2021-2022学年高中数学-第2章-函数-3-函数的单调性和最值巩固练习北师大版必修第一册.docx

2021-2022学年高中数学 第2章 函数 3 函数的单调性和最值巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 函数 3 函数的单调性和最值巩固练习北师大版必修第一册

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§3　函数的单调性和最值
课后训练·巩固提升
一、A组
1.下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=1x+1 B.y=2x-1
C.y=-x D.y=x2-3x
解析:A中函数在区间(0,+∞)上单调递减;B中函数在区间(0,+∞)上单调递增;C中函数在区间(0,+∞)上单调递减;D中函数在区间(0,+∞)上不具有单调性.
答案:B
2.若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(　　)
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:因为函数f(x)=ax+1在R上是减函数,
所以a<0,
所以g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间.
又函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间为(-∞,2],
故g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(-∞,2].
答案:B
3.若函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,8]上是单调函数,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-∞,40] 　 B.(40,64)
C.(-∞,40]∪[64,+∞) 　D.[64,+∞)
解析:由f(x)=4x2-kx-8=4x-k82-k216-8,得函数图象的对称轴为直线x=k8,又函数f(x)在区间[5,8]上是单调函数,则k8≤5或k8≥8,解得k≤40或k≥64.
答案:C
4.函数g(x)=x2-4x+3在区间(1,4]上的值域是(　　)
A.[-1,+∞) B.[0,3]
C.(-1,3] D.[-1,3]
解析:g(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=2时,g(x)取最小值-1;
当x=4时,g(x)取最大值3,
所以函数g(x)在区间(1,4]上的值域为[-1,3].
答案:D
5.已知函数f(x)=(a+3)x-5,x≤1,2ax,x>1是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是　　　　　. 
解析:依题意得a+3>0,2a<0,解得-30)在区间[1,3]上的最大值为4,则a=　　　　　. 
解析:∵a>0,
∴函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递增,
∴ymax=3a+1=4,解得a=1.
答案:1
7.函数y=-x2+3x,x>0,x2-3x,x≤0的单调递增区间是　　　　　　　　　　. 
解析:画出函数y=-x2+3x,x>0,x2-3x,x≤0的图象(草图)如图,观察图象知函数的单调递增区间是0,32.

答案:0,32
8.已知函数f(x)=2x-1(x∈[2,6]).
(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)求函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是减函数.
证明:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1x2-1=2[(x2-1)-(x1-1)](x1-1)(x2-1)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1).
由2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=2x-1是区间[2,6]上的减函数.
(2)由(1)可知,函数f(x)=2x-1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值,即在x=2处取得最大值,最大值是2,在x=6处取得最小值,最小值是25.
9.已知函数f(x)=a-2x.
(1)若2f(1)=f(2),求a的值;
(2)判断f(x)在区间(-∞,0)上的单调性并用定义证明.
解:(1)∵2f(1)=f(2),
∴2(a-2)=a-1,
∴a=3.
(2)f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,证明如下:
任取x1,x2∈(-∞,0),且x10,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1))试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;
(2)画出函数的图象;
(3)确定函数的定义域和值域.
解:(1)由已知,横断面中的水面为一等腰梯形,下底为2m,上底为(2+2h)m,高为hm,
则水的面积A=[2+(2+2h)]h2=(h2+2h)m2.
(2)由于A=(h2+2h)=(h+1)2-1,其图象的对称轴为直线h=-1,顶点坐标为(-1,-1),且图象过(0,0)和(-2,0)两点,又考虑到0得.
由(2)中函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知,在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大,
∴0x<1,-ax,x≥1是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.18,13 B.0,13
C.0,13 D.-∞,13
解析:由函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数知,一方面要满足每一段函数是单调递减的,则有3a-1<0,且-a<0,解得0间-2,-13上单调递减,
所以当x=-2时取得最大值,且为2-12=32.
答案:A
4.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.
由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.

答案:6
6.已知函数y=f(x)(x>0)满足:f(xy)=f(x)+f(y),当x<1时,f(x)>0,且f12=1.
(1)证明:y=f(x)是(0,+∞)上的减函数;
(2)解不等式f(x-3)>f1x-2.
(1)证明:设00,
即f(x1)>f(x2),∴y=f(x)是(0,+∞)上的减函数.
(2)解:由函数的定义域知x-3>0,1x>0,解得x>3.
又∵f12=1,
∴f14=f12×12=f12+f12=1+1=2.
由f(x-3)>f1x-2,得f(x-3)+2>f1x,即f(x-3)+f14>f1x,
即fx-34>f1x,
由(1)得x-34<1x,解得-1x10时,f(x)>1.若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
解:∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,
∴f(2)=3.
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)0,f(x2-x1)>1.
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
∴f(x2)>f(x1).
故f(x)在R上是增函数.
∴3m2-m-2<2,解得-1a的取值范围;
(2)证明:M-m≥14.
(1)解:函数f(x)=x2-ax,x∈[1,2],其图象的对称轴为直线x=a2,且开口向上.
∴M={f(1),f(2)}max.
∵f(1)=1-a,f(2)=4-2a,
当1-a≥4-2a时,即a≥3时,M=f(1)=1-a,
当1-a≤4-2a时,即a≤3时,M=f(2)=4-2a.
∵M=f(2),∴实数a的取值范围为(-∞,3].
(2)证明:①当a2≥2时,即a≥4时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,
∴M=f(1)=1-a,m=f(2)=4-2a,
∴M-m=1-a-4+2a=a-3≥1>14.
②当a2≤1时,即a≤2时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,∴M=f(2)=4-2a,m=f(1)=1-a,
∴M-m=4-2a-1+a=3-a≥1>14.
③当1