吉林省洮南市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题-理.doc

吉林省洮南市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理

吉林省洮南市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理

年级：
姓名：

17

吉林省洮南市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理
（满分：150分，时间：120分钟）
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和答题纸的相应位置上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1．已知是虚数单位，复数，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．右面的程序,执行完毕后a的值为（ ）
A．99 B．100 C．101 D．102
3．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是 （ ）
A． B． C． D．
4．问题:①某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽出一个容量为100户的样本；②从10名学生中抽出3人参加座谈会；③一高铁列车共有节车厢，铁路部门为了给旅客提供优质服务，在列车上做了一项民意调查在该高铁内选取每一节车厢号座位的乘客填写调查信息．方法:Ⅰ简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法．则问题与方法配对正确的是（ ）
A．①Ⅲ ②Ⅰ③Ⅱ B．①Ⅰ ②Ⅱ③Ⅲ C．①Ⅱ ②Ⅲ③Ⅰ D．①Ⅲ ②Ⅱ③Ⅰ
5．连续掷两次骰子，以先后得到的点数，为点的坐标，那么点在圆内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为16，20，则输出的( )
A．14 B．0 C．2 D． 4
8．某工厂利用随机数法对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本标号是（ ）

A．623 B．368 C．253 D．072
9．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数，满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为( )
A． B． C． D．
x
2
4
5
6
8
y
30
40
57
a
69
10．某商铺统计了今年5个月的用电量y(单位：10kw/h)与月份x的对应数据，列表如下：根据表中数据求出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A．50 B．64 C．56.5 D．54
11．用反证法证明命题：“若，且，则a，b全为0”时，要做的假设是( )
A．且 B．a，b不全为0 C．a，b中至少有一个为0 D．a，b中只有一个为0
12．设函数在区间上总存在零点，则的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．复数z＝5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为________．
14．把110011化为十进制数等于________．
15. 某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为________．
16．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.
由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为________．

三、 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）请用分析法证明：.

18．(本小题满分12分) 在区间内任取一个数记为，在区间内任取一个数记为，设事件表示“二次函数有零点”.
（1）若，都为整数值随机数，求事件发生的概率；
（2）若，都为均匀随机数，求事件发生的概率.

19．(本小题满分12分) 在数列中，，.
(1)分别求出，，，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
(2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想.

20．(本小题满分12分) 某村海拔1500米，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村．该省政府办公厅组建了精准扶贫组进行定点帮扶，扶贫组在实地调研和充分听取群众意见后，立足当地独特优势，大力发展高山蔬菜和生态黑猪，有效带动了全村父老乡亲脱贫奔小康．村民甲在企业帮扶下签订合同，代养生态黑猪，2016年至2020年养殖黑猪的年收入y(单位：万元）的数据如下表：
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号x
1
2
3
4
5
年收入y
5.6
6.5
7.4
8.2
9.1
（2）利用（1）中的回归方程，预测2021年该村民养殖黑猪的年收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.

21．(本小题满分12分) 某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在内，按照分组，得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图估计全体应聘者笔试成绩的众数、平均数、中位数；（每组数据以区间中点值为代表）
（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．

22. (本小题满分12分) 已知函数.
（1）若，求的零点个数；
（2）若，，证明：，.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
C
A
C
A
D
B
C
D
B
C
1． 【答案】D
【分析】
利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部.
【详解】
，因此，复数的虚部为.
故选：D
2．【答案】B
【分析】
根据程序语言，可直接得出结果.
【详解】
因为该程序表示，当时，执行循环；
因此执行完毕后
故选：B.
3． 【答案】C
【分析】
整点报时事件包含总的时间长度为60，等待不多于15分钟的时间长度为15，由几何概型作比可求出等待不超过15分钟的概率.
【详解】
解：由题意知这是一个几何概型，
电台整点报时，
事件总数包含的时间长度是60，
满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，
由几何概型公式得到；
故选：C.
4．【答案】A
5． C
【分析】
连续掷两次骰子，构成的点的坐标有36个，依次找出满足的点的坐标，数出个数，用概率公式计算即可.
【详解】
连续掷两次骰子，构成的点的坐标有个，而满足的有，，，，，，，，共8个，∴.
故选：C.
6．【答案】A
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
7．【答案】D
【分析】
根据程序框图进行模拟运算即可得出结果．
【详解】
解：初始值：，，
第1次循环：满足，不满足，，
第2次循环：满足，满足，，
第3次循环：满足，满足，，
第4次循环：满足，满足，，
不满足，输出，
故选D．
【点睛】
本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
8．【答案】B
【分析】
从开始向右每次读取3位数，重复的或者不在编号内的3位数舍去，按照此规则读数可得结果.
【详解】
依题意从开始向右每次读取3位数，重复的或者不在编号内的3位数舍去，则得到的前8个样本标号为：，则得到的第8个样本标号是.
故选：B
9． 【答案】C
【分析】
首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.
【详解】
由题意可得：，
设被污损的数字为x，则：，
满足题意时，，即：，
即x可能的取值为,
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：.
故选C.
【点睛】
本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．D
【分析】
分别计算，然后代入线性回归方程简单计算即可.
【详解】
由题可知：
代入方程有：
故选：D
【点睛】
易错点睛：很容易把6直接代入方程，熟知线性回归直线必过样本中心点.
11．【答案】B
【分析】
根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项.
【详解】
根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a，b全为0的否定是a，b不全为0，故选B.
【点睛】
本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题.
12． 【答案】C
【分析】
设为函数的零点，则，转化为在直线上，根据表示点到原点的距离的平方，得到，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
设为函数在上的零点，则，
即，即点在直线上，
又由表示点到原点的距离的平方，
则，即，
令，则，
因为，所以，
可得函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
13．【答案】13
【分析】
求出复数的坐标，再由模长公式求解即可.
【详解】
复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)．所以点Z与原点O的距离为
故答案为：
14．【答案】51
【分析】
依次累加各位数字上的数该数位的权重，即可得到相对的十进制数.
【详解】
可得.
所以二进制数110011化为十进制数等于51.
故答案为：51.
15．
【分析】
首先由统计总数没变，可知两次统计的平均数没有变，再分别列出标准差公式，判断大小关系.
【详解】
由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，则
，
若比较与的大小，只需比较与的大小即可，而，，所以，从而.
【点睛】
关键点点睛：本题考查样本平均数和标准差，关键是判断平均数没有变，才能利用标准差公式判断大小.
16．0.7
【分析】
由已知列举出代表今后三天都不下雨的随机数，以及今后三天都不下雨的随机数个数，利用古典概型和对立事件的概率求解即可．
【详解】
代表今后三天都不下雨的随机数有977，864，458，569，556，488，共6组，记“今后三天中至少有一天下雨”为事件，“今后三天都不下雨”为事件，则与为对立事件.
所以，
17．【详解】
证明：（1）要证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
而显然成立，所以原不等式得证.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）由，都为整数值随机数，可得基本事件总数，进而利用二次函数的性质列举出事件包含的基本事件个数，利用古典概型公式计算即可；
（2）由，都为均匀随机数，可得试验的全部结果构成的区域，进而利用二次函数的性质得出构成事件的区域，求出面积之比可得事件发生的概率．
【详解】
（1）因为，都为整数值随机数，则，，所以基本事件总数为.
若事件发生，则，即.又，，则.
当时，；当时，；当时，，
则事件包含的基本事件有12个.
所以.
（2）因为，都为均匀随机数，则试验的全部结果构成的区域为.
若事件发生，由（1）知，则构成事件的区域为.
在平面直角坐标系中画出区域、，如图，

其中区域是长为5，宽为2的矩形，其面积；
区域是上底边长为1，下底边长为5，高为2的直角梯形，
其面积.
所以.
19．(1)，，，；(2)证明见解析.
【分析】
(1)分别令，根据递推关系即可求出，，，根据，，的值即可猜想出；

(2)根据数学归纳法的证明步骤，证明即可.
【详解】
(1)在数列中，，.
当时，；
当时，；
当时，；
所以，，，猜测.
(2)证明：①当时，，，
所以，所以时，等式成立；
②假设当时，等式成立，即，
则，
所以时，等式成立.
综合①和②可知，对于任意的，均成立.
【点睛】
本题主要考查根据递推关系求数列中指定的项，归纳推理及数学归纳法，属于基础题.
20．（1）；（2）9.97万元．
【分析】
（1）根据题中所给的数据，结合公式，求得的值，得到回归直线方程；
（2）将相应自变量代入回归直线方程，求得结果.
【详解】
（1）由所给数据计算得

，

（2）将2021年的年份代号代入（1）中的回归方程，得，
故预测2021年该村民养殖黑猪的年收入是9.97万元．
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）74.5；（Ⅲ）65分．
【分析】
（1）根据频率和为1，即小矩形面积和为1，求；（Ⅱ）利用每组数据中点值乘以本组的频率和，计算平均数；（Ⅲ）首先计算录取比例，根据录取比例求分数线.
【详解】
（Ⅰ）由题意，
解得．
（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的众数为75；
平均数为；
中位数为设为t,则t 满足 0.05+0.10+0.20+（t-70）0.03=0.50 解得t=75
（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，
设分数线定为，根据频率分布直方图可知，
且，
解得．
故估计应该把录取的分数线定为65分．
22．（1）（2）见解析
【分析】
（1）将a的值代入f(x)，再求导得，在定义域内讨论函数单调性，再由函数的最小值正负来判断它的零点个数；（2）把a的值代入f(x)，将整理化简为，即证明该不等式在上恒成立，构造新的函数，利用导数可知其在定义域上的最小值，构造函数，由导数可知其定义域上的最大值，二者比较大小，即得证．
【详解】
（1）解：因为，所以.
令，得或；令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
而，，，
所以的零点个数为1.
（2）证明：因为，从而.
又因为，
所以要证，恒成立，
即证，恒成立，
即证，恒成立.
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以.
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，所以，
所以，恒成立，
即，.