吉林省长春市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题-理.doc

吉林省长春市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理

吉林省长春市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理

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- 18 -

吉林省长春市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知为虚数单位，复数虚部是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
则其虚部为，
本题选择A选项.
2.欲证成立，只需证（ ）
A.
B
C.
D.
【答案】C
【解析】
分析：不等式两边同时平方要求两边都是正数，再结合分析法即可.
详解：要证，因为不等式两边为负数，故变形为证明：，此时不等式两边都为正数，故有分析法可得只需证：
即可，故选C.
点睛：本题是易错题，证明不等式的左右两边大小关系，在选择两边同时平方时要注意不等号两边是否同时为正数.
3.已知随机变量服从正态分布，若，则（　）
A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正态分布曲线关于对称进行求解.
【详解】，正态分布曲线关于对称，，
，.
【点睛】本题考查正态分布，考查对立事件及概率的基本运算，属于基础题.
4.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）

A. 在区间上是增函数
B. 在区间上是减函数
C. 在区间上是增函数
D. 在区间上是增函数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数与函数单调性的关系即可求解.
【详解】由导函数的图象知在区间上，，
所以函数在上单调递增．
故选：C．
【点睛】本题考查了由导数的图像研究函数的单调性，需掌握导数与函数单调性的关系，属于基础题.
5.设，，，则的值分别为 （ ）
A. 18， B. 36, C. 36， D. 18，
【答案】A
【解析】
【分析】
由ξ～B（n，p），Eξ＝12，Dξ＝4，知np＝12，np（1﹣p）＝4，由此能求出n和p．
【详解】∵Eξ＝12，Dξ＝4，
∴np＝12，np（1﹣p）＝4，
∴n＝18，p．
故选A．
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意二项分布的性质和应用．
6.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下
零件数（个）
2
3
4
5
加工时间（分钟）
26

49
54

根据上表可得回归方程，则实数的值为（ ）
A. 37.3 B. 38 C. 39 D. 39.5
【答案】C
【解析】
【分析】
求出，代入回归方程，即可得到实数的值．
【详解】根据题意可得：,，
根据回归方程过中心点可得：，解得：；
故答案选C
【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题．
7.函数在上的最大值、最小值分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得导函数，令即可求得极值点．再代入端点值即可求得最大值与最小值．
【详解】函数
所以，令解方程可得

极大值

由表格可知，函数在上的最大值为，最小值为
所以选D
【点睛】本题考查利用导数求函数在某区间内的最大值与最小值，注意函数端点处对函数最值的影响，属于基础题．
8.利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（ ）
A. 1项 B. 项
C. 项 D. 项
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意，当时，不等式左边为，与时不等式的左边比较即可得到答案.
【详解】用数学归纳法证明等式（，）的过程中，
假设时不等式成立，左边，
则当时，左边，
由递推到时不等式左边增加了：，
共项.
故选：D．
【点睛】本题考查数学归纳法，考查分析、解决问题的能力，属于基础题..
9.甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为 ( )．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．
【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，
若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为，
若前两局都是甲赢，所求概率为，因此，甲获胜的概率为，
故选C．
【点睛】本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题．
10.已知函数为偶函数，且时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题得，所以函数在单调递增，由于函数f(x)是偶函数，所以不等式转化为，所以，故选D.
11.已知，其导函数是，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出和，可得出的表达式，进而可计算得出的值.
【详解】，其中且，
，
，，则，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.
12.已知可导函数满足，则当时，和的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件构造函数，求导可知单调递增，比较的大小，可得和的大小关系.
【详解】解：令，则，因为，所以，所以在上单调递增；因为，所以，即，即.
故选：A.
【点睛】本题考查构造函数法比较大小，考查利用导数求函数的单调性，属于基础题.
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是______米/秒
【答案】4
【解析】
【分析】
首先求出函数的导数，求出时的导数值，利用导数的定义即可求解.
【详解】由题意，物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为，
则，
当时，，即3秒末的瞬时速度为4米/秒.
故答案为：4
【点睛】本题考查了导数的概念、基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.
14.曲线在处切线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出导函数，再求出的导数值，利用导数的几何意义即可求解.
【详解】，，
切线的倾斜角满足，
，．
故答案为：
【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数公式，属于基础题.
15.设，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得，，根据定积分的几何意义可知，可得表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求，最后相加即可得到结果.
【详解】由题意得，，
根据定积分的几何意义可知，表示的是在x轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：

故，又，
所以.
所以本题答案为.
【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.
16.下列各命题中，正确的是______．
（1）若是连续的奇函数，则
（2）若是连续的偶函数，则
（3）若在上连续且恒为正，则
（4）若在上连续且，则在上恒为正．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
若是连续的奇函数，根据奇函数的对称性及定积分的几何意义可判断（1）；若是连续的偶函数，根据偶函数的对称性及定积分的几何意义可判断（2）；若在上连续且恒为正，根据其单调性即可判断出是否正确，进而判断（3）；对于（4），可举出反例即可否定．
【详解】对于（1），是连续的奇函数，
，
故（1）正确；
对于（2），是连续的偶函数，
，
故（2）正确：
对于（3），在上连续且恒正，
，故（3）正确；
对于（4），举反例，
而在区间上小于0，
即函数在区间上不恒为正，故（4）不正确．
故答案为：（1）（2）（3）
【点睛】本题考查了根据函数性质求定积分、定积分的概念，属于基础题.
三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生

5

女生
5

合计

45

已知在全部45人中随机抽取1人，是男同学概率为
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有的把握认为喜爱打篮球与性别有关，请说明理由．
附参考公式：

0.15
0，10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，补充列联表即可；（2）根据表中数据，计算K2，对照临界值得出结论；
【详解】（1）根据题意，男同学有人
补充列联表如下：

喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
5
15
20
合计
25
20
45

（2）根据表中数据，计算
，
故有的把握认为喜爱打篮球与性别有关
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，考查计算能力，是基础题．
18.已知曲线在处的切线与平行．
（1）求的解析式
（2）求由曲线与所围成的平面图形的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）求得的导数，由两直线平行的条件可得斜率相等，求得，进而得到所求解析式；（2）由图象可得，运用定积分公式，计算可得所求值．
【详解】（1）由题意得： ，解得：

（2）在平面直角坐标系中画出曲线图形如下图所示：

则所求面积为：

【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率；考查定积分的运用：求面积，考查直线方程的运用，属于基础题．
19.已知函数，是的一个极值点，求：
（1）实数a的值；
（2）在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值是2，最小值是．
【解析】
【分析】
（1）根据解得；
（2）令，得，．列出当x变化时，的变化情况表，根据表格可得答案.
【详解】（1）因为，在处有极值，
所以，即，所以．
经检验时，在时取得极小值，
所以.
（2）由（1）知，
所以，．
令，得，．
当x变化时，的变化情况如下表：
x

0

2

3

0

0

单调递增
2
单调递减

单调递增
2

由上表可知在区间上的最大值是2，最小值是．
【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数的最值，属于基础题.
20.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求出所选人中恰有一名男生的选法种数，然后利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率；
（2）的可能取值为、、、，然后利用超几何分布概率公式求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，并计算出其数学期望.
【详解】（1）从某小组的名女生和名男生中任选人，共有种，
所选人中恰有一名男生，有种，
故所选人中恰有一名男生的概率为；
（2）随机变量的可能取值有、、、，
，，，
.
所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，随机变量的数学期望为.
【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查离散型随机变量分布列及其数学期望，在列分布列时，要弄清随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式求出事件的概率，进而得出概率分布列以及数学期望，考查计算能力，属于中等题.
21.已知函数在处取得极小值．
（1）求函数的单调增区间；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）增区间为，；（2）或
【解析】
【分析】
(1)首先求得函数的解析式，然后结合导函数的解析式即可确定函数的单调递增区间；
(2)首先求得函数的最大值，然后由恒成立的条件得到关于m的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围.
【详解】（1） ，由得，
由得，则，
令得或
的增区间为，；
（2）由
的最大值为，
要使对恒成立，
只要就可以了，
即，解得或
所以实数的取值范围是或．
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，由不等式恒成立求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22.已知函数
（Ⅰ）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，求得函数在区间上的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围；
（Ⅱ）根据题意知，函数在区间上有极值点，然后解方程，得出，，根据极值点的定义得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】（Ⅰ），，
要使题意成立，必须且只需在区间上成立．
即，，
当时，函数单调递增，则.
，解得；
（Ⅱ）解方程，得，，
依题意，方程在区间有根．
故有或，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.