福建省福州市2021届高三数学下学期3月质量检测试题.doc

福建省福州市2021届高三数学下学期3月质量检测试题

福建省福州市2021届高三数学下学期3月质量检测试题

年级：
姓名：

17

福建省福州市2021届高三数学下学期3月质量检测（一模）试题
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B. C. D. {
2.设复数，则满足的复数z有
A. 7个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
3.“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若抛物线上一点到其焦点的距离等于 ，则
A. B. C. D.
5.已知函数，则函数的图象大致为

A B C D
6.在中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F.若，则的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线P0，P1，…，Pn，….已知P0是边长为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作而得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉..记Pn的周长为Ln、所围成的面积为Sn.对于，下列结论正确的是

P0 P1 P2 … Pn …
A. 为等差数列 B. 为等比数列
C. ，使 D. ，使
8. 已知函数的图象过点，在区间上为单调函数，把的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合.设且，若，则的值为
A. - B. - C. 1 D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. “一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如右所示的列联表，通过计算得到K2的观测值为

认可
不认可
40岁以下
20
20
40岁以上（含40岁）
40
10
9.已知，，则下列判断正确的是
A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”
B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”
C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
10.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB平面MNP的是

A B C D
11.已知P是双曲线在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，的面积为.则以下结论正确的是
A.点P的横坐标为
B.
C. 的内切圆半径为1
D. 平分线所在的直线方程为
12. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数等.双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达·芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论正确的是
A.
B. 为偶函数，且存在最小值
C. ，
D. ，且，
第II卷
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.设x，y满足约束条件则的取值范围为 .
14. 的展开式中，的系数为 .
15.在三棱锥中，侧面PAC与底面ABC垂直，，，，.则三棱锥的外接球的表面积为 .
16.已知圆C的方程为，过点的直线与圆C交于P，Q两点（点Q在第四象限）.若，则点P的纵坐标为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在①；②，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.
问题：已知单调数列的前n项和为，且满足 .
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求角C的大小；
（2）设CD是的角平分线，求证：.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱台中，，，.
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的正弦值.

20.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为B1，B2，四边形的周长为.
（1）求E的方程；
（2）设P为E上异于A1，A2，的动点，直线A1P与y轴交于点C，过A1作，交y轴于点D.试探究在x轴上是否存在一定点Q，使得，若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.
21. （本小题满分12分）
从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单.协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元.（注：月利率为年利率的十二分之一）
已知某公司现有2020年底结余资金1050万元.
（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；
（2）公司决定将550万元作协定存款，于2021年1月1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销.将余下500万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余万元作结构性存款.
①求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；
②假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得万元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本.问：x为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值.
22.（本小题满分12分）
已知.
（1）判断的零点个数，并说明理由；
（2）若，求实数a的取值范围.
2021年3月福州市高中毕业班质量检测
数学参考答案及评分细则
评分说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. C 2.B 3.B 4.A
5. D 6.C 7.D 8.C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. AC 10.ABD 11.BCD 12.BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. [ 14. 5 15. 25π 16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.（本小题满分10分）
【命题意图】本小题主要考查等比数列、与的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分10分.
【解答】（1）选①，即（i）则
当时，，；
当时，（ii）
（i）（ii）两式相减得，
所以为等比数列，其中公比为2，首项为.
所以.
选②，即，
所以当时，
即，
所以为等比数列，其中首项为，公比为4，
所以.
由，，得，
同理可得，.
综上，
选③，即，，.
所以为等比数列，设其公比为q，
则解得或
又因为为单调数列，所以，故
所以.
（2）由（1）知，，
所以
，
两式相减得

所以.
18.（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.
【解答】解法一：（1）因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以
又，所以
（2）因为CD是的角平分线，且，
所以.
在中，，则由面积公式得
，
即.
两边同时除以得.

解法二：（1）因为，
由余弦定理得，
整理得，即，
所以，
所以，
又，所以.
（2）因为CD是的角平分线，且，
所以.
在中，由正弦定理得
，
即.
同理在和中，得
，，
所以，即，
故，即，
故.

19.（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.

【解答】（1）依题意，四边形为等腰梯形，过，分别引AC的垂线，垂足分别为D，E，则
，故.
在中，，
所以，故，即.
因为，，且AB，平面，
所以，
因为，
所以平面.
（2）因为，，，且AC，，所以，结合（1）可知AB，AC，A1D三条直线两两垂直. 以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则各点坐标为
，，，，.

由（1）知，为平面的法向量.
，，
设为平面的法向量，则
故取，
所以
设二面角的大小为，则.
20.（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分12分.
【解答】解法一：（1）依题意，
由椭圆的对称性可知，四边形为菱形，其周长为.
所以
所以E的方程为.
（2）设，则，
直线的方程为，故，
由知的方程为，故，
假设存在，使得，则

.
解得.
所以当Q的坐标为时，
解法二（1）同解法一.
（2）当点P与点B1重合时，C点即，而点D即，假设存在，使得，则，即，解得.
以下证明当Q为时，
设，则，
直线A1P的方程为，故.
由知A1D的方程为，故，
所以

.
说明：Q只求出或，不扣分.
21.（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、必然与或然思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性.满分12分.
【解答】（1）设恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的事件为A，由题意知，5个股东共有45种选择，而恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为种，
所以.
（2）①2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为：

（万元）.
②由条件，高新项目投资可得收益频率分布表
投资收益 t

0

P
0.6
0.2
0.2
所以，高新项目投资所得收益的期望为：
è
所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为：

.

令，得，或.
由，得；由，得.
由条件可知，当时，取得最大值为：（万元）.
所以当时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值662.69万元.
22.（本小题满分12分）
【解答】解法一：（1）依题意，，则
当时，；当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为，
所以有且只有1个零点.
（2）令，则
.
①若，则，为增函数，
，不合题意；
②若，令，易知单调递增，且值域为，则存在，使得，即.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
，
令，，
当时，；当时，；
所以，
由得，所以.
综上，a的取值范围是.
解法二：（1）同解法一.
（2）令，当时，，
则，故.
令，则，
①若，则，为增函数，又，故当时，，不合题意.
②若，则当时，；当时，；
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，所以
若，则当时，不合题意；
若，则当时，不合题意；
若，则，符合题意.
综上，a的取值范围是.