D
C
B

练习：1、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

2、如图，AD=BC，AC=BD，求证△EAB是等腰三角形。

实际应用：
上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求从海岛B到灯塔C的距离。

练习：要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
A．L1 B．L2 C．L3 D．L4

典型题目练习：
1、 如图，∠BAC=∠ABD ,AC =BD ,点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点。试判断OE和AB的位置关系，并给予证明。

2、 如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA。连接AD、AE。求∠D，∠E，∠DAE的度数。
（2） （3）
3、 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，求证AD垂直平分EF

一起发现数学中的美！

等腰三角形有时作为隐含的挑拣出现在题目中，需要我们能够识别出来，下面列出五种常见的情形：
①
OC为∠AOB的平分线，CD//OB于AO于点D，则△ODC是等腰三角形。
想一想：为什么？

②
△ABC中，AB=AC，DE//BC则△ADE为等腰三角形。
想一下，相等的两腰为什么？

③
△ABC中，OC为∠AOB的平分线，D是OB上一点，DC⊥OC于C，延长DC交OA于E，则△DOE是等腰三角形，其中OD=OE，DC=EC
想一想，为什么？

④
C是线段AB的垂直平分线上的一点，则△ABC是等腰三角形，其中AC=BC
想一想，为什么？

△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠ABD=36°，则图中共有三对等腰三角形，哪三对？
⑤

顶点为36°的等腰三角形是黄金三角形，它较等边三角形又多了一份秀气，更有着很多“神奇”的性质；它的底角平分线（BD ）将原三角形分割成两个等腰三角形，其中一个（△BCD）仍保持着黄金三角形的形状。不仅如此，点D在AC上的位置也有着非同一般的意义，即DA2=CD×AC，即点D是线段AC的黄金分割点。
（五角星是由一个正五边形和五个黄金三角形组成的）

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