前黄中学09届高三数学练习.doc

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09届高三数学练习
2009．01
参考公式：
样本数据,,…，的方差，其中:为样本平均数；
数据的线性回归方程为，其中:
第 一 部 分

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“”的否定是 ★ ．
2．= ★ ．
3．函数的最小正周期是 ★ ．
4．长方体中,,则
与平面所成的角的大小为 ★ ．
5．已知实数满足则的最小值是 ★ ．
6．已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则抛
物线的焦点坐标为 。
7. 执行右边的程序框图，若，则输出的 ★ ．
8．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 ★ .
9．若直线过点，则以坐标原点为圆心,长为半径的圆的面积的最小值
是 ★ ．
10．已知集合,在集合任取一个元素，则事件
“”的概率是 ★ ．
11． 已知、是椭圆+=1的左右焦点，弦过F1，若的周长为,则椭圆
的离心率为 ★ ．
12． 等边三角形中,在线段上,且，若,则实数的值
是 ★ ．
13．数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：
…，
若存在整数,使，，则 ★ ．
14． 若函数满足：对于任意的都有恒成立，则
的取值范围是 ★ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，，．
（Ⅰ)求角的值；
（Ⅱ）若,求△ABC面积．

16．（本题满分14分）
在正方体中，分别是中点．
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
(Ⅱ)若在棱上有一点，使平面，求与的比．

17、（本题满分15分)
为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议。现对他前7次
考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
（Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
（Ⅱ）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你
估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学
习数学、物理上的合理建议．

18、（本题满分15分）
已知圆交轴于两点，曲线是以为长轴，直线为准线的椭圆．
（Ⅰ)求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直
线必过定点，并求出点的坐标；
（Ⅲ)如图所示，若直线与椭圆交于两点,且，试求此时弦的长．

19．(本小题满分16分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ)若恒成立,求的取值范围．

20．（本题满分16分）
已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为(其中均为正整数）．
（Ⅰ)若，求数列、的通项公式；
(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，，,…，，…（3＜＜＜…＜＜…）
成等比数列，求数列的通项公式;
(Ⅲ）若，且至少存在三个不同的值使得等式成立，
试求、的值．

第二部分（加试部分）
（总分40分，加试时间30分钟）
注意事项：
答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷密封线内．解答过程应写在答题卷的相应位置上，在其它地方答题无效。

1、选修4－2　矩阵与变换
如图矩形在变换的作用下变成了平行四边形,求变换所对应的矩阵．

2、选修4－4　参数方程与极坐标
已知某圆锥曲线的参数方程为(为参数）．
（Ⅰ）试将圆锥曲线的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以圆锥曲线的焦点为极点,以它的对称轴为极轴建立极坐标系,试求它的极坐
标方程．

3、如图,四棱锥中，底面ABCD是矩形，
⊥平面ABCD,且，，点E
是AB上一点，AE等于何值时，二面角的
平面角为．

4、某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制,按以往比赛经
验，甲胜乙的概率为．
（Ⅰ）求比赛三局甲获胜的概率；
（Ⅱ）求甲获胜的概率；
（Ⅲ）设甲比赛的次数为，求的数学期望．

高 三 数 学 参 考 答 案
2009．01
1． 2． 3． 4．
5．1 6． 7. 8．
9．1 10． 11． 12．
13． 14．
15．解：（Ⅰ）由得，, 3分
， 5分
又，∴ 。 7分
（Ⅱ)由可得，， 9分
由得，, 12分
所以，△ABC面积是 14分
16．证明：(Ⅰ）连AC，则AC⊥，
又分别是中点，∴ ,∴ ⊥, 3分
∵ 是正方体,∴ ⊥平面,
∵ 平面,∴ ⊥， 5分
∵ ，∴ ⊥平面，
∵ 平面，∴ 平面⊥平面; 7分
（Ⅱ）设与的交点是,连,
∵ 平面，平面，平面平面=PQ，
∴ ， 10分
∴ ︰=︰=3︰1。 14分
17．解：（Ⅰ）；
； 4分
，，
从而，所以物理成绩更稳定. 8分
(Ⅱ）由于与之间具有线性相关关系，
， 11分
线性回归方程为。当时,. 13分
建议：
进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高。 15分
18．解：（Ⅰ)设椭圆的标准方程为,则：
，从而：，故,所以椭圆的标准方程为。 4分
（Ⅱ)设，则圆方程为 6分
与圆联立消去得的方程为，
过定点。 9分
（Ⅲ）解法一：设，则,………①
∵,，即：
代入①解得:(舍去正值）， 12分
，所以，
从而圆心到直线的距离,
从而。 15分
解法二：过点分别作直线的垂线,垂足分别为，设的倾斜角为，则：
，从而， 11分
由得：，，故，
由此直线的方程为，以下同解法一。 15分
解法三：将与椭圆方程联立成方程组消去得：，设，则。11分
∵，，所以代入韦达定理得：
，
消去得：，，由图得：， 13分
所以,以下同解法一. 15分
19．解:(Ⅰ），其定义域是

令，得，（舍去）。 3分
当时，,函数单调递增；
当时,，函数单调递减；
即函数的单调区间为，。 6分
（Ⅱ）设，则， 8分
当时，，单调递增，不可能恒成立， 10分
当时，令，得,（舍去）。
当时，，函数单调递增；
当时,，函数单调递减； 13分
故在上的最大值是，依题意恒成立，
即，
又单调递减，且，
故成立的充要条件是,
所以的取值范围是. 16分
20．解：（Ⅰ）由得：，
解得:或，
， ，从而 4分
（Ⅱ）由(Ⅰ）得，构成以为首项，为公比的等比数列,即： 6分
又,故， 9分
（Ⅲ) 由得：，
由得：；由得：,
而,即：,从而得：，
，当时，不合题意，故舍去，
所以满足条件的. 12分
又，，故,
即： 13分
①若，则，不合题意； 14分
②若，则,由于可取到一切整数值，且，故要至少存在三个使得成立，必须整数至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以的最小值为,此时或或12．16分

加试部分
1．解法一：（1）由矩形变换成平行四边形可以看成先将矩形绕着点旋转，得到矩形，然后再将矩形作切变变换得到平行四边形。
故旋转变换矩阵为：　　　　 　　3分
切变变换：，
切变变换矩阵为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　6分
矩阵，　　　　　　　　　　　　　　　 　　10分
解法二:（1)设矩阵，则点，,
故:，，
即：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分
解得:，　　　.　　　　　　　　　　　 10分
2．解:（1）由方程的(2)式平方减去（1）式得：　　5分
（2）曲线的焦点到准线的距离为，离心率为,
所以曲线的极坐标方程为　　　　　　　　　　　　　　　 　 　10分
3．解：以D为原点，射线DA、DC、DP为轴正方向建立空间直角坐标系,
设，则,
设平面的法向量为
，　　　 　 5分
记
而平面ECD的法向量,　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 6分
则二面角D1—EC—D的平面角
。
当AE=时，二面角的平面角为。　　　　　　　 　　10分
4．解：记甲局获胜的概率为,，
(Ⅰ）比赛三局甲获胜的概率是：； 2分
（Ⅱ)比赛四局甲获胜的概率是：；
比赛五局甲获胜的概率是:;
甲获胜的概率是：。 5分
（Ⅲ）记乙局获胜的概率为，.
，；；
故甲比赛次数的分布列为:

3
4
5

所以甲比赛次数的数学期望是：
。 10分