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2021-2022学年高中数学 第4章 对数运算与对数函数测评巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第4章 对数运算与对数函数测评巩固练习北师大版必修第一册

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第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=11-x+lg(1+x)的定义域是(　　)
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析:要使函数f(x)=11-x+lg(1+x)有意义,
应满足1+x>0,1-x≠0,解得(-1,1)∪(1,+∞).
故选C.
答案:C
2.已知a=0.993,b=log20.6,c=log3π,则(　　)
A.c<a<b B.b<c<a
C.a<b<c D.b<a<c
解析:0<a=0.993<1,b=log20.6<0,c=log3π>1,
∴b<a<c.故选D.
答案:D
3.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的部分图象如图所示,则a,b满足的关系是(　　)

A.0<a-1<b<1
B.0<b<a-1<1
C.0<b-1<a<1
D.0<a-1<b-1<1
解析:由题中函数图象可知,函数f(x)在R上为增函数,故a>1.
函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由题中函数图象可知-1<logab<0,解得1a<b<1.
综上有0<1a<b<1.
答案:A
4.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则1a+1b的值为(　　)
A.36 B.72 C.108 D.172
解析:由2+log2a=3+log3b=log6(a+b),得log2(4a)=log3(27b)=log6(a+b).设log2(4a)=log3(27b)=log6(a+b)=k,则有4a=2k,27b=3k,a+b=6k,所以108ab=2k×3k=6k=a+b,
即1a+1b=108,故选C.
答案:C
5.四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
答案:D
6.已知函数f(x)=lnx-12,若a>0,b>0,且a≠b,f(a)=f(b),则ab等于(　　)
A.1 B.e-1 C.e D.e2
解析:∵函数f(x)=lnx-12,a≠b,f(a)=f(b),
∴lna-12=lnb-12,
∴lna-12=lnb-12或lna-12=12-lnb,
即lna=lnb或ln(ab)=1,
解得a=b(舍)或ab=e,
∴ab=e.故选C.
答案:C
7.已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为(　　)
A.12 B.14 C.2 D.4
解析:显然函数y=ax与y=logax在区间[1,2]上的单调性相同,因此函数f(x)=ax+logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+loga1)+(a2+loga2)=a+a2+loga2=loga2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选C.
答案:C
8.若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则函数y=loga|x|的大致图象是(　　)

解析:若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则0<a<1,由此可知y=loga|x|的大致图象是选项A中的图象.
答案:A
9.若函数f(x)=log2x,x>0,log12(-x),x<0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
解析:当a>0时,-a<0,若f(a)>f(-a),则log2a>log12[-(-a)],即log2a>log12a,此时a>1;当a<0时,-a>0,若f(a)>f(-a),则log12(-a)>log2(-a),此时,-1<a<0.
综上,实数a的取值范围为(1,+∞)∪(-1,0).
答案:C
10.设函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在区间[0,+∞)上单调递增,若a=flog213,b=flog312,c=f(-2),则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a
解析:因为1<log 23<log 22=2,0<log 32<log 33=1,
所以0<log 32<log 23<2.
因为函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
所以f(log32)<f(log23)<f(2).
因为f(x)是偶函数,所以a=flog 213=f(-log 23)=f(log 23),
b=flog 312=f(-log 32)=f(log32),c=f(-2)=f(2),所以b<a<c.
答案:C
11.函数y=log12(6+x-x2)的单调递增区间是(　　)
A.-∞,12 B.-2,12
C.12,+∞ D.12,3
解析:要使函数有意义,需6+x-x2>0,解得-2<x<3,故函数的定义域是(-2,3).
令t=-x2+x+6=-x-122+254,
则函数t在区间12,3上单调递减,
所以函数y=log12(6+x-x2)在区间12,3上单调递增,即函数y=log12(6+x-x2)的单调递增区间是12,3.
答案:D
12.若不等式lg 1+2x+(1-a)3x3≥(x-1)lg 3对任意的x∈(-∞,1]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[0,+∞) D.[1,+∞)
解析:由lg1+2x+(1-a)3x3≥lg3x-1,
得1+2x+(1-a)3x3≥3x-1,1+2x+(1-a)3x≥3x,1+2x≥a·3x,即13x+23x≥a对任意的x∈(-∞,1]恒成立.设f(x)=13x+23x,x∈(-∞,1],
则f(x)min=f(1)=13+23=1,∴a≤1.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.设函数f(x)=3x+9x,则f(log32)=　　　　. 
解析:f(log32)=3log32+9log32=2+4=6.
答案:6
14.函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称,且函数g(x)=f(x-1)-3,则函数y=g(x)的图象必过定点　　　　　. 
解析:因为函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称,
所以f(x)=ax,故函数g(x)=f(x-1)-3=ax-1-3,则函数y=g(x)的图象必过定点(1,-2).
答案:(1,-2)
15.已知函数f(x)=log2x,x>0,log12(-x),x<0,若f(a)<0,则实数a的取值范围是　　　　　. 
解析:由题意得a>0,log2a<0或a<0,log12(-a)<0,得0<a<1或a<-1.
答案:(-∞,-1)∪(0,1)
16.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+65,则f(log220)=　　　　　. 
解析:由f(x+1)=f(1-x)及f(-x)=-f(x),得f(-x)=f(2+x)=-f(x),
则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
又log224<log220<log225,即4<log220<5,
则4-log220∈(-1,0),
所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-24-log220+65=-2log245+65=-2.
答案:-2
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算下列各式的值:
(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40+log222;
(2)lg8+lg125-lg2-lg5lg10lg0.01.
解:(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40+log222=1-3lg21+lg5-(1+2lg2)+log2(2)-1=1-3lg21-lg2-2lg2-1=1-3lg21-3lg2-1=0.
(2)原式=lg(8×125)-lg(2×5)lg1012·lg10-2=lg103-lg1012lg10·(-2lg10)=3-112×(-2)=-2.
18.(12分)光线每通过一块玻璃其强度要减少10%,至少用多少块这样的玻璃板重叠起来,才能使通过它们的光线在原强度的13以下?(lg 3≈0.477 1)
解:设通过n块玻璃时,光线强度在原强度的13以下,得(1-10%)n≤13,即0.9n≤13,
即n·lg0.9≤lg13,
∴n≥lg13lg0.9=lg31-2lg3≈11.
故至少用11块这样的玻璃.
19.(12分)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)(a∈R).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵f(1)=1,
∴log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,
∴f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,故函数定义域为(-1,3).
设函数u=-x2+2x+3,则函数u在区间(-1,1]上单调递增,在区间[1,3)上单调递减.
又函数y=log4u(u>0)为增函数,
∴f(x)的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是[1,3).
(2)假设存在实数a,使f(x)的最小值为0,则函数h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
因此应有a>0,12a-44a=1,解得a=12.
故存在实数a=12,使f(x)的最小值为0.
20.(12分)已知函数f(x)=alog2x+blog3x,其中常数a,b满足ab≠0.
(1)若a>0,b>0,证明函数f(x)在定义域内为增函数;
(2)若a=ln(m2+2m+3),b=ln 10,解不等式f(3x-1)≤f(x+3).
解:f(x)=alog2x+blog3x,其定义域为(0,+∞).
(1)任取x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=alog2x1+blog3x1-(alog2x2+blog3x2)=a(log2x1-log2x2)+b(log3x1-log3x2).
∵0<x1<x2且y=log2x和y=log3x在区间(0,+∞)上为增函数,
∴log2x1<log2x2,log3x1<log3x2,
当a>0,b>0时,有a(log2x1-log2x2)<0,b(log3x1-log3x2)<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数.
(2)∵a=ln(m2+2m+3)=ln[(m+1)2+2]≥ln2>ln1=0,b=ln10>ln1=0,
由(1)可知函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,
∴f(3x-1)≤f(x+3)⇔3x-1>0,x+3>0,3x-1≤x+3,
∴13<x≤2,
∴原不等式的解集为x13<x≤2.
21.(12分)已知函数f(x)=lgkx-1x-1(k∈R).
(1)若y=f(x)是奇函数,求k的值,并求该函数的定义域;
(2)若函数y=f(x)在区间[10,+∞)上是增函数,求k的取值范围.
解:(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即lg-kx-1-x-1=-lgkx-1x-1,
∴-kx-1-x-1=x-1kx-1,1-k2x2=1-x2,
∴k2=1,k=±1,
而k=1不合题意,舍去,∴k=-1.
由-x-1x-1>0,得函数y=f(x)的定义域为(-1,1).
(2)∵f(x)在区间[10,+∞)上是增函数,
∴10k-110-1>0,∴k>110.
又f(x)=lgkx-1x-1=lgk+k-1x-1,
故对任意的x1,x2,当10≤x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),
即lgk+k-1x1-1<lgk+k-1x2-1,
∴k-1x1-1<k-1x2-1,∴(k-1)·1x1-1-1x2-1<0.
又∵1x1-1>1x2-1,∴k-1<0,∴k<1.
综上可知k∈110,1.
22.(12分)已知a∈R,f(x)=log21x+a(x>0).
(1)若函数f(x)过点(1,1),求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,求实数a的取值范围;
(3)设a>0,若对任意实数t∈13,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不大于1,求实数a的取值范围.
解:(1)∵a∈R,函数f(x)=log21x+a(x>0)的图象过点(1,1),
∴f(1)=log2(1+a)=1,解得a=1,
∴函数f(x)=log21x+1(x>0).
(2)g(x)=f(x)+2log2x=log21x+a+2log2x=log2(x+ax2).
∵函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,
∴ax2+x=1在区间(0,+∞)上只有一个解.
令h(x)=ax2+x-1.
∴当a=0时,h(x)=x-1,只有一个零点1,成立;
当a≠0时,h(x)=ax2+x-1在区间(0,+∞)上只有一个零点,又h(0)=-1<0,∴a>0,或a<0,Δ=1+4a=0,即a>0,或a=-14.
综上,实数a的取值范围为{aa≥0,或a=-14}.
(3)f(x)=log21x+a=log21+axx.
任取0<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=log2(1+ax1x1)-log2(1+ax2x2)=log2x2+ax1x2x1+ax1x2.
由于x2+ax1x2x1+ax1x2>1,所以log2x2+ax1x2x1+ax1x2>0,所以f(x1)>f(x2),所以函数f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,
∴函数f(x)在区间[t,t+1](t∈[13,1])上的最大值与最小值分别是f(t)与f(t+1).
由题意,得f(t)-f(t+1)≤1,
即1+att·t+11+at+a≤2,
整理,得a≥1-tt2+t.
设Q(t)=1-tt2+t,任取13≤t1<t2≤1,
则Q(t1)-Q(t2)=1-t1t12+t1-1-t2t22+t2=(t2-t1)[t1+1+t2(1-t1)](t12+t1)(t22+t2)>0,∴Q(t1)>Q(t2),
∴函数Q(t)在t∈13,1上为减函数,
∴a≥Q13,即a≥1-13132+13,a≥32,
∴实数a的取值范围是32,+∞.