安徽省黄山市2021届高三数学第一次质量检测试题-理.doc

安徽省黄山市2021届高三数学第一次质量检测试题 理安徽省黄山市2021届高三数学第一次质量检测试题 理年级：姓名：15安徽省黄山市2021届高三数学第一次质量检测试题 理本试卷分第卷（选择题60分）和第卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位2答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效4考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交第卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卷的相应区域答题）1已知集合，则集合A中元素个数为（ ）A3 B4 C5 D62复数（ ）A0 B2 C D3欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4已知抛物线上点P到顶点的距离等于它到准线的距离，则点P的坐标为（ ）A B C D5从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）A B C D6已知函数的图像在点处的切线与y轴交于点，则点的纵坐标为（ ）A7 B C D47已知函数（其中）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）A BC D8在的展开式中，含项的系数为（ ）A B6 C24 D9已知，则（ ）A B C D10已知直线与圆交于A，B两点。且A，B在x轴同侧，过A，B分别做x轴的垂线交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若，则（ ）A B C D11已知三棱锥的底面是正三角形，点A在侧面内的射影H是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D12设函数，若存在区间，使在上的值域为，则t的取值范围是（ ）A B C D第卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题）13设x，y满足约束条件，则的最小值是_14已知函数，过点作曲线的切线l，则直线l与曲线及y轴围成的图形的面积为_15已如，且，则的最大值为_16在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆现有双曲线，分别为双曲线的左、右焦点，A，B为双曲线虛轴的上、下端点，动点P满足，面积的最大值为4点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足，则双曲线方程是_；过的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题）17（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，首项，且数列的前n项和为，且满足（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和18（本小题满分12分）如图1，正方形，边长为a，E，F分别为中点，现将正方形沿对角线折起，折起过程中D点位置记为T，如图2（1）求证：；（2）当时，求半平面与半平面所成二面角的余弦值19（本小题满分12分）2020年10月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产，该企业生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（单位：g）与尺寸x（单位：）之间近似满足关系式（b、c为大于0的常数）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸384858687888质量16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数试求随机变量的分布列和期望；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：75.324.618.3101.4根据所给统计量，求y关于x的回归方程；已知优等品的收益z（单位：千元）与x，y的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？（精确到0.1）附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，20（本小题满分12分）已知椭圆的长轴长是焦距的倍，且过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是圆心在原点O，半径为的圆O上的一个动点，过点P作椭圆的两条切线，且分别交其圆O于点E、F，求动弦长的取值范围21（本小题满分12分）已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若，且在时恒成立，求实数a的取值范围考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点Q是与的公共点（1）当时，求直线的极坐标方程；（2）当时，记直线与曲线的另一个公共点为P，求的值23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，记最小值为k（1）求k的值；（2）若a，b，c为正数，且求证：黄山市2021届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案CDBABCBACBBD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置上）13 14 15 16（3分） （2分）三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内）17（本小题满分12分）解：（1）设数列的公差为d，所以为等差数列，公差为因为，即，所以， 3分由可得，两式相减得，又，所以，故是首项为1，公比为3的等比数列，所以 6分（2）设，记的前n项和为则， 8分两式相减得：，所以 12分18（本小题满分12分）（1）证明：取中点O，连因为为正方形，所以，又所以平面，而平面，所以又E，F分别为中点，所以所以 5分（2）因为，所以为等边三角形，又，即解法1：如图建立空间直角坐标系，则平面法向量设平面法向量，由，记半平面与半平面所成二面角为，则为锐角，所以即半平面与半平面所成二面角的余弦值为 12分解法2：记半平面与半平面交线为，交于H，连接因为，平面，平面所以平面又平面平面所以又由（）知平面，所以，所以所以即为半平面与半平面所成二面角的平面角 9分中，所以即半平面与半平面所成二面角的余弦值为 12分19（本小题满分12分）解：（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品 1分现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数， 3分的分布列为0123P 5分（2）解：对两边取自然对数得，令，得，且， 6分根据所给统计量及最小二乘估计公式有， 7分，得，故 8分所求y关于x的回归方程为 9分由可知，则由优等品质量与尺寸的比，即令，当时，取最大值，即优等品的尺寸，收益的预报值最大 12分20（本小题满分12分）解：（1）由得，把点代入椭圆方程得，又，所以，椭圆的标准方程为 4分（2）设过点P作椭圆的两条切线分别为当中有一条斜率不存在时，不妨设斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与圆O交于点和，此时经过点，且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或由题目知圆O的方程为：线段应为圆O的直径， 6分当斜率都存在时，设点，其中，且，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去y得到，所以，满足条件的两直线垂直 10分线段应为圆O的直径，综合知：因为经过点，又分别交圆于点E，F，且垂直，所以线段为圆的直径，为定值 11分故的取值范围 12分21（本小题满分12分）解：（1），当时，恒成立，即函数在递减；当时，令，解得，令，解得即函数在上单调递增，在上单调递减 4分综上，当时，函数在递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减 5分（2）由题意，即当时在时恒成立，即在时恒成立记，则，记，在递增，又，所以时， 7分下面证明：当时，在时恒成立因为 9分所以只需证在时恒成立记，所以，又，所以在单调递增，又所以，单调递减；，单调递增，所以，在恒成立综上可知，时，在时恒成立 12分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）曲线的普通方程是，当时，点Q的坐标为， 2分直线的普通方程为， 4分所以直线的极坐标方程为； 5分（2）当时，点Q的坐标为， 6分直线的参数方程为（t为参数）， 8分代入并化简得，设它的两根为，则 10分注：用平面几何中的切割线定理计算酌情给分23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲答案：略