浅谈高中数学外积.doc

浅谈高中数学外积外积的定义和计算在一般的高中数学补充教材里，常出现的形式是利用三个二阶行列式直接得到同时垂直于的向量，说明如下：给定两个非零向量，定义外积向量为 ，继续计算向量的长度得到，进而发现之值为两向量所张出平行四边形的面积。其实这样的外积形式突然出现，对初学者是有些困难，毕竟行列式的运算方式好像不是那么自然，更何况要学生去看待一个向量的长度值等于一个四边形的面积值，既是抽象又不知从何比较。因此，本文想要从更基本的想法出发，来探讨外积。先从面积谈起，在国中我们看过一个重要的定理勾股定理，而在空间中是否也有一个如此完美的空间中的勾股定理呢？相信在许多数学相关文章和书籍资料都可以完整说明空间中的勾股定理，在这里我们试着用特例来作介绍，原则上希望避免掉复杂的运算，然后引出空间中的勾股定理，以及外积性质。(a,0,0)B(0,b,0)C(0,0,c)H【图一】在空间坐标系中，我们先给一个四面体，此四面体有三个面互相垂直如图一所示，也就是有三个直角三角形彼此垂直，其中坐标分别为。在此我们先以表示该三角形面积，以此类推，我们可以得到，及，另外由对作垂线交于，并令，则因由毕式逆定里，。接下来，因为，所以有，再由，可以得到：所以，我们因此得到了在这样的四面体，有上述的平方关系。如果把我们，和分别看成在三个坐标平面上的投影，我们就得到了空间面积的勾股定理，亦即面积的平方是其在三个坐标平面上投影的面积平方和。因此，我们可以利用这样的特例观点，去考虑对一般任意空间中三角形面积的性质；是否对任意空间中的三角形，也存在这样的空间中勾股定理呢？首先，我们写下比例关系：而所在的平面方程式为，法向量为，计算法向量和轴方向向量夹角之余弦值平方得到，即为，因此我们可以令，其中为法向量与方向之夹角，同时也是平面与平面的夹角。同样的我们可以令分别为法向量与轴之夹角(或相关平面之间的夹角)，亦可得到，以及方向余弦关系式：。这同时也呼应了空间中的勾股定理，并有。虽然一般三角形的位置并不像一般，注意到的特点是它的三边分别与三个坐标平面平行，但是由于任一个三角形，可以分割成许多三边与坐标平面平行的小三角形，因此，若采取极限的论证方式，我们一样可以证明，其中，分别是在三个坐标面上的投影。因此，亦即空间中任意三角形也有面积的勾股定理性质。我们进一步推广成，空间中任一平行四边形面积也可以有：，其中为三个坐标平面上投影的面积。接下来，我们来考虑另一个三角形面积公式行列式。当三角形在平面时，如图二所示。【图二】面积为由所张出之平行四边形面积的一半，我们可以由以下作法求得。面积：所以面积为。【图三】接着，回到坐标空间，我们给予两不平行的非零向量与而考虑由此两向量张出的平行四边形面积，如图三。其在平面上的投影面积即为和张出之平行四边形面积，也就是，同样的，再投影到另外两平面也有类似的结果。根据空间中的毕式定理，我们得到由张出的平行四边形面积为：即。在式子中，我们可以观察出，可以看成一个向量之长度平方，其中三分量分别为。我们令该向量为，并且慎选正负号使同时与互相垂直。如果我们取可使且，若改取负号的，也可以得到且。我们在这取正号，以表示的外积，就是我们看到一般课程的外积形式，而且自然与所决定的平面垂直或与该平面的法向量平行。取正号的原因是三向量会满足右手定则。接下来，我们略加说明满足右手定则的原因。因为这样的外积定义，是利用文字的定义，因此，参照图三，当连续变动时，也跟着连续变动，但是始终与垂直，并且维持相关的方向。所以我们不妨假设已经变动成为，沿着轴和轴的单位向量，此时，就会变成，亦即轴的方向，当然，三轴满足右手定则。在一般的数学专书中，我们常看到的就是以向量表示三单位向量，如图四所示，并有此关系：ikjk 。 【图四】因此，我们也可以用三阶行列式来表示的外积。本文是从面积的角度出发来看两向量作外积得到的长度平方值等于张出平行四边形面积值的平方，有别于以一般高中补充教材利用坐标化的展开与整理。目的希望可以透过简单的几何想法，避免掉繁琐的计算过程，也可免于直接令两非零向量与，作外积后再取长度平方，然后直接整理出所张之平行四边形面积的平方。希望这样的处理，能让外积的教学更具发展性。8