天津市杨村第一中学2021届高三数学下学期开学考试试题.doc

天津市杨村第一中学2021届高三数学下学期开学考试试题

天津市杨村第一中学2021届高三数学下学期开学考试试题

年级：
姓名：

3

天津市杨村第一中学2021届高三数学下学期开学考试试题
一、 选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项涂在答题卡上）
1. 已知集合，或，则（ ）
A. 或 B. C. D. 或
2. 设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：，，，，绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是（ ）

A. 50 B. 54 C. 60 D. 64
4. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
5. 在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，且，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸相应位置上）
10. 已知，且复数是纯虚数，则________.
11. 二项式的展开式中常数项为_________.
12. 已知直线被圆截得的弦长等于该圆的半径，则实数_____.

13.为了抗击新冠肺炎疫情，现从医院150人和医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中医院至少有一人的概率是______.设两名联络人中医院的人数为，则的期望为_____.
14. 若，则的最小值为______.
15.如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为_______.

三、 解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （本小题满分14分）
在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．
(1) 求和的值；
(2) 求的值．

17.（本小题满分14分）
如图，平面，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长.

18.（本小题满分15分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（1）求的方程；
（2）如图，经过椭圆左顶点且斜率为的直线与交于两点，交轴于点，点为线段的中点，若点关于轴的对称点为，过点作与（为坐标原点）垂直的直线交直线于点，且面积为，求的值.

19.（本小题满分16分）
设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.
（1）求，的通项公式
（2）设，数列的前项和为，求；
（3）设，其中,求

20. （本小题满分16分）
已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，，求证：.
开学考试答案
1. 已知集合，或，则（ ）
A. 或 B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】由并集的定义可得或.
故选A.
2. 设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.
详解：绝对值不等式，
由.
据此可知是的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：，，，，绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是（ ）

A. 50 B. 54 C. 60 D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】
由频率分布直方图计算可得得分低于分的频率，由频数和频率计算可得总数.
【详解】由频率分布直方图知：得分低于分的频率为：
低于分的人数是 该班的学生人数是
故选：
【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率和总数的问题，关键是明确频率、频数和总数之间的关系.
4. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先排除函数的奇偶性，再判断时的函数值的正负.
【详解】，函数是奇函数，故排除AB，
当时，，，所以，故排除D.
故选：C
5. 在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．
【详解】解：设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
所以
所以

所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为
故选：．
【点睛】与球有关组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
6. 已知函数，且，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定函数的奇偶性与单调性，然后结合中间值0和1比较幂和对数的的大小，最后可得结论．
【详解】由题意知是偶函数，由复合函数单调性知在上，函数单调递增，
，，，，
又，∴．
故选：D
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查幂与对数的比较大小，实质考查了指数函数与对数函数的性质，属于中档题．
7. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出抛物线的方程，从而得到的值，根据离心率得到渐近线方程，由渐近线与直线垂直得到的值，从而可得双曲线的方程.
【详解】因为到其焦点的距离为5，故，故，
故抛物线的方程为，故.
因为离心率为，故，故，
根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设在第一象限，则，
则与渐近线垂直，故，故，故，
故双曲线方程为：.
故选：D.
【点睛】方法点睛：（1）上一点到其焦点的距离为，解题中注意利用这个结论.
（2） 如果直线与直线垂直，那么.
8.已知函数在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作出函数与函数的图象，讨论直线与曲线、相切以及过点的情况，求出对应的实数的值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.
【详解】
作与图象如下：

由整理得，
当直线与圆相切时，则，解得，对应图中分界线①；
再考虑直线与曲线相切，设切点坐标为，
对函数求导得，则所求切线的斜率为，
所求切线的方程为，直线过定点，
将点的坐标代入切线方程得，解得，
所以，切点坐标为，，对应图中分界线③；
当直线过点时，则有，解得，对应图中分界线②.
由于函数有三个零点，由图象可知，实数的取值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，解题时要考查直线与曲线相切，考查数形结合思想的应用，属于难题.
10. 已知，且复数是纯虚数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的四则运算进行化简得，又由于该复数为纯虚数，故，解得.
【详解】解：，
又该复数为纯虚数
故，，
故答案为：
11. 二项式的展开式中常数项为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出二项式的通项公式，再令对应的幂指数为0即可求解
【详解】二项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该二项式展开式中常数项为，
故答案为：60
【点睛】本题考查二项式中常数项的求解，属于基础题
12.【答案】 2或-4
13.为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院150人和B医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院至少有一人的概率是______.设两名联络人中B医院的人数为X，则X的期望为_____.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先按照分层抽样计算出A医院的人数和B医院的人数，从5人中选出两人作为联络人，这两名联络人中B医院至少有一人的情况分为两种情况：一是A医院1人B医院1人，有种选法，二是B医院2人，有种选法，然后按照古典概型的概率计算公式计算“B医院至少有一人”的概率即可；由题意可知X的取值可能为0，1，2，分别求出对应的概率，最后按照期望计算公式计算即可.
【详解】因为是分层抽样的方法选出的5人，所以这5人中，
A医院有人，B医院有人，
所以从这5人中选出2人，B医院至少有1人的概率为，
由题意可知X的取值可能为0，1，2，
当时，，
当时，，
当时，，
则.
故答案为：，.
【点睛】关键点睛：从5人中选出两人作为联络人，这两名联络人中B医院至少有一人，应该用分类的思想去处理，分为两种情况：一是A医院1人B医院1人，有种选法，二是B医院2人，有种选法.
15. 若，则的最小值为______.
【答案】
15.如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为_______.

【答案】
16. 在中，内角所对的边分别为，已知的面积．
(1) 求和的值；
(2) 求的值．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）由面积公式可得结合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展开求值.
【详解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.
（2）,
【点睛】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.
17.如图，平面，，点分别为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长.

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到；
（Ⅱ）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系，求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
（Ⅲ）设，则，从而，
由（Ⅱ）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又，，
所以.
（Ⅱ）因为，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，
.

设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得.
，于是.
所以，二面角的正弦值为.
（Ⅲ）设，即，则.
从而.
由（Ⅱ）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

18.已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（1）求的方程；
（2）如图，经过椭圆左顶点且斜率为的直线与交于两点，交轴于点，点为线段的中点，若点关于轴的对称点为，过点作（为坐标原点）垂直的直线交直线于点，且面积为，求的值.

（1）；（2）.
【分析】
（1）根据椭圆的离心率为，短轴长为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 即可得结果；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得直线的斜率，可得直线方程，与直线的方程联立求得点，根据点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式可得，从而可得结果.
【详解】
（1）由题意，知.
解得.
椭圆的方程为.
（2）易知，椭圆的左顶点，
设直线的方程为，则.
由消去并整理，得.
设，
.
，.
，，
，直线的斜率为.
直线方程为，直线的方程为.
点.
点到直线的距离为.
.
.
.
，，解得.
【点睛】
求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
19.设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.
（1）求，的通项公式
（2）设，数列的前项和为，求；
（3）设，其中,求
【分析】
（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，利用等比数列的通项公式可求得的值，利用等差数列的通项公式建立有关和的方程组，解出这两个未知数，再利用等比数列和等差数列的通项公式可求得这两个数列的通项公式；
（2）由，利用裂项相消法可求得；
（3）求得，可得，通过分组求和以及错位相减法即可得出结果.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，
，由，得，，解得，则.
由，得，解得，则；
（2），
；
（3）由，其中
可得，
，
其中，
设，
则，
两式相减得
整理得，
则，
．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法与错位相减法求和，考查计算能力，是一道难度较大的题目.
20.已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，，求证：.
答案：（1）0；（2）证明见解析
【分析】
（1），对函数求导，利用导数判断其单调性，进而可求出最小值；
（2）构造函数，对函数求导，分别求出和时，函数的单调性，进而证明其最大值小于0，即可证明结论成立.
【详解】
（1）由题意知的定义域为．
当时，，
则．
令，则，
令，得，令，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，即对任意，恒成立．
所以令，得，令，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最小值，即．
（2）令，，
则，
当时，，则，单调递增，
所以当时，，故成立；
当时，，显然，
令，则，
因为，所以，即在上单调递增，
因为，所以，
因为，且，所以，
所以存在满足，则，整理得，
则有．
因为，所以存在唯一零点，
所以时，，，单调递增；时，，，单调递减，
所以当时，的最大值为，且．
由，可得，故．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故，所以时，成立．
综上所述，．
【点睛】
本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查学生逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题.

19. 设是等比数列，公比大于0，是等差数列，.已知，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，，其中
（i）求数列的通项公式；
（ii）若的前n项和，求.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，进而根据已知条件计算得，，故，；
（Ⅱ）根据题意得，，进而得，再根据裂项求和得，，故.
【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比为q.由，，
可得.因为，可得，
故
设等差数列的公差为d，由，可得.
由，可得，
从而，，
故.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（Ⅱ）
（i），

（ii）.

（注：写成亦可.）
.
【点睛】本题第二问题解题的关键在于根据题意得，考查运算求解能力，是中档题.