江西省南昌市新建县第一中学2019-2020学年高二数学下学期线上期中试题-理.doc

江西省南昌市新建县第一中学2019-2020学年高二数学下学期线上期中试题 理

江西省南昌市新建县第一中学2019-2020学年高二数学下学期线上期中试题 理

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江西省南昌市新建县第一中学2019-2020学年高二数学下学期线上期中试题 理（含解析）
一､选择题
1.已知随机变量满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据期望的性质，即可得出结果.
【详解】因为随机变量满足，
所以.
故选D
【点睛】本题主要考查随机变量的期望，熟记期望的性质即可，属于常考题型.
2.设随机变量 ，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正态分布的对称性即可求得答案.
【详解】由于，故，则，故
答案为A.
【点睛】本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.
3.设是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有两个不相等的实数根的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.
详解：因为是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为，
方程有两个不等实根，所以，
以为为正整数，所以，
即满足条件的事件有种结果，所以所求的概率为，故选A.
点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式.
4.某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据先分组，后分配的原则得到结果.
【详解】由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同选派法有.
故选A．
【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
5.已知的展开式中常数项为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二项式展开式的通项公式，结合常数项即可求得参数，则问题得解.
【详解】对二项式的通项公式，
当时，其常数项为，当时，的系数为，
故的常数项为，
解该方程非常困难，故代值检验，
即可求得当时满足.
故选：B.
【点睛】本题考查利用通项公式由二项式的常数项求参数值，属基础题.
6.若函数的最小值为3，则实数的值为( )
A. 4 B. 2 C. 2或 D. 4或
【答案】D
【解析】
4或，选D.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
7.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
次独立重复实验，故概率为.
8.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（ ）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. ．36种
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合排列组合的知识整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可知分配方案为一个乡镇2人，其余两个乡镇各一人，
据此结合排列组合公式可知，不同的分配方案有种.
本题选择D选项.
【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
9.从1、2、3、4、5这五个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：先求出基本事件的总数，再求出这3个数的和为奇数所包含的基本事件的个数，利用古典概型即可求解答案．
详解：由题意，从这五个数字中，随机抽取个不同的数字，
基本事件的总数为种，
这个数字的和为奇数共有两类情况，一是三个数字都为奇数，二是两个偶数和一个奇数，
共有种不同的抽取方法，
由古典概型的概率计算公式可得概率为，故选B．
点睛：本题主要考查了概率的综合应用，其中根据题意，利用组合数的公式求解基本事件的综合和分类求得所求事件中所包含的基本事件个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
10. 某班某学习小组共7名同学站在一排照相，要求同学甲和乙必须相邻，同学丙和丁不能相邻，则不同的站法共有（ ）种．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意，分步进行分析，①因为甲和乙相邻，将其看成一个整体，考虑两人的顺序，有种情况，②将除去甲、乙、丙、丁剩下的个人和整体看成，有种情况，③元素不相邻利用“插空法”；则共有种情况，故选A．
考点：排列与组合．
【方法点睛】本题考查排列、组合的运用，因为涉及的限制条件比较多，所以注意认真分析题意，认清问题是排列还是组合问题，还要注意相邻问题需要用捆绑法；根据题意，分步进行分析，①因为甲和乙相邻，用捆绑法分析可得其情况数目，②将除去甲、乙、丙、丁剩下的个人和整体看成人，③元素不相邻利用“插空法”，进而由分步计数原理计算可得答案．
11.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中（新球用完后即成旧球），此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件可得当时表示的是取出的3个球中有2个新球和1个旧球，然后求出即可.
【详解】因为从盒子中任取3个球来用，用完装回盒中，此时盒中旧球个数
即旧球的个数增加了2个
所以取出的3个球中有2个新球和1个旧球
所以
故选：A
【点睛】本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.
12.将4个文件放入到3个盒子中,随机变量X表示盒子中恰有文件的盒子个数,则EX等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本道题分别计算X=1,2,3对应的概率，然后计算数学期望，即可．
【详解】,

列表：
X
1
2
3
P

所以数学期望，故选D．
【点睛】本道题考查了数学期望的计算方法，较容易．
二､填空题
13.已知随机变量，若，则__________．
【答案】0.2
【解析】
【分析】
随机变量，得到曲线关于称，根据曲线的对称性得到 ，根据概率的性质得到结果．
【详解】随机变量，∴曲线关于对称，
∴，故答案为0.2.
【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题
14.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离大于该正方形边长的概率为________；
【答案】
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数n10，再求出这2个点的距离大于该正方形边长包含的基本事件个数为2，由此能求出这2个点的距离不小于该正方形边长的概率．
【详解】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，
基本事件总数n10，
这2个点的距离大于该正方形边长的取法为两条对角线对应的点，所以包含的基本事件个数为2，
∴这2个点的距离大于该正方形边长的概率p．
故答案为．
【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率计算公式的合理运用．
15.对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数y＝|x+1|﹣|x﹣2|，根据绝对值的几何意义，得函数的值域，根据不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞k恒成立，则ymin＞k，构造关于k的不等式，进而得到k的取值范围．
【详解】对任意实数，若不等式恒成立，而表示数轴上的对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，
其最小值为-3，故有，
故答案为．
【点睛】本题考查的知识点是绝对值不等式，其中熟练掌握绝对值的几何意义，并分析出绝对值函数的值域是解答此类问题的关系，本题也可以用零点分段法，将构造的函数表示为分段函数，然后求出值域，但过程较为复杂．
16.当为正奇数时，除以的余数是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理，结合组合数运算，即可容易求得结果.
【详解】

因为为正奇数，故上式可化简为：

该式除以，余数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查由二项式定理解决余数问题，属中档题.
三､解答题
17.已知展开式前三项的二项式系数和为22．
（1）求值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
1利用公式展开得前三项，二项式系数和为22，即可求出n．
2利用通项公式求解展开式中的常数项即可．
3利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项．
【详解】解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．
1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，
解得：或舍去．
即n的值为6．
2由通项公式，
令，
可得：．
展开式中的常数项为；
是偶数，展开式共有7项则第四项最大
展开式中二项式系数最大的项为．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的有关计算，属于基础题．
18.设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，分，，三种情况讨论，即可得出结果；
（2）先由关于的不等式恒成立，得到恒成立，结合绝对值不等式的性质，即可求出结果.
【详解】（1）当时，即，
当时，，解得；
当时，，可得；
当时，，解得，
综上，原不等式的解集为；
（2）关于的不等式恒成立，
即为恒成立，
由，
可得，
解得：或.
【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，通常需要用到分类讨论的思想，灵活运用分类讨论的思想处理，熟记绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.
19.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 从中任意取出 3件进行检验，求至少有 件是合格品的概率；
（2）若厂家发给商家 件产品，其中有不合格，按合同规定 商家从这 件产品中任取件，都进行检验，只有 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）“从中任意取出3件检验，至少有2件是合格品”这一事件包含两个基本事件，一是恰有2件合格，一是3件都合格，根据相互独立事件同时发生的概率求解；
（2）该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，属于超几何分布问题，求出变量对应的概率，写出分布列.只有2件都合格时才接收，故拒收批产品的对立事件是商家任取2件产品检验都合格，先求出两件产品都合格的概率，再用对立事件的概率公式得到结果.
【详解】解：（1）“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，
其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，
；
（2）该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，
，，
，
的分布列为：

P

因为只有2件都合格时才接收这批产品，
故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，
记“商家拒收”为事件B，
则，
商家拒收这批产品的概率为.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，对立事件的概率，等可能事件的概率，独立重复试验，属于中档题.
20.某校高一年级模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件为：电脑随机抽取10首古诗，参赛者能够正确背诵6首及以上的进入正赛，若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为
(1)求甲进入正赛的概率；
(2)若进入正赛，则采用积分淘汰制，规则是：电脑随机抽取4首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分.由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为，求甲在正赛中积分的概率分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为.
【解析】
【分析】
（1）若甲进入正赛，即甲答对的题目数为6，7，8，9或者10道，分别根据二项分布的相关公式计算概率相加即可；
（2）列出正赛中的所有可能的取值，分别计算概率，列出分布列计算期望即可．
【详解】（1）甲进入正赛的概率为

甲进入正赛的概率为.
（2）甲的积分的可能取值为分，分，分，分，分，
则

所以的概率分布列为

8
5
2
-1
-4
P

所以
甲在正赛中积分的数学期望为.
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查分析和解决问题的能力，是中档题．
21.若关于的不等式的解集为,记实数的最大值为.
(1)求的值；
(2)若正实数满足,求的最小值.
【答案】（1）3；（2）3
【解析】
分析：（1）将问题转化为，只需求出的最小值即可．（2）结合，利用基本不等式求解即可．
详解：（1）由题意得

．
（2）由（1）得，且，
∴
．
当且仅当且，即时等号成立．
，
即的最小值为3．
点睛：绝对值三角不等式和基本不等式都是求最值的常用方法，解题时要根据题意选择合适的方法进行求解，同时也要注意这两种方法的使用条件．
22.某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从四所高校中选2所.
（1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；
（2）若甲必选，记为甲、乙、丙三名同学中选校的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用组合知识，由古典概型概率公式可得结果；（2）求出甲同学选中高校的概率与乙、丙同学选中高校的概率，判断所有可能的取值为0,1,2,3，根据互斥事件的概率公式与独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.
【详解】（1）设“甲、乙、丙三名同学都选高校”为事件，则
.
（2）甲同学选中高校的概率为：，
乙、丙同学选中高校的概率为：，
所有可能的取值为0,1,2,3，
，有；
；
；
;
的分布列为

0
1
2
3

【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.