福建省福州市2021届高三数学下学期3月质量检测试题.doc

福建省福州市2021届高三数学下学期3月质量检测试题福建省福州市2021届高三数学下学期3月质量检测试题年级：姓名：17福建省福州市2021届高三数学下学期3月质量检测（一模）试题注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D. 2.设复数，则满足的复数z有A. 7个 B. 5个 C. 4个 D. 3个3.“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.若抛物线上一点到其焦点的距离等于 ，则A. B. C. D. 5.已知函数，则函数的图象大致为A B C D6.在中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F.若，则的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 57.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线P0，P1，Pn，.已知P0是边长为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作而得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉.记Pn的周长为Ln、所围成的面积为Sn.对于，下列结论正确的是P0 P1 P2 Pn A. 为等差数列 B. 为等比数列C. ，使 D. ，使8. 已知函数的图象过点，在区间上为单调函数，把的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合.设且，若，则的值为A. - B. - C. 1 D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. “一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如右所示的列联表，通过计算得到K2的观测值为认可不认可40岁以下202040岁以上（含40岁）40109.已知，则下列判断正确的是A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关10.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB平面MNP的是A B C D11.已知P是双曲线在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，的面积为.则以下结论正确的是A.点P的横坐标为B. C. 的内切圆半径为1D. 平分线所在的直线方程为12. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数等.双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论正确的是A. B. 为偶函数，且存在最小值C. ， D. ，且，第II卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设x，y满足约束条件则的取值范围为 .14. 的展开式中，的系数为 .15.在三棱锥中，侧面PAC与底面ABC垂直，.则三棱锥的外接球的表面积为 .16.已知圆C的方程为，过点的直线与圆C交于P，Q两点（点Q在第四象限）.若，则点P的纵坐标为 .四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在；，；，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.问题：已知单调数列的前n项和为，且满足 .（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角C的大小；（2）设CD是的角平分线，求证：.19.（本小题满分12分）如图，在三棱台中，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为B1，B2，四边形的周长为.（1）求E的方程；（2）设P为E上异于A1，A2，的动点，直线A1P与y轴交于点C，过A1作，交y轴于点D.试探究在x轴上是否存在一定点Q，使得，若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由.21. （本小题满分12分）从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单.协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元.（注：月利率为年利率的十二分之一）已知某公司现有2020年底结余资金1050万元.（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；（2）公司决定将550万元作协定存款，于2021年1月1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销.将余下500万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余万元作结构性存款.求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得万元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本.问：x为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值.22.（本小题满分12分）已知.（1）判断的零点个数，并说明理由；（2）若，求实数a的取值范围.2021年3月福州市高中毕业班质量检测数学参考答案及评分细则评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4.只给整数分数。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. C 2.B 3.B 4.A5. D 6.C 7.D 8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9. AC 10.ABD 11.BCD 12.BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 14. 5 15. 25 16. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分10分）【命题意图】本小题主要考查等比数列、与的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分10分.【解答】（1）选，即（i）则当时，； 当时，（ii）（i）（ii）两式相减得，所以为等比数列，其中公比为2，首项为.所以.选，即，所以当时，即，所以为等比数列，其中首项为，公比为4，所以.由，得，同理可得，.综上，选，即，.所以为等比数列，设其公比为q，则解得或又因为为单调数列，所以，故所以.（2）由（1）知，所以，两式相减得所以.18.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.【解答】解法一：（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以，所以又，所以（2）因为CD是的角平分线，且，所以.在中，则由面积公式得，即.两边同时除以得.解法二：（1）因为，由余弦定理得，整理得，即，所以，所以，又，所以.（2）因为CD是的角平分线，且，所以.在中，由正弦定理得，即.同理在和中，得，所以，即，故，即，故.19.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.【解答】（1）依题意，四边形为等腰梯形，过，分别引AC的垂线，垂足分别为D，E，则，故.在中，所以，故，即.因为，且AB，平面，所以，因为，所以平面.（2）因为，且AC，所以，结合（1）可知AB，AC，A1D三条直线两两垂直. 以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则各点坐标为，.由（1）知，为平面的法向量.，设为平面的法向量，则故取，所以设二面角的大小为，则.20.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分12分.【解答】解法一：（1）依题意，由椭圆的对称性可知，四边形为菱形，其周长为.所以所以E的方程为.（2）设，则，直线的方程为，故，由知的方程为，故，假设存在，使得，则.解得. 所以当Q的坐标为时， 解法二（1）同解法一. （2）当点P与点B1重合时，C点即，而点D即，假设存在，使得，则，即，解得.以下证明当Q为时，设，则，直线A1P的方程为，故.由知A1D的方程为，故，所以.说明：Q只求出或，不扣分.21.（本小题满分12分）【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、必然与或然思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性.满分12分.【解答】（1）设恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的事件为A，由题意知，5个股东共有45种选择，而恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为种，所以.（2）2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为：（万元）.由条件，高新项目投资可得收益频率分布表投资收益 t0P0.60.20.2所以，高新项目投资所得收益的期望为： 所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为：.令，得，或.由，得；由，得.由条件可知，当时，取得最大值为：（万元）.所以当时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值662.69万元.22.（本小题满分12分）【解答】解法一：（1）依题意，则当时，；当时，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为，所以有且只有1个零点.（2）令，则.若，则，为增函数，不合题意； 若，令，易知单调递增，且值域为，则存在，使得，即.当时，单调递减；当时，单调递增.，令，当时，；当时，；所以，由得，所以.综上，a的取值范围是.解法二：（1）同解法一.（2）令，当时，则，故.令，则，若，则，为增函数，又，故当时，不合题意. 若，则当时，；当时，；所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，所以若，则当时，不合题意；若，则当时，不合题意；若，则，符合题意. 综上，a的取值范围是.