河北省衡水中学2021届高三数学下学期第二次联合考试试题-文.doc

河北省衡水中学2021届高三数学下学期第二次联合考试试题 文

河北省衡水中学2021届高三数学下学期第二次联合考试试题 文

年级：
姓名：

16

河北省衡水中学2021届高三数学下学期第二次联合考试试题 文（II卷）
本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2，已知复数，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙背定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．函数是一个求余函数，格式为，其结果为两个数M，N作除法运算后的余数，例：，如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的，则输出的u的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点作渐近线的垂线，垂足为P，且的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的部分图象如图所示，函数，则（ ）

A． B．
C． D．
10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
B． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知角的终边上有一点，则的值为___________．
14．若x，y满足约束条件则的最小值为__________．
15．已知直线为曲线的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为__________．
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则
外接圆半径的最小值为______________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知在公比为2的等比数列中，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前项和．
18．（12分）
某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：

男性
女性
总计
参与该项老年运动
16
p
x
不参与该项老年运动
44
q
y
总计
60
40
100
从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．
（1）求列联表中p，q，x，y的值；
（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？
（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？
参考公式及数据：，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（12分）
如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．

（1）证明：平面；
（2）若M是上一点，且，求三棱锥的体积．
20．（12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．
21．（12分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）在区间上，是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．
（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；
（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当面积最大时，求直线l的直角坐标方程．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试·文科数学
一、选择题
1．B 【解析】由题意得，所以．
2．D 【解析】复数，则，所以在复平面内对应的点位于第四象限．
3．C 【解析】设第n天募捐到元，则数列是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n项和．因为，所以至少需要8天可完成募捐目标．
4．D 【解析】因为，所以，即．设与的夹角为，则，解得，所以与的夹角为．
5．A 【解析】假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求综上，优秀者为甲．
6．B 【解析】设左、右焦点分别为，以线段的中点为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则．设曲线上任意一点，则，化简得该卡西尼卵形线的方程为，显然其对称中心为．由得，所以，所以，所以．当且仅当时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为．
7．A 【解析】当时，；当时，；当时，…当时，，所以．
8．D 【解析】双曲线的渐近线方程为，在中，，所以，离心率．
9．C 【解析】由题图可得，所以由的图象得的图象，只需将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得．
10．A 【解析】由题意得，所以当时，有最大值，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为．
11．A 【解析】因为P为直线l上的动点，所以可设，由题意可得圆心C的坐标为，以线段为直径的圆N的方程为．两圆方程作差，即得两圆公共弦的方程为，所以直线过定点．
12．D 【解析】构造函数．因为，所以是奇函数，因为，，所以在区间上是减函数．因为是奇函数且，所以在R上是减函数．不等式等价于，即，所以，解得．
二、填空题
13． 【解析】由题意得，则．
14． 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，所以当目标函数过直线的交点时，z取最小值，所以．

15．4或 【解析】设直线与曲线相切于点，由，得，所以切点坐标为，所以直线l的方程为．又由直线l与曲线相切，得，化简得，解得或．
16． 【解析】由，得，即，所以由正弦定理得．所以，所以，设外接圆半径为R，因此，所以，即外接圆半径的最小值为．
三、解答题
17．解：（1）因为数列的公比q为2，
所以．
因为成等差数列，
所以，
解得，所以． （6分）
（2）由（1）可得 （8分）
所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以

． （12分）
18．解：（1）由题意得，
解得，所以， （2分）
所以． （4分）
（2）由列联表中的数据可得的观测值． （5分）
所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关． （7分）
（3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，
所以抽样比． （7分）
因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性人，记为，
女性人，记为， （9分）
从这6人中抽取2人的所有方式为，，，，，，，，，，，，，，，
共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为． （12分）
19．（1）证明：因为四边形为菱形，
所以．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面． （2分）
因为平面，所以． （3分）
又因为，
所以，
所以． （5分）
又因为平面，
所以平面． （6分）
（2）解：由（1）得平面，
因为平面，
所以， （8分）
所以，
所以为等腰三角形．
在中，由余弦定理得．
因为，所以，所以．
易得， （10分）
又，
所以． （12分）
20．解：（1）由椭圆E的方程可得．
设，则，
所以．
又点在椭圆E上，
所以，所以，
所以，
所以椭圆E的离心率． （4分）
（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，
所以椭圆E的标准方程为． （5分）
设直线l的方程为，线段的中点为，
联立消去y，得，
则，
解得，
所以， （7分）
所以，
所以． （8分）
由，得， （9分）
所以，
解得． （10分）
又因为以线段为直径的圆过点R，
所以，
所以．
又，代入上式整理得，
即，
解得．
所以直线l的方程为． （12分）
21．解：（1）由题意得函数的定义域为， （1分）
则． （3分）
令，得．
因为，所以．
当x在定义域上变化时，的变化情况如下表：
x

+
0
-
-
0
+

极大值

极小值

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （6分）
（2）令，得，
则a是函数的唯一零点． （7分）
因为，
所以，所以．
当时，；当时，． （9分）
由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （10分）
所以在区间上的最大值为，最小值为，其中． （12分）
22．解：（1）圆C的直角坐标方程为， （2分）
极坐标方程为． （4分）
（2）的直角坐标为． （5分）
，
当时，面积最大，
此时，圆心C到直线l的距离． （6分）
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意； （7分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
圆心C到直线l的距离，解得，即． （9分）
综上，直线l的方程为或． （10分）
23．解：（1）由题意得 （2分）
当时，令，解得；
当时，令，解得． （4分）
综上所述，的解集为． （5分）
（2）由（1）得
当，-，即， （6分）
此时，应有解得； （7分）
当时，，即， （8分）
此时，应有解得． （9分）
综上所述，实数a的取值范围是． （10分）