上海市浦东新区2019-2020学年高一数学下学期期中试题.doc

上海市浦东新区2019-2020学年高一数学下学期期中试题

上海市浦东新区2019-2020学年高一数学下学期期中试题

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- 14 -

上海市浦东新区2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一. 填空题
1.计算：________
【答案】
【解析】
【分析】
根据求解.
【详解】因为，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查弧度制与角度制的互化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2.已知函数，则________
【答案】1
【解析】
【分析】
由原函数的解析式反解出，再将与互换，可得原函数的反函数，进而得解.
【详解】，
令，解得，
所以，
所以.
故答案为：1.
【点睛】本题考查反函数的求法，属于基础题.一般情况下，求反函数就是从原函数，解出，最后互换与的位置，得，同时注意反函数的定义域，即为原函数的值域.
3.与角终边重合的角的集合是________
【答案】
【解析】
【分析】
根据终边相同的角的定义求解.
【详解】由终边相同的角的定义得：
与角终边重合的角是，
所以与角终边重合角的集合是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查终边相同的角的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
4.已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为_______
【答案】1
【解析】
【分析】
利用扇形的面积S，即可求得结论．
【详解】∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，
∴扇形的面积S1cm2，
故答案为1
【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
5.设，则用表示的形式是________
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数函数的运算性质，并结合，即可得解.
【详解】，
，，
故答案为：.
【点睛】本题考查对数函数的运算性质，属于基础题.
6.已知（），则等于________
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式得得解
【详解】
又（）

故答案为：
【点睛】本题考查三角函数辅助角公式.利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式
7.已知角是第一象限角，则是第__________象限角．
【答案】一或三
【解析】
试题分析：的取值范围是，的取值范围是分类讨论，①当其中时，的取值范围是，即属于第三象限角；②当其中时，的取值范围是，即属于第一象限角，故答案为一或三.
考点：象限角的基本含义.
8.在△中，若，，，则________
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理可直接求得结果.
【详解】由正弦定理得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.
9.若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先对分子分母同除以，进而可求出结果.
【详解】因为，
所以，即，
解得.
故答案为
【点睛】本题主要考查弦化切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.
10.函数的单调递增区间为________
【答案】，
【解析】
【分析】
由正切函数的单调性的性质即可得到结论．
【详解】解：由，，
解得，，
故函数的单调增区间为，，
故答案为：，，
【点睛】本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键，属于基础题．
11.已知且则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二倍角公式得到再结合角的范围得到结果.
【详解】已知且根据二倍角公式得到
因为故得到，,故得到
故答案为
【点睛】这个题目考查了二倍角公式的应用，属于简单题.
12.某高一学生骑车行驶，开始看见塔在南偏东30°方向，沿南偏东60°方向骑行2千米后，看见塔在正西方向，则此时这名学生与塔的距离大约为________千米（结果保留两位有效数字）
【答案】
【解析】
【分析】
根据方位角和余弦定理可构造方程求得结果.
【详解】设该高一学生最初的位置为，骑行后千米后停留的位置为，塔的位置为，作，垂足为，如下图所示：

由题意可知：，，，
且，，
即，解得：（千米）
故答案为：.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，涉及到余弦定理和方位角的知识，属于基础题.
二. 选择题
13.“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由求得，由求得，，或，，再结合充分必要条件的判定方法判断．
【详解】解：由，可得，故充分性成立；
由，得，，或，，
“”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题．
14.当时，在同一坐标系中，函数与的大致图像只可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
【详解】解：当时，
函数在其定义域上是增函数，故图象从左向右看是上升的；
在其定义域上单调递减，故图象从左向右看是下降的.
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想方法的应用，属于基础题．
15.函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A. ，1 B. ， C. ，1 D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式进行化简，进而可得函数的最小正周期和最大值.
【详解】，
函数的最小正周期，
，，
函数的最大值为.
故选：B.
【点睛】本题考查了二倍角公式、最小正周期及正弦型函数的最值问题，属于基础题.
16.下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）小于的角一定是锐角
（2）函数是偶函数
（3）若，则且
（4）在中，若，则是钝角三角形
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
（1）特殊值法，即可判定对错；（2）根据函数奇偶性的概念，直接判断，即可得出结果；（3）根据角所处的象限，即可判定出结果；（4）根据两角和的余弦公式求出，即可得出结果.
【详解】（1），但不是锐角，故（1）错；
（2），所以函数是偶函数；故（2）正确；
（3）若，所以是第二象限角，因此且；故（3）正确；
（4）在中，若，
所以，所以，
因此，所以为钝角，即是钝角三角形；故（4）正确；
故选：C.
【点睛】本题主要考查判断命题的真假，属于常考题型.
三. 解答题
17.已知集合，，求.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题意，先求出集合与集合，再利用交集的定义即可.
【详解】由题意，集合，
集合，
所以，.
【点睛】本题考查绝对值不等式，对数不等式的解法，考查交集的定义，属于基础题.
18.已知（），求.
【答案】或或或.
【解析】
【分析】
利用二倍角的余弦公式及同角三角函数的关系式进行化简，并结合题意，可求得的值，再根据的范围，即可得解.
【详解】

，，
，
或，
或，
，或或或.
故答案为：或或或.
【点睛】本题考查二倍角的余弦公式及同角三角函数的关系式，考查利用三角函数值求角，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.
19.已知，，且、都是锐角，求的值，并判断是第几象限角.
【答案】，是第二象限角.
【解析】
【分析】
用平方关系求出、的余弦，再代入两角和的余弦公式计算的值，根据其值可判断是第二象限角.
【详解】解：，，且、都是锐角，
，
，
，
所以是第二象限角.
【点睛】考查两角和的余弦公式的应用和根据三角函数值判断角是第几象限角；基础题.
20.设△的内角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）若，△的面积为，求△的周长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得得，根据的范围可得结果；
（2）利用三角形面积公式求得，根据余弦定理化简可求得，进而求得结果.
【详解】（1）由条件，可得
,所以
（2）
所以
由余弦定理得：
，即
的周长
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及余弦定理和三角形面积公式的应用，是常考题型.属于基础题.
21.如图，设、是半径为1的圆上的动点，且、分别在第一、二象限，是圆与轴正半轴的交点，△为等边三角形，记以轴正半轴为始边、射线为终边的角为.

（1）若点的坐标为，求值；
（2）设，求函数的解析式和值域.
【答案】（1）3；（2），值域为.
【解析】
分析】
（1）根据的坐标，利用三角函数的定义，求出，，再利用诱导公式，即可得到结论；
（2）由题意，，利用余弦定理，可得函数的解析式，从而可求函数的值域．
【详解】解：（1）的坐标为，以轴正半轴为始边，射线为终边的角为
根据三角函数的定义可知，，，

；
（2）正三角形，．

，
，
，
所以，
．
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查余弦定理求边长的平方，考查学生的计算能力，属于中档题．