重庆市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题.doc

重庆市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

重庆市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

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- 22 -

重庆市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】

将的分母实数化，化为 的形式，即为所求．
【详解】

复数的虚部是 1
故选：B
【点睛】
本题考查复数的除法运算以及概念，关键是将其分母实数化，化为 的形式，进行判断，属于基础题．
2. 已知随机变量ξ的分布列为，则实数m＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由随机变量ξ的分布列的性质得：，由此能求出实数m．
【详解】∵随机变量ξ的分布列为

解得实数
故选：C
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3. 已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≥0）＝0.84，则P（X＞4）＝（ ）
A. 0.16 B. 0.32 C. 0.66 D. 0.68
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正态分布密度曲线的特点，结合μ＝2，可知P（X≥0）＝0.84＝P（X≤4），则P（X＞4）即可求出．
【详解】由已知得μ＝2，故P（X≥0）＝P（X≤4）＝0.84，
所以P（X＞4）＝1﹣P（X≤4）＝1﹣0.84＝0.16．
故选：A．
【点睛】本题考查正态分布密度曲线的对称性性质及其应用，以及相关概率问题的计算，属于基础题．
4. 若，则n的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排列数和组合数公式求解即可.
【详解】因，所以 ，即
故选：C
【点睛】本题主要考查了排列数和组合数公式的计算，属于基础题.
5. 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．
【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P(A)+P(B)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．
6. 为了调查某校高二学生的身高是否与性别有关，随机调查该校64名高二学生，得到2×2列联表如表：

男生
女生
总计
身高低于170cm
8
24
32
身高不低于170cm
26
6
32
总计
34
30
64

附：K2
P（K2≥k0）
　0.050
　0.010
　0.001
　k0
3.841
6.635
　10.828

由此得出的正确结论是（ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“身高与性别无关”
B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“身高与性别有关”
C. 有99.9%的把握认为“身高与性别无关”
D. 有99.9%的把握认为“身高与性别有关”
【答案】D
【解析】
【分析】
根据列联表，计算，与临界值表比较即可得出结论.
【详解】K 的观测值：K220.330；
由于20.330＞10.828，
∴有99.9%的把握认为“身高与性别有关”，
即在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“身高与性别有关”
故选：D．
【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用问题，K2的计算，列联表，考查了运算能力，属于中档题．
7. 二项式的展开式中的常数项是（ ）
A. ﹣2016 B. 672 C. ﹣144 D. 144
【答案】B
【解析】
【分析】
在二项展开式通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【详解】二项式的展开式的通项公式为,
令，求得r＝6，
故展开式中的常数项为T7•23＝672，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
8. 已知，则（ ）
A. 63 B. 64 C. 31 D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二项式定理展开式的逆运算即可求得的值,进而由二项式系数和求得的值.
【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知

所以
所以
则
故选:A
【点睛】本题考查了二项式定理展开式的逆运用,二项式系数和的应用,属于基础题.
9. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）

A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.

10. 从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是（ ）
A. 72 B. 70 C. 66 D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】
取出的三个数中至少有两个相邻，包括2个数相邻或3个数都相邻，据此分2种情况讨论，用列举法求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，使得取出的三个数中至少有两个相邻，即有2个数相邻或3个数都相邻，
分2种情况讨论：
①，若3个数都相邻，有（1、2、3），（2、3、4），（3、4、5），（4、5、6），（5、6、7），（6、7、8），（7、8、9），（8、9、10），共8种情况，
②，若3个数中有2个相邻，与另外1个不相邻，
当相邻的2个数为1、2时，另外的1个数可以为：4、5、6、7、8、9、10，有7种情况，
当相邻的2个数为2、3时，另外的1个数可以为：5、6、7、8、9、10，有6种情况，
当相邻的2个数为3、4时，另外的1个数可以为：1、6、7、8、9、10，有6种情况，
当相邻的2个数为4、5时，另外的1个数可以为：1、2、7、8、9、10，有6种情况，
当相邻的2个数为5、6时，另外的1个数可以为：1、2、3、8、9、10，有6种情况，
当相邻的2个数为6、7时，另外的1个数可以为：1、2、3、4、9、10，有6种情况，
当相邻的2个数为7、8时，另外的1个数可以为：1、2、3、4、5、10，有6种情况，
当相邻的2个数为8、9时，另外的1个数可以为：1、2、3、4、5、6，有6种情况，
当相邻的2个数为9、10时，另外的1个数可以为：1、2、3、4、5、6、7，有7种情况，
此时有7×2+6×7＝56种，
则其中至少有两个相邻的选法有8+56＝64种；
故选：D．
【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，注意分情况讨论，要不重不漏，属于中档题.
11. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二项分布的均值与方差公式,可得的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得的最小值.
【详解】离散型随机变量服从二项分布,且,
由二项分布的均值与方差公式可得,
化简可得,即
由基本不等式化简可得

即的最小值为
故选:B
【点睛】本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.
12. ，表示不大于的最大整数，如，，且，，，，定义：.若，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查与面积有关的几何概型问题，属中档题.
【详解】由，得函数f(x)的周期为T=2.函数f(x)的图像为如图所示的折线部分，集合对应的区域是如图所示的五个圆，半径都是.

由题得
事件对应的区域为图中的阴影部分，
所以由几何概型的公式得故选D.
点睛：本题的难点在于作集合D对应的平面区域，因为其中有个[t].对于这种定义题，不好理解的，大家可以通过列举给t取值，找到它对应的区域，促进自己理解题意.这一点突破了，后面就迎刃而解了.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知变量满足线性约束条件，则 的最小值是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.
【详解】作出不等式组对应的平面区域其可行域为一个三角形，
其三个顶点的坐标分别为，
，，
取最小值．
故答案为：3．

【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.
14. 设随机变量X～B（5，），则P（X＝3）＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】

由随机变量X～B（5， ），利用二项分布的概率计算公式即可求出P（X＝3 ）．
【详解】
∵随机变量X～B（5， ），
∴P（X＝3） ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查概率的求法，考查二项分布等基础知识，还考查运算求解能力，是基础题．
15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
甲队以获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以获胜的概率．
【详解】甲队的主客场安排依次为“主客主”．
设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，
甲队以获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，
则甲队以获胜的概率是：.
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16. 从个男生和个女生中任选个人当班长，假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同，如果的概率和的概率相同，则可能为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由的概率和的概率相同，得到，由此能求出可能取值．
【详解】从个男生和个女生中任选个人当班长，
假设事件表示选出的个人性别相同，事件表示选出的个人性别不同，
由于的概率和的概率相同，则，整理，得，
，，
由于，则，则.
故答案为：．
【点睛】本题考查实数值求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三、解答题（共70分）
17. 当，则称点为平面上单调格点：设
（1）求从区域中任取一点，而该点落在区域上的概率；
（2）求从区域中的所有格点中任取一点，而该点是区域上的格点的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）作出集合所对应的区域，记事件“从区域中任取一点，而该点落在区域上”，根据几何概型，利用面积比，即可求解概率；
（2）事件“从区域中的所有格点中任取一点，而该点是区域上的格点”，得出基本事件的总数，和事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解事件的概率．
试题解析：
作出集合所对应的区域（如图）：
矩形

则：（1）记事件“从区域中任取一点，而该点落在区域上”
则事件符合几何概型，即.
（2）事件“从区域中的所有格点中任取一点，而该点是区域上的格点”
则事件符合古典概型，区域中的格点个数:当横坐标分别为0,1,2时,纵坐标可以为0,1,2,3中的任一个,此时有个；而区域上的格点有（0，3），（1，2），（2，3），（1，3）共4个，
∴
点睛：本题主要考查了事件概率的计算问题，其中解答中涉及到几何概型及其概率的计算，古典概型及其概率的计算公式的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中正确作出集合的区域，判断好概率的概型，恰当地选择概率的计算方法是解答的关键．
18. 假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y万元有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0

（1）画出散点图并判断是否线性相关；
（2）如果线性相关，求线性回归方程；
（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
附注：①参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为；
②参考数据：
【答案】（1）散点图见解析，是线性相关（2）（3）12.38万
【解析】
【分析】
（1）在坐标系里描点即可得散点图，再根据点分布是否接近在一条直线上，作出判断是否线性相关；
（2）先求均值，再根据公式求，即得结果；
（3）令回归方程中即可得估算出维修费用.
【详解】（1）
因为点分布接近在一条直线上，所以线性相关；
（2）

（3）时，，维修费用是万元
【点睛】本题考查散点图、求线性回归方程以及利用线性回归方程估计，考查基本分析求解能力，属基础题.
19. 某次数学测验共有12道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分. 在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9道题能选对；其余3道题无法确定正确选项，在这3道题中，恰有2道能排除两个错误选项，另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响.在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为
（1）求的概率；
（2）求的分布列和数学期望.
【答案】（1）.（2）分布列答案见解析，数学期望.
【解析】
【分析】
（1）选对一道能排除2个选项概率，选对一道能排除1个选项的概率，考生得55分时可以对2道，对0道或者对1道，对1道，再由相互独立事件的概率公式计算即可；
（2）该考生所得分数，分别求出其概率，即可列出分布列，并求出期望.
【详解】（1）能排除2个选项的试题记为类试题；设选对一道类试题为，则，
能排除1个选项的试题记为类试题；设选对一道类试题为，则，
该考生选择题得55分可以为：
①对2道，对0道，则概率为；
②对1道，对1道，则概率为；
则；
（2）该考生所得分数
；
；
；
∴X的分布列为：

45
50
55
60
P

.
【点睛】本题主要考查概率的求法、离散型随机变量分布列和数学期望的求法，考查学生分析和计算能力，属于中档题.
20. 如图，四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC上一点，当F为DC的中点时，EF平行于平面PAD.

（Ⅰ）求证：平面PCB；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）平面可得，从而证出平面，则，
从而可证出平面；
（Ⅱ）以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，求出平面和平面的的一个法向量，再根据法向量求出二面角．
【详解】（Ⅰ）证：平面，，
又正方形中，，，平面，
又平面，，
，当为的中点时，平行平面，所以是的中点，
，，平面；
（Ⅱ）解：以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，
设平面的法向量为，则，，
，令，得到，，；
又，，，且平面，
平面的一个法向量为；
设二面角的平面角为，由图可知角为锐角，
则，
二面角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定和性质，考查二面角的求法，属于中档题．
21. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为，斜率不为0的直线l与椭圆恒交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点M．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线过定点．
【解析】
【分析】
（1）由题可知，，再结合，即可求出的值，从而得出椭圆的标准方程；
（2）因为直线l斜率不为，所以设直线l：x＝ty+m，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得，，，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，可得0，从而求出，即可得出定点坐标．
【详解】（1）由题，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题设直线：，，
联立直线方程和椭圆方程，得，
∴，，．
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，
所以，
整理得或，
又当时，直线过椭圆右定点，此时直线与直线不可能垂直，
∴，
∴直线过定点．
【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，以及直线和椭圆的位置关系，是中档题．
22. 已知函数f（x）＝ex﹣1+alnx．（e为自然对数的底数），λ＝min{a+2，5}．（min{a，b}表示a，b中较小的数．）
（1）当a＝0时，设g（x）＝f（x）﹣x，求函数g（x）在[，]上的最值；
（2）当x1时，证明：f（x）+x2λ（x﹣1）+2．
【答案】（1）最大值为，最小值0；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）当a＝0时，化简，通过g'（x）＝ex﹣1﹣1，令g'（x）＝0，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的极值以及函数的最值即可．
（2）①当a+25即a3时，λ＝a+2．f（x）+x2λ（x﹣1）+2⇔ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a0，设k（x）＝ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a，求出导函数，构造函数，通过函数的导数，判断函数的单调性，结合a3，a＞3时，通过函数的最值，转化证明即可．
【详解】解:（1）当a＝0时，，
则g'（x）＝ex﹣1﹣1，令g'（x）＝0，得x＝1，
当x1时，g'（x）0；当x1时，g'（x）0，
所以函数g（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而g（x）在上的最小值为g（1）＝0，
因为，，
所以，
从而g（x）在上的最大值为．
（2）①当a+25,即a3时，λ＝a+2．f（x）+x2λ（x﹣1）+2⇔ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a0，
设k（x）＝ex﹣1+alnx+x2﹣（a+2）x+a，
则，
令，
则，
因为x1，
所以x2ex﹣1+2x2＝x2（ex﹣1+2）3，
因为a3，
所以φ'（x）0，当且仅当x＝1且a＝3时，等号成立．
从而k'（x）在[1，+∞）上单调递增．
注意到k'（1）＝1，所以k'（x）0，从而k（x）在[1，+∞）上单调递增，
注意到k（1）＝0，所以k（x）0，原不等式成立．
②当a+25即a＞3时，λ＝5,f（x）+x2λ（x﹣1）+2⇔ex﹣1+alnx+x2﹣5x+30，
由（1）知ex﹣1x，及x1，a3，
所以ex﹣1+alnx+x2﹣5x+33lnx+x2﹣4x+3．
设h（x）＝3lnx+x2﹣4x+3，x1，
则，
所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，
注意到h（1）＝0，
所以h（x）0，原不等式成立．
综上，当x1时，不等式f（x）+x2λ（x﹣1）+2成立．
【点睛】本题考查函数的导数的应用，构造法求解函数的导数，利用分类讨论思想转化求解，考查分析问题解决问题的能力，是难题．