安徽省六安市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题-文.doc

安徽省六安市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文

安徽省六安市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文

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- 19 -

安徽省六安市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合后可得.
【详解】，故，
故选：C.
【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图象.
2. 已知复数满足，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出复数，结合共轭复数的概念，可求出，进而可求出，然后求出复数的模即可.
【详解】由题意，，所以，
则，所以.
故选：B.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3. 下列函数为奇函数且在定义域上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，进而可得出答案．
【详解】对于A，令，其定义域为，且，即是奇函数，当时，，根据二次函数的性质，可知在上单调递增，
因为是上的奇函数，所以在上单调递增，符合题意；
对于B，是反比例函数，在定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C，是指数函数，是非奇非偶函数，不符合题意；
对于D，函数在和上单调递减，在和上单调递增，即在定义域上不是单调函数，不符合题意.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题.
4. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
解出不等式的解集，即可选出其充分不必要条件.
【详解】解不等式，得或，
结合四个选项，D是其充要条件，AB是其既不充分也不必要条件，C选项是其充分不必要条件.
故选：C.
【点睛】此题考查判断充分不必要条件，关键在于准确求解不等式，根据集合的包含关系判定充分不必要条件.
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
，化简，利用指数函数的单调性，可得出，即可得出结论.
【详解】由题意，，，，
因为在上增函数，所以，
所以.
故选：A
【点睛】本题考查比较数的大小，考查函数单调性的应用，属于基础题.
6. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域.
【详解】由，得，
所以，所以．
故选：D.
【点睛】本题考查对函数定义域的理解，即定义域指的是自变量的取值范围的集合，而对应关系作用的是括号内的式子为一个整体，考查概念的理解.
7. 已知函数 (且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A. B.
C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数的图象与性质，求出定点的坐标，再利用待定系数法求出幂函数，从而求出的值．
详解】解：函数中，令，解得，
此时，所以定点；
设幂函数，
则，解得；
所以，
所以，
．
故选D．
【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题．
8. 函数的图像大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数定义域为先分析函数的奇偶性，然后判断时函数值的正负特点，由此判断出函数图像.
【详解】因为的定义域为，且，所以为奇函数，
当时，，当时，，只有B符合．
故选B.
【点睛】判断函数图像时主要从以下几个方面入手：（1）函数的奇偶性；（2）函数的单调性；（3）函数的特殊值；（4）利用导数分析函数.
9. 定义在上的函数满足：，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先考虑当时不等式的解集，再根据图象的对称性可得时不等式的解集，从而得到正确的选项.
【详解】当时，的解为或，解得，
因为，故的图象关于直线对称，
故当时，解为，
所以的解集为：.
故选：C.
【点睛】本题考查函数图象的对称性、分段函数构成的不等式的解，后者一般有两类处理方法：（1）根据范围分类讨论；（2）画出分段函数的图象，数形结合解决与分段函数有关的不等式或方程等，本题属于中档题.
10. 定义在上的奇函数满足，且在上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题目条件可得函数的周期为4，然后利用周期性和奇偶性将的自变量转化至区间上进行求值.
【详解】由得，的周期为，
则，
又为奇函数，所以，
因为，
所以.
故选：D
【点睛】本题考查利用函数周期性、奇偶性的结合求函数的值，难度一般. 解答时，要准确判断函数的周期，结合奇偶性将目标转化求解.
11. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是；设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即．若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
按照“调日法”计算,每次计算出结果后要比较大小,得更加小的范围.
【详解】第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，
第二次用“调日法”后得到是的更为精确的不足近似值，即，
第三次用“调日法”后得到是的更为精确的过剩近似值，即.
故选:B．
【点睛】本题考查合情推理和类比推理.解题时按照给定的程序计算即可.
12. 设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，画出函数的图像，由图像可得且，故，所以.
【详解】不妨设，的图像如图所示，

令，则，故或且，
所以（舎）或即且，
故，故选B.
【点睛】本题考察方程的解（有三个不同的解）.这类问题可以根据函数的图像与动直线的关系得到不同交点的横坐标的关系式或范围，进而简化目标代数式并求其范围.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 命题“”的否定是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.
【详解】命题为特称命题，则命题的否定为“，”.
故答案为：，.
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题目．
14. 已知函数是的导函数，若，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
首先对函数求导，判断导数为奇函数，结合题意，求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以是奇函数，，所以，
故答案为：1.
【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有求导公式，函数奇偶性的判定和应用，属于基础题目.
15. 已知是偶函数，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义,由 恒成立可得.
【详解】由得，∴ ，．
【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题.
16. 已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，则_______．
【答案】8
【解析】
【分析】
令，由题意可知为奇函数.由，可得的图象关于点中心对称. 又，故的图象关于点中心对称.可得与图象的交点两两关于点对称，即得答案.
【详解】令，由题意可知为奇函数.
，即，
的图象关于点中心对称.
又的图象关于点中心对称.
与图象的交点两两关于点对称，
.
故答案为：8.
【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知，命题：函数在上单调递减，命题：函数的定义域为，若为假命题，为真命题，求的取值范围．
【答案】.
【解析】
分析】
分别根据命题为真求出的范围，再根据复合命题的真假可知命题一真一假，分两种情况讨论可得结果.
【详解】命题：令在上单减，．
又
命题：由的定义域为，得恒成立，

为假命题，为真命题，一真一假．
（1）若真假，则，无解．
（2）若假真，则，，
综上所述，
【点睛】本题考查了根据复合命题的真假求参数的取值范围，考查了对数型复合函数的单调性，属于基础题.
18. 已知函数在处的切线为．
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间和最小值．
【答案】（1）；（2）的单调减区间为的单调增区间为，.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，计算，可求出a，b的值；
（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；进而可求得函数的最小值.
【详解】（1）
又∵函数在处的切线为，
，解得：
（2）由（1）可得：，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
的单调减区间为的单调增区间为，
.
【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程确定参数的值，应用导数研究函数的单调性和最值，属于简单题目.
19. 在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶100户贫困户．工作组对这100户村民的贫困状况和家庭成员受教育情况进行了调查：甲村55户贫困村民中，家庭成员接受过中等及以上教育的只有10户，乙村45户贫困村民中，家庭成员接受过中等及以上教育的有20户．
（1）完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为贫困与接受教育情况有关；

家庭成员接受过中等以下教育的户数
家庭成员接受过中等及以上教育的户数
合计
甲村贫困户数

乙村贫困户数

合计

（2）在被帮扶的100户贫困户中，按分层抽样的方法从家庭成员接受过中等及以上教育的贫困户中抽取6户，再从这6户中采用简单随机抽样的方法随机抽取2户，求这2户中甲、乙两村恰好各1户的概率．
参考公式与数据：，其中．

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）表格见解析，能；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到列联表，根据公式计算出，结合临界值表可得答案；
（2）根据分层抽样可知，在抽取的6户中，乙村4户，甲村2户，分别设为和，根据列举法和古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】（1）根据题中的数据，填写列联表如下：

家庭成员接受过中等以下教育的户数
家庭成员接受过中等及以上教育的户数
合计
甲村贫困户数
45
10
55
乙村贫困户数
25
20
45
合计
70
30
100

因为，
所以能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为贫困与接受教育情况有关
（2）根据题意，在抽取的6户中，乙村4户，甲村2户，分别设为和，从这6户中随机抽取2户得到的基本事件为
，，，共15种，
其中这2户中恰好为1户甲村、1户乙村的样本数是8，
因此这2户中恰好为1户甲村、1户乙村的概率是.
【点睛】本题考查了独立性检验，考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.
20. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的“有上界函数”，其中称为函数的上界．已知函数．
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为“有上界函数”，请说明理由；
（2）若函数在上是以4为上界的“有上界函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）值域为，不是“有上界函数”；理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）把代入函数的表达式，令，可得，可求出的值域，即为在的值域，结合“有上界函数”的定义进行判断即可；
（2）由题意知，对恒成立，令，可得，整理得对恒成立，只需即可.
【详解】（1）当时，，
令，，，，
在上单调递增，，
即在的值域为，
故不存在常数，使成立．
∴函数在上不是“有上界函数”
（2）由题意知，对恒成立，
令，，，
对恒成立，即对恒成立，
设，易知在上递减，
在上的最小值为．
∴，
∴实数的取值范围为
【点睛】本题考查新定义，考查函数的值域与最值，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
21. 一只昆虫的产卵数与温度有关，现收集了6组观测数据与下表中.由散点图可以发现样本点分布在某一指数函数曲线的周围.
温度
21
23
25
27
29
31
产卵数/个
7
11
21
24
66
114
令，经计算有：

26
40.5
19.50
6928
526.60
70
（1）试建立关于的回归直线方程并写出关于的回归方程.
（2）若通过人工培育且培育成本与温度和产卵数的关系为（单位：万元），则当温度为多少时，培育成本最小？
注：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘公式分别为，.
【答案】（1），（2）时，培育成本最小
【解析】
【分析】
(1)先将回归方程,转化为线性回归方程,然后求出参数值即可得到回归方程;
(2)先求出g(x),然后利用二次函数的性质求出g(x)的最小值即可.
【详解】解:(1)由得.令,得.
由表格,得.
∴,又,∴.
∴,∴.
(2)
.即时,取最小值.
答:温度为时,培育成本最小.
【点睛】本题考查了非线性回归方程的求法和二次函数的性质,考查了转化思想,属中档题.
22. 已知函数f（x）=+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．
（1）设函数f（x）存在大于1的零点，求实数m的取值范围；
（2）设函数f（x）有两个互异的零点α，β，求m的取值范围，并求α·β的值．
【答案】(1)[–12，0);（2）.
【解析】
【分析】
（1）令log2x=t，x∈[，4]，原题等价于方程t2+4t+m=0在t∈（0，2]上存在实数根，变量分离得到参数的范围；（2）函数f（x）有两个互异的零点α，β，则函数g（t）=t2+4t+m在[–3，2]上有两个互异的零点t1，t2，结合二次函数的性质得到；再由韦达定理得到结果.
【详解】（1）令log2x=t，x∈[，4]，则g（t）=t2+4t+m（t∈[–3，2]）．
由于函数f（x）存在大于1的零点，所以方程t2+4t+m=0在t∈（0，2]上存在实数根，
由t2+4t+m=0，得m=–t2–4t，t∈（0，2]，
所以m∈[–12，0）．
故m的取值范围为[–12，0）．
（2）函数f（x）有两个互异的零点α，β，则函数g（t）=t2+4t+m在[–3，2]上有两个互异的零点t1，t2，其中t1=log2α，t2=log2β，
所以，解得3≤m<4，所以m的取值范围为[3，4）．
根据根与系数的关系，可知t1+t2=–4，即log2α+log2β=–4，
所以log2（α·β）=–4，α·β=2–4=．
【点睛】这个题目考查了方程有解求参的问题，常见的方法有：变量分离，转化为求值域的问题，也考查了二次函数根的分布问题，结合二次函数的性质得到结果.