2021-2022学年高中数学-第2章-函数-习题课—函数性质的综合应用巩固练习北师大版必修第一册.docx

2021-2022学年高中数学 第2章 函数 习题课—函数性质的综合应用巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 函数 习题课—函数性质的综合应用巩固练习北师大版必修第一册

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习题课——函数性质的综合应用
课后训练·巩固提升
一、A组
1.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系成立的是(　　)
A.f(-3)>f(0)>f(1)
B.f(-3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(-3)
D.f(1)>f(-3)>f(0)
解析:∵f(-3)=f(3),且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(-3)>f(1)>f(0).
答案:B
2.已知函数f(x)=3x-3x(x≠0),则函数(　　)
A.是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递减
B.是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减
C.是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增
D.是偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增
解析:∵f(x)=3x-3x(x≠0),
∴f(-x)=-3x+3x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
∵函数y=3x和y=-3x(x≠0)在区间(0,+∞)上均单调递增,
∴函数f(x)=3x-3x(x≠0)在区间(0,+∞)上单调递增,故选C.
答案:C
3.若对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),则函数f(x)满足(　　)
A.f(0)=0且f(x)为奇函数
B.f(0)=0且f(x)为偶函数
C.f(x)为增函数且为奇函数
D.f(x)为增函数且为偶函数
解析:∵对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
答案:A
4.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x)<f13的x的取值范围是　　　　　. 
解析:∵函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|),于是f(2x)<f13可化为f(|2x|)<f13.又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴|2x|<13,解得-16<x<16,即x的取值范围是-16,16.
答案:-16,16
5.定义在区间[-1,1]上的函数y=f(x)是增函数,且是奇函数,若f(a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.
解:由题意,f(a-1)+f(4a-5)>0,
即f(a-1)>-f(4a-5).
又因为函数y=f(x)为奇函数,
所以f(a-1)>f(5-4a).
又函数y=f(x)在区间[-1,1]上是增函数,
所以-1≤a-1≤1,-1≤5-4a≤1,a-1>5-4a,
解得0≤a≤2,1≤a≤32,a>65,所以65<a≤32.
所以实数a的取值范围是65,32.
二、B组
1.已知定义域为R的函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是(　　)
A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2)
C.f(1)>f(2) D.f(1)>f(3)
解析:∵函数y=f(x+2)为偶函数,
∴f(-x+2)=f(x+2),即f(2+x)=f(2-x),
∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称.
又∵函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,
∴函数f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,画出函数f(x)的图象(图略),
可得f(0)>f(1),f(0)>f(2),f(1)>f(2),f(1)=f(3).
答案:D
2.已知f(x)是定义在区间[a,b]上的奇函数,且f(x)在区间[a,b]上的最大值为m,则函数F(x)=f(x)+3在区间[a,b]上的最大值与最小值之和为(　　)
A.2m+3 B.2m+6
C.6-2m D.6
解析:因为奇函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为m,
所以它在区间[a,b]上的最小值为-m,
所以函数F(x)=f(x)+3在区间[a,b]上的最大值与最小值之和为m+3+(-m+3)=6.
答案:D
3.函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列说法:①f(0)=0;②若f(x)在区间[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在区间(-∞,0]上有最大值1;③若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则f(x)在区间(-∞,-1]上单调递减;④若x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时,f(x)=-x2-2x.其中正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,①正确;其图象关于原点对称,且在对称区间上具有相同的单调性,最值互为相反数,所以②正确,③不正确;对于④,设x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-2x,④正确.
答案:C
4.已知函数y=f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在区间[1,+∞)上单调递增,若x1<0,x2>0,且x1+x2<-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是(　　)
A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)<f(-x2)
C.f(-x1)=f(-x2) D.无法确定
解析:因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),即f(-x)=f(x+2),由x1<0,x2>0,
且x1+x2<-2,得-x1>2+x2>2.
又y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
所以f(-x1)>f(2+x2)=f(-x2).
答案:A
5.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则函数g(x)=kx2+2x-3的单调递减区间是　　　　　. 
解析:由函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,可得k=1,
所以函数g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.
故函数图象开口向上,对称轴为直线x=-1.
因而函数g(x)=kx2+2x-3的单调递减区间是(-∞,-1].
答案:(-∞,-1]
6.定义在R上的函数y=f(x)在区间(-∞,2)上单调递增,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f512的大小关系是　　　　　. 
解析:因为y=f(x+2)为偶函数,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
又y=f(x)在区间(-∞,2)上单调递增,所以y=f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,画出函数y=f(x)的草图(图略)可知f512<f(-1)<f(4).
答案:f512<f(-1)<f(4)
7.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,求满足f(2x-1)>f13的x的取值范围.
解:因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|),所以f(2x-1)=f(|2x-1|),
所以不等式f(2x-1)>f13转化为f(|2x-1|)>f13,
因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,
所以|2x-1|<13,即-13<2x-1<13,解得13<x<23.
所以满足f(2x-1)>f13的x的取值范围是x13<x<23.