吉林省长春市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题-文.doc

吉林省长春市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文

吉林省长春市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文

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吉林省长春市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）
一､选择题
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因，，故，应选答案A．
2.已知复数，则下列命题中正确的是
.①； ② ； .③的虚部为； ④在复平面上对应的点位于第一象限.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
由已知，①②④正确，③错误.故选C.
3.已知条件，条件，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合间的关系推出之间的关系.
【详解】，则是的必要不充分条件,
故选B.
【点睛】成立的对象构成的集合为，成立的对象构成的集合为：
是的充分不必要条件则有：；
是的必要不充分条件则有：.
4.下列函数中，与函数是同一个函数的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定义域、解析式是否与所给函数是否相同判断即可.
【详解】的定义域为，
与定义域不是，A、C不合题意;
,解析式与不相同，D不合题意，选项B中函数定义域、解析式都与所给函数相同，
故选B.
【点睛】本题主要考查函数的基本定义，考查了函数的定义域，属于基础题.
5.下列说法正确的是( )
A. “f(0)”是“函数 f（x）是奇函数”的充要条件
B. 若 p：，，则：，
C. “若，则”的否命题是“若，则”
D. 若为假命题，则p，q均为假命题
【答案】C
【解析】
【分析】
根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可．
【详解】对于A，f （0）＝0时，函数 f （x）不一定是奇函数，如f（x）＝x2，x∈R；
函数 f （x） 是奇函数时，f（0）不一定等于零，如f（x），x≠0；
是即不充分也不必要条件，A错误；
对于B，命题p：，
则￢p：∀x∈，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；
对于C，若α，则sinα的否命题是
“若α，则sinα”，∴Ｃ正确．
对于D，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴Ｄ错误；
故选C．
【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．
6.下面几种推理中是演绎推理的是（ ）
A. 猜想数列的通项公式为
B. 由“平面内垂直于同一直线两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
C. 因为是指数函数，所以函数经过定点
D. 由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为
【答案】C
【解析】
【详解】由题意知，为归纳推理，为类比推理，因为指数函数都经过定点而是指数函数，所以函数 经过定点故满足三段论的结构特征，为演绎推理，综上所述，故选C
7.过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（ ）
A. B. ，
C. ， D. 和，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据过极点的直线的极坐标方程，可直接得出结果.
【详解】过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为：和.
故选：D.
【点睛】本题主要考查求直线的极坐标方程，熟记公式即可，属于基础题型.
8.在平面直角坐标系中，点的直角坐标为.若以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由极坐标与直角坐标转化式，将点坐标直接进行转化即可．
详解】根据直角坐标与极坐标转化方程，
，代入得
所以选A
【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的转化，熟练记忆转化公式是关键，是基础题．
9.下列点在曲线上的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
将参数方程化为普通方程是，代入各点可得在曲线上.
考点：参数方程.
10.下列说法正确的个数有（ ）
①用刻画回归效果，当越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好；
②命题“，”的否定是“，”；
③若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则回归直线方程是；
④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
分析：结合相关系数的性质，命题的否定的定义，回归方程的性质，推理证明即可分析结论.
详解：①为相关系数，相关系数的结论是：越大表明模拟效果越好，反之越差，故①错误；②命题“，”的否定是“，”；正确；
③若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则回归直线方程是；
根据回归方程必过样本中心点的结论可得③正确；④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”．根据综合法和分析法定义可得④的描述正确；故正确的为：②③④
故选C.
点睛：考查命题真假的判断，对命题的逐一分析和对应的定义，性质的理解是解题关键，属于基础题.
11.将的横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，令，代入椭圆，化简即可求解，得到答案.
【详解】由题意，将椭圆的横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，
所以令，代入，得，
所以曲线的方程变为，故选D.
【点睛】本题主要考查了曲线方程的图象变换，其中解答中熟记曲线图象变换的公式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
12.已知在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，直线(为参数).若曲线的参数方程为(为参数)，曲线上点的极角为，为曲线上的动点，求的中点到直线距离的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，先求出点的直角坐标，设出点的坐标，得出坐标，再由点到直线距离公式求解，即可得出结果.
【详解】将代入得，即点的极坐标为，
所以其直角坐标，即，
又曲线的参数方程为，为曲线上的动点，所以可设，
因此的中点的坐标为，
由消去参数可得：，
因此点到直线距离为：
，
因为，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查参数的方法求点到直线距离的最值，涉及极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化等，属于常考题型.
二､填空题
13.已知复数满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由复数的除法运算，化简复数，再由复数模的计算公式，即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数的除法运算法则，以及复数模的计算公式即可，属于基础题型.
14.函数的定义域为 .
【答案】或
【解析】
试题分析：由函数的符号可以确定必须满足约束：，解得或.
考点：函数定义域
15.已知函数，，则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】
利用直接代入法结合对应系数相等可得的值，将代入可得结果.
【详解】由题意，得，
即，解得，，因此，
故答案为3.
【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的求法，利用系数相等是解题的关键，属于基础题.
16.在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则____.
【答案】
【解析】
设正四面体的棱长为，高为，四个面的面积为，内切球半径为，外接球半径为，则由，得；
由相似三角形的性质，可求得，所以
考点：类比推理，几何体的体积.
三､解答题
17.复数，当为何值时，
（1）为实数；
（2）为纯虚数.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据为实数，只需虚部为零，列出方程求解，即可得出结果；
（2）根据为纯虚数，得到实部为零，虚部不为零，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】（1）若复数为实数，
则，解得：或；
（2）若复数为纯虚数，
则，解得.
【点睛】本题主要考查由复数的类型求参数的问题，熟记复数的分类即可，属于基础题型.
18.设，非空集合，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出集合，再根据是的充分不必要条件，可得所以Ü，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：由，解得．．
非空集合．
因为是的充分不必要条件，所以Ü，所以解得
即
【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄，（单位：千元）的数据资料，算出，附：线性回归方程，其中为样本平均值.
（1）求家庭的月储蓄 对月收入的线性回归方程 ；
（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
【答案】（1）；（2）1.7
【解析】
【分析】
（1）根据数据，利用最小二乘法，即可求得y对月收入x的线性回归方程回归方程x；
（2）将x＝7代入即可预测该家庭的月储蓄．
【详解】（1）由题意知， ，

∴
由.

故所求回归方程为
（2）将代入回归方程
可以预测该家庭的月储蓄为（千元）.
【点睛】本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查转化思想，属于中档题．
20. 为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：女生：
睡眠时间（小时）

[4,5）

[5,6）

[6,7）

[7,8）

[8,9]

人数

2

4

8

4

2

男生：
睡眠时间（小时）

[4,5）

[5,6）

[6,7）

[7,8）

[8,9]

人数

1

5

6

5

3

（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；
（2）完成下面2x2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

睡眠时间少于7小时

睡眠时间不少于7小时

合计

男生

女生

合计

P（）

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001

k

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．8879

10．828

（，其中n=a+b+c+d）
【答案】（1）；（2）2×2列联表见解析，没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．
【解析】
【分析】
（1）从6名女生中任选3人共有20种不同的结果，其中一名严重睡眠不足，两人睡眠时间在[5，6）共有12种结果，然后由古典概型的概率计算即可求解；（2）列出2×2列联表，然后按照公式得到，从而知没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．
【详解】（1）选取的20名女生中，“睡眠严重不足”的有2人，设为A，B，睡眠时间在[5,6）的有4人，设为a，b，c，d，从中选取3人的情况有ABa， ABb， ABc， ABd， Aab，Aac,Aad, Abc, Abd, Acd,Bab, Bac, Bad, Bbc, Bbd, Bcd, abc, abd, acd, bcd,,共20种，其中恰有1人“睡眠严重不足”的有12种，因此有3人中且有一个为“严重睡眠不足”的概率为
（2）

睡眠时间少于7小时

睡眠时间不少于7小时

合计

男生

12

8

20

女生

14

6

20

合计

26

14

40

,所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．
21.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）曲线的极坐标方程为，求与的公共点的极坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数关系消参数得（2）利用先将的直角坐标方程化为极坐标方程，再将代入求得，所以与的公共点的极坐标为
考点：参数方程化为普通方程，直角坐标方程与极坐标方程互化
22.在极坐标系中，点P的坐标是，曲线C的方程为.以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线l经过点P.
（1）写出直线l参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求的值.
【答案】（1）l：（t为参数）；C：；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）先求出曲线C的极坐标方程，再化成直角坐标方程，根据已知写出直线的参数方程得解；
（2）将（t为参数）代入得，再利用直线参数方程的几何意义和韦达定理求解.
【详解】（1）解：由曲线C的极坐标方程可得，
因此曲线C的直角坐标方程为.
点P的直角坐标为，直线l的倾斜角为，
所以直线l参数方程为（t为参数）
（2）将（t为参数）代入得，
设A，B对应参数分别为，，
则，，
根据直线参数方程t的几何意义有，
.
【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.