四川省眉山市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题-理.doc

四川省眉山市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

四川省眉山市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理

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姓名：

15

四川省眉山市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的准线方程为
A. B. C． D．
2. 棱长为2的正四面体的表面积为
A. B. C. D.
3. 设l, m是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4. 已知为实数，直线与直线垂直，则
A. 0或3 B. 3 C. 0 D. 无解
5．已知双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是
A．若“且”为真命题，则中至多有一个为真命题；
B．命题“若，则”的否命题为“若，则”；
C．命题“”的否定是“”；
D．命题“若，则”的逆否命题为真命题.
7．椭圆，过点的直线交椭圆于两点，且，则直线的直线方程是
A． B．
C． D．
8．直线，“”是“圆上至少有三个点到直线的距离为1”的
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．充要条件
9. 在底面是正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=1,BB1=2,∠A1AD=∠A1AB=，
则
A. B. C. D. 2
10. 椭圆的长轴为，短轴为，将坐标平面沿轴翻折成一个锐二面
角，且点在平面上的射影是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为
A. 60° B. 45° C. 30° 以上答案均不正确
11.设F1、F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共点，且＜，线段垂直平分线经过F2,若C1和C2的离心率分别为、，则的最小值
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
12. 正方体的棱长为3，点分别在棱上，且，
，下列几个命题：①异面直线与垂直；②过点 的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥的体积为 ④过点作平面，使得,则平面截正方体所得的截面面积为. 其中真命题的个数是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上．
13. 已知满足约束条件，则目标函数的最大值为______.
14. 已知等腰直角三角形ABC中，，，D为AB的中点，将它沿CD翻折，使点A与点B间的距离为，此时三棱锥C—ABD的外接球的表面积为 .
15. 直线的倾斜角为锐角，且和圆及圆都相切，则直
线的斜率为 .
16. 实数满足，则点（）到直线的距离的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．（本小题10分）
点（4，4）在抛物线上，且，B为C上两点，点A与点B的横坐标之和为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线AB的斜率．

18．（本小题12分）
A
B
C
D
F
E
如图：在多面体ABCDE中，平面ACD，平面ACD，
，，F是CD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；

19．（本小题12分）
A
B
C
E
F
G
如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

20．（本小题12分）
已知直线过坐标原点，圆的方程为．
（1）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长；
（2）设直线与圆交于两点，且为的中点，求直线的方程．

21．（本小题12分）
A1
A
C
B
D
D1
C1
B1
M
N
已知直四棱柱的棱长均相等，且，是侧棱的中点，是棱上的点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若二面角的大小为，试确定点的位置．

22．（本小题12分）
已知点，，动点满足直线与的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程
（2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于两点.
①求证：； ②求的最大值.
眉山市高中2022届第三学期期末教学质量检测
数学（理科）参考答案 2021.01
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
A
C
B
A
D
A
C
D
B
二、填空题
13．28 14．12 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）因为点（4，4）在抛物线上，代入得：16＝2p×4⇒p＝2， ……………………3分
所以抛物线C的方程为x2＝4y …………………………4分
（2） 设，且x1+x2＝4，
设直线，， …………………………6分
， …………………………………………………………………8分
， …………………………………………………………………9分
故直线AB的斜率为1． ………………………………………………………………10分
18．解：（1）证明：取CE的中点M，连结MF，MB，
∵F是CD的中点 ∴MF∥DE且MF＝DE ………………………………1分
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD
∴AB∥DE，MF∥AB ∵AB＝DE∴MF＝AB ………………………………3分
∴四边形ABMF是平行四边形
AF∥BM，AF⊄平面BCE，BM⊆平面BCE ∴AF∥平面BCE ………………6分
（没有写AF⊄平面BCE，扣1分）
（2） 证明：∵AC＝AD ∴AF⊥CD，又∵DE⊥平面ACD AF⊆平面ACD
∴AF⊥DE，又CD∩DE＝D ∴AF⊥平面CDE …………………………9分
又∵BM∥AF，∴BM⊥平面CDE
∵BM⊄平面BCE ∴平面BCE⊥平面CDE ………………………………………12分
（没有写CD∩DE＝D，扣1分）
19．证明：（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF．
由ABC﹣EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，
从而BC∥FG．∵CB＝2GF，∴，
∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF．
∵BF＝CF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∴CG⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，
∴CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，
∴CG⊥AB．……6分
（Ⅱ）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC．
由（Ⅰ）知，CG⊥平面ABC，CG∥DF，
∴DF⊥AD，DF⊥BC，∴DB，DF，DA两两垂直．
以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．
设BC＝2，则A（0，0，），E（，，），B（1，0，0），G（，，0），
∴（，，），，，0，，，．
设平面BEG的一个法向量为（，，）.
由可得，．
令，则y＝2，z＝﹣1，∴，2，．
设AE与平面BEG所成角为è，
则直线AE与平面BEG所成角的正弦值为． ……12分
20．解（1）由已知，直线l的方程为，圆C圆心为（0，3），半径为，
所以，圆心到直线l的距离为．所以，所求弦长为． ……6分
（2）法1： 设A（x，y1），因为A为OB的中点，则B（，）．
又A，B在圆C上，所以，． ………………8分
解得，， 即A（1，1）或A（，1） …………………………10分
所以，直线l的方程为或． ……………………………………………………12分
法2：法2：①当直线的斜率不存在，即为时，,不合题意。
②当直线的斜率存在时，设为，
，， ………………7分
……………………………………………8分
为的中点， ………………………………………9分
由（1）（2）（3）可得，即 ……………………………………10分
所以，直线l的方程为或． ………………………………………………12分
21．解：（1）连结BD，取AB的中点E，
∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均相等，∴底面ABCD是菱形，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，∴DE⊥AB，
∵AB∥DC，∴DE⊥DC，
∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，
∴DD1⊥DC，DD1⊥DE，
分别以直线DE，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ………………1分
设直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，
则D（0，0，0），A（，﹣1，0），B（，1，0），C（0，2，0），
D1（0，0，2），M（0，0，1）， ………………………………………………2分
∴（，﹣1，2），（，1，1）， ………………………………3分
设异面直线BD1与AM所成角为，
则＝， …………………………………5分
∴异面直线BD1与AM所成角的余弦值为． ………………………………6分
（2）由（1）知＝（，3，0），＝（，1，1），
设平面AMC的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（，1，2）， ………………………8分
设N（0，ë，2），0≤ë≤2，则＝（0，ë﹣2，2），
设平面ACN的法向量＝（a，b，c），
则，取b＝1，得＝（，1，）， ………10分
∵二面角M﹣AC﹣N的大小为，
∴cos＝＝＝，解得ë＝2，
∴当二面角M﹣AC﹣N的大小为，点N与点C1重合． …………………………12分
22.解：（1）由题设得，化简得 ………………3分
（2） 设直线的方程为，
，
……………………4分
，

………………………………………………7分
（3）法1：直线的方程为
，所以点的纵坐标，所以=,同理可得= ………………………………8分
·， …………………………………9分
令所以·， …………10分
由双勾函数单调性可知，当时， ·有最大值 …………………12分
法（2）接第二问，由等面积法得：，

… ……………………10分
令 ，所以·，
由双勾函数单调性可知，时，·有最大值 ……………………12分