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2021-2022学年高中数学 第3章 指数运算与指数函数测评巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第3章 指数运算与指数函数测评巩固练习北师大版必修第一册

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第三章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.计算425-12=(　　)
A.25 B.52 C.-52 D.±52
解析:425-12=25412=52.
答案:B
2.函数y=2x+2+1的图象过定点(　　)
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,2) D.(-1,1)
解析:令x+2=0,得x=-2,当x=-2时,y=20+1=1+1=2,故函数图象过定点(-2,2).
答案:C
3.化简-3a23·b12·(a12b13)÷13a16b56的结果为(　　)
A.-9a B.-a C.6a D.9a
解析:原式=-3a23+12·b12+13÷13a16b56
=-9a23+12-16·b12+13-56=-9a.
答案:A
4.设a=20.3,b=32,c=2-0.3,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<c<a
解析:∵c=2-0.3<1<a=20.3<2<b=32,
∴c<a<b.
答案:C
5.设函数f(x)=12x-3,x≤0,x2-x-1,x>0,已知f(a)>1,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2,2)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,+∞)
解析:由已知可得,当a>0时,有a2-a-1>1,解得a>2或a<-1,所以a>2;
当a≤0时,有12a-3>1,解得a<-2,
所以a<-2.
综上,a∈(-∞,-2)∪(2,+∞).
答案:B
6.定义运算a⊕b=a,a≤b,b,a>b,则f(x)=2x⊕2-x的图象大致是(　　)

解析:x≥0时,2x≥1≥2-x>0;x<0时,0<2x<1<2-x.
所以f(x)=2x⊕2-x=2-x,x≥0,2x,x<0.
结合选项,可知选C.
答案:C
7.函数y=122x2-3x+1的单调递减区间为(　　)
A.(1,+∞) B.-∞,34
C.(-∞,1) D.34,+∞
解析:令t=2x2-3x+1,则y=12t,
∵y=12t为减函数,
故函数y=122x2-3x+1的单调递减区间,即t=2x2-3x+1的单调递增区间,即34,+∞.
答案:D
8.函数f(x)=x|x|·2x的图象的大致形状是(　　)

解析:由函数f(x)=x|x|·2x=2x,x>0,-2x,x<0,可得函数在区间(0,+∞)上单调递增,此时函数值大于1;在区间(-∞,0)上单调递减,且此时函数的值大于-1且小于0.
结合所给的选项,只有B满足条件,故选B.
答案:B
9.已知f(x)=(2a-1)x+3a,x<1,ax,x≥1满足对任意x1≠x2都有(x1-x2)·(f(x1)-f(x2))<0成立,那么实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.0,12
C.14,1 D.14,12
解析:若对任意x1≠x2都有(x1-x2)·(f(x1)-f(x2))<0成立,
则函数f(x)为减函数,则2a-1<0,0<a<1,2a-1+3a≥a,
解得14≤a<12.
答案:D
10.如图,面积为8的平行四边形OABC,对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E,某指数函数y=ax(a>0,且a≠1),经过点E,B,则a=(　　)

A.2 B.3
C.2 D.3
解析:因为点E在函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象上,
所以可设点E(t,at),
则点B的坐标为(2t,2at).
又因为点B在函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象上,
所以2at=a2t,所以at=2,
所以平行四边形OABC的面积=OC·AC=at·2t=4t=8,
解得t=2,所以a2=2,a=2.
答案:A
11.已知函数f(x)=-12x,a≤x<0,-x2+2x,0≤x≤4的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3] B.[-3,0)
C.[-3,-1] D.{-3}
解析:当0≤x≤4时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,图象为开口向下的抛物线,对称轴为直线x=1,故函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,4]上单调递减,
当x=1时,函数取最大值1,当x=4时,函数取最小值-8.
又函数f(x)的值域为[-8,1],
∴y=-12x,a≤x<0的值域为[-8,1]的子集.
∵函数y=-12x在区间[a,0)上单调递增,
∴只需-12a≥-8,-120≤1,解得-3≤a<0.
答案:B
12.已知函数f(x)=3x-1,0≤x<1,2x-1,x≥1,设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围是(　　)
A.23,2 B.-112,+∞
C.-112,-13 D.-13,23
解析:由函数f(x)=3x-1,0≤x<1,2x-1,x≥1,画出其图象如图,

因为函数f(x)在区间[0,1)和[1,+∞)上都是单调函数,所以,若a>b≥0时,f(a)=f(b),必有b∈[0,1),a∈[1,+∞),由图可知,使f(a)=f(b)的b∈23,1,f(a)∈[1,2).所以b·f(a)∈23,2.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知函数f(x)=x-4,x>0,3x,x<0,则f(f(2))=　　　　　. 
解析:f(2)=2-4=-2,f(-2)=3-2=19,
即f(f(2))=19.
答案:19
14.若函数f(x)=2ax-b+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点(2,3),则b的值是　　　　　. 
解析:函数y=2ax经过定点(0,2),而函数f(x)=2ax-b+1(a>0,且a≠1)的图象是把函数y=2ax的图象向右平移b个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,
又∵函数f(x)=2ax-b+1的图象经过定点(2,3),
∴b=2.
答案:2
15.将甲桶中的a升水缓慢注入与甲桶大小一样的空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有a8升,则m=　　　　　. 
解析:根据题意,得12=e5n,令18a=aent,
即18=ent,因为12=e5n,
所以18=123=e5n×3.
即18=e15n,所以t=15,故m=15-5=10.
答案:10
16.关于函数y=2x2-2x-3有以下4个结论:①定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞);②单调递增区间为[1,+∞);③是非奇非偶函数;④值域是116,+∞.其中正确的结论是　　　　　.(填序号) 
解析:①不正确,因为y=2x2-2x-3的定义域为R;
④不正确,因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
∴2x2-2x-3≥2-4=116,即值域为116,+∞;
②正确,因为y=2u为增函数,u=x2-2x-3在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,所以y=2x2-2x-3的单调递增区间为[1,+∞);
③正确,因为f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x).
答案:②③
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)计算:0.064-13-(0.125)0+1634+0.2512;
(2)若a>0,b>0,化简(2a23b12)(-6a12b-13)-36ab-(4a-1).
解:(1)原式=(0.43)-13-1+(24)34+(0.52)12=0.4-1-1+8+0.5=2.5+7+0.5=10.
(2)原式=2×(-6)a23+12b12-13-3a16b16-(4a-1)=4a-4a+1=1.
18.(12分)已知函数f(x)=12ax,a为常数,且函数的图象过点(-1,2).
(1)求a的值;
(2)若g(x)=4-x-2,且g(x)=f(x),求满足条件的x的值.
解:(1)由已知得12-a=2,解得a=1.
(2)由(1)知f(x)=12x,
又g(x)=f(x),则4-x-2=12x,
即12x2-12x-2=0,
令12x=t,则t2-t-2=0,即(t-2)(t+1)=0.
又t>0,故t=2,即12x=2,解得x=-1,
故满足条件的x的值为-1.
19.(12分)已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)-f(x+2).
(1)求g(x)的解析式及定义域;
(2)求函数g(x)的最大值和最小值.
解:(1)∵f(x)=2x,
∴g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2.
∵f(x)的定义域是[0,3],
∴0≤2x≤3,0≤x+2≤3,解得0≤x≤1.
∴g(x)的定义域是[0,1].
(2)由(1)知,g(x)=(2x)2-4×2x
=(2x-2)2-4.
∵x∈[0,1],∴2x∈[1,2].
∴当2x=1,即x=0时,g(x)取得最大值-3;
当2x=2,即x=1时,g(x)取得最小值-4.
20.(12分)若函数f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0,且a≠1)是指数函数,
(1)求k,b的值;
(2)解不等式f(2x-7)>f(4x-3).
解:(1)∵f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0,且a≠1)是指数函数,
∴k+3=1且3-b=0,解得k=-2,且b=3.
(2)由(1)得f(x)=ax(a>0,且a≠1),
则f(2x-7)>f(4x-3),即a2x-7>a4x-3.
当a>1时,函数f(x)=ax为增函数,
则不等式等价于2x-7>4x-3,解得x<-2,
当0<a<1时,函数f(x)为减函数,
则不等式等价于2x-7<4x-3,解得x>-2.
综上,当a>1时,不等式解集为{x|x<-2};
当0<a<1时,不等式解集为{x|x>-2}.
21.(12分)已知函数f(x)=2a-13x+1(a∈R).
(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明.
解:(1)∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即2a-12=0,得a=14.
(2)f(x)在R上是增函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=2a-13x1+1-2a-13x2+1=13x2+1-13x1+1=3x1-3x2(3x1+1)(3x2+1).
∵函数y=3x在R上是增函数,且x1<x2,
∴3x1<3x2,即3x1-3x2<0.
又3x>0,∴3x1+1>0,3x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是增函数.
22.(12分)已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=n-g(x)m+2g(x)满足f(-x)+f(x)=0.
(1)确定函数y=g(x),y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的值域;
(3)若对任意的t∈(-1,4),不等式f(2t-3)+f(t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
解:(1)设g(x)=ax(a>0,且a≠1).
∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2,∴g(x)=2x.
∴f(x)=n-2xm+2x+1.
由已知f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0,即n-12+m=0,得n=1,
∴f(x)=1-2xm+2x+1.
又f(-1)=-f(1),∴1-12m+1=-1-24+m,
解得m=2,
∴f(x)=1-2x2+2x+1.
(2)由(1)知y=f(x)=1-2x2+2x+1,化简得2x=1-2y1+2y.
∵2x>0,∴1-2y1+2y>0,即2y-12y+1<0,
等价于(2y-1)(2y+1)<0,解得-12<y<12,
故函数y=f(x)的值域为-12,12.
(3)由(1)知f(x)=1-2x2+2x+1=-12+12x+1,易知f(x)在R上为减函数.
又f(x)是奇函数,∴f(2t-3)+f(t2-k)<0,即f(2t-3)<-f(t2-k)=f(k-t2).
∵f(x)在R上为减函数,∴2t-3>k-t2,
即对一切t∈(-1,4),有t2+2t-3>k恒成立,
令m(t)=t2+2t-3,t∈(-1,4),易知m(t)>-4,
∴k≤-4,即实数k的取值范围是(-∞,-4].