2021-2022学年高中数学-第2章-函数-3-函数的单调性和最值巩固练习北师大版必修第一册.docx

2021-2022学年高中数学 第2章 函数 3 函数的单调性和最值巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 函数 3 函数的单调性和最值巩固练习北师大版必修第一册

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§3　函数的单调性和最值
课后训练·巩固提升
一、A组
1.下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=1x+1 B.y=2x-1
C.y=-x D.y=x2-3x
解析:A中函数在区间(0,+∞)上单调递减;B中函数在区间(0,+∞)上单调递增;C中函数在区间(0,+∞)上单调递减;D中函数在区间(0,+∞)上不具有单调性.
答案:B
2.若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(　　)
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:因为函数f(x)=ax+1在R上是减函数,
所以a<0,
所以g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间.
又函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间为(-∞,2],
故g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(-∞,2].
答案:B
3.若函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,8]上是单调函数,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-∞,40] 　 B.(40,64)
C.(-∞,40]∪[64,+∞) 　D.[64,+∞)
解析:由f(x)=4x2-kx-8=4x-k82-k216-8,得函数图象的对称轴为直线x=k8,又函数f(x)在区间[5,8]上是单调函数,则k8≤5或k8≥8,解得k≤40或k≥64.
答案:C
4.函数g(x)=x2-4x+3在区间(1,4]上的值域是(　　)
A.[-1,+∞) B.[0,3]
C.(-1,3] D.[-1,3]
解析:g(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=2时,g(x)取最小值-1;
当x=4时,g(x)取最大值3,
所以函数g(x)在区间(1,4]上的值域为[-1,3].
答案:D
5.已知函数f(x)=(a+3)x-5,x≤1,2ax,x>1是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是　　　　　. 
解析:依题意得a+3>0,2a<0,解得-3<a<0.
又f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以在分段点处需满足(a+3)×1-5≤2a,即a-2≤2a,即a≥-2.
综上可得,实数a的取值范围是-2≤a<0.
答案:[-2,0)
6.若函数y=ax+1(a>0)在区间[1,3]上的最大值为4,则a=　　　　　. 
解析:∵a>0,
∴函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递增,
∴ymax=3a+1=4,解得a=1.
答案:1
7.函数y=-x2+3x,x>0,x2-3x,x≤0的单调递增区间是　　　　　　　　　　. 
解析:画出函数y=-x2+3x,x>0,x2-3x,x≤0的图象(草图)如图,观察图象知函数的单调递增区间是0,32.

答案:0,32
8.已知函数f(x)=2x-1(x∈[2,6]).
(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)求函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是减函数.
证明:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2-1=2[(x2-1)-(x1-1)](x1-1)(x2-1)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1).
由2≤x1<x2≤6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=2x-1是区间[2,6]上的减函数.
(2)由(1)可知,函数f(x)=2x-1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值,即在x=2处取得最大值,最大值是2,在x=6处取得最小值,最小值是25.
9.已知函数f(x)=a-2x.
(1)若2f(1)=f(2),求a的值;
(2)判断f(x)在区间(-∞,0)上的单调性并用定义证明.
解:(1)∵2f(1)=f(2),
∴2(a-2)=a-1,
∴a=3.
(2)f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,证明如下:
任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=a-2x1-a-2x2
=2x2-2x1=2(x1-x2)x1x2.
∵x1<x2<0,
∴x1x2>0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)=a-2x在区间(-∞,0)上是增函数.
10.如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2 m,渠深为1.8 m,斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)

(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;
(2)画出函数的图象;
(3)确定函数的定义域和值域.
解:(1)由已知,横断面中的水面为一等腰梯形,下底为2m,上底为(2+2h)m,高为hm,
则水的面积A=[2+(2+2h)]h2=(h2+2h)m2.
(2)由于A=(h2+2h)=(h+1)2-1,其图象的对称轴为直线h=-1,顶点坐标为(-1,-1),且图象过(0,0)和(-2,0)两点,又考虑到0<h<1.8,
∴A=h2+2h的图象仅是抛物线的一部分,如图所示.

(3)定义域为{h|0<h<1.8},值域由一元二次函数A=h2+2h(0<h<1.8)求得.
由(2)中函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知,在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大,
∴0<A<6.84,故函数的值域为{A|0<A<6.84}.
二、B组
1.已知函数f(x)=1x,则函数y=f(x-1)+1的单调递减区间为(　　)
A.(0,1) B.(-∞,0)
C.{x|x≠1} D.(-∞,1)和(1,+∞)
解析:因为函数f(x)=1x的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞),又y=f(x-1)+1=1x-1+1,故可知y=1x-1+1的单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞).
答案:D
2.函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,-ax,x≥1是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.18,13 B.0,13
C.0,13 D.-∞,13
解析:由函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数知,一方面要满足每一段函数是单调递减的,则有3a-1<0,且-a<0,解得0<a<13;另一方面整个函数表现为单调递减,则需要在分段点处的值满足(3a-1)×1+4a≥-a×1,解得a≥18.综上可知,实数a的取值范围是18≤a<13.
答案:A
3.函数f(x)=-x+1x在区间-2,-13上的最大值是(　　)
A.32 B.-83 C.-2 D.2
解析:因为函数f(x)=-x+1x在区间-2,-13上单调递减,
所以当x=-2时取得最大值,且为2-12=32.
答案:A
4.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f12的实数x的取值范围为　　　　　　　　. 
解析:由题意得-1≤x≤1,x<12,解得-1≤x<12.
答案:-1,12
5.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是　　　　　. 
解析:在同一坐标系中分别画出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,在每一区间段上,取三个函数图象中位于最下方的部分图象,得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.
由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.

答案:6
6.已知函数y=f(x)(x>0)满足:f(xy)=f(x)+f(y),当x<1时,f(x)>0,且f12=1.
(1)证明:y=f(x)是(0,+∞)上的减函数;
(2)解不等式f(x-3)>f1x-2.
(1)证明:设0<x1<x2,则0<x1x2<1,
由题意f(x1)-f(x2)=fx1x2·x2-f(x2)
=fx1x2+f(x2)-f(x2)=fx1x2>0,
即f(x1)>f(x2),∴y=f(x)是(0,+∞)上的减函数.
(2)解:由函数的定义域知x-3>0,1x>0,解得x>3.
又∵f12=1,
∴f14=f12×12=f12+f12=1+1=2.
由f(x-3)>f1x-2,得f(x-3)+2>f1x,即f(x-3)+f14>f1x,
即fx-34>f1x,
由(1)得x-34<1x,解得-1<x<4.
综上所述,所求不等式的解集为(3,4).
7.已知函数f(x)=2x-1x+1.
(1)判断并证明函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;
(2)若x∈[1,m]时函数f(x)的最大值与最小值的差为12,求m的值.
解:(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=2-3x1+1-2-3x2+1=3(x1-x2)(x1+1)(x2+1).
因为x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知f(x)在区间[1,m]上单调递增,
所以f(m)-f(1)=12,即2m-1m+1-12=12,
解得m=2.
8.函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
解:∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,
∴f(2)=3.
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2).
任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则x2-x1>0,f(x2-x1)>1.
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
∴f(x2)>f(x1).
故f(x)在R上是增函数.
∴3m2-m-2<2,解得-1<m<43.
故原不等式的解集为-1,43.
9.已知函数f(x)=x2-ax,a∈R.记f(x)在x∈[1,2]上的最大值为M,最小值为m.
(1)若M=f(2),求实数a的取值范围;
(2)证明:M-m≥14.
(1)解:函数f(x)=x2-ax,x∈[1,2],其图象的对称轴为直线x=a2,且开口向上.
∴M={f(1),f(2)}max.
∵f(1)=1-a,f(2)=4-2a,
当1-a≥4-2a时,即a≥3时,M=f(1)=1-a,
当1-a≤4-2a时,即a≤3时,M=f(2)=4-2a.
∵M=f(2),∴实数a的取值范围为(-∞,3].
(2)证明:①当a2≥2时,即a≥4时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,
∴M=f(1)=1-a,m=f(2)=4-2a,
∴M-m=1-a-4+2a=a-3≥1>14.
②当a2≤1时,即a≤2时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,∴M=f(2)=4-2a,m=f(1)=1-a,
∴M-m=4-2a-1+a=3-a≥1>14.
③当1<a2<32,即2<a<3时,M=f(2)=4-2a,m=fa2=-14a2,∴M-m=4-2a+14a2=14(a-4)2,记函数y=4-2a+14a2,其在区间[2,3]上单调递减,
∴ymin=14,∴M-m≥14;
④当32≤a2<2,即3≤a<4时,M=f(1)=1-a,m=fa2=-14a2,∴M-m=1-a+14a2=14(a-2)2,记函数y=1-a+14a2,其在区间[3,4]上单调递增,∴ymin=14,∴M-m≥14.
综上所述,M-m≥14.