2021-2022学年高中数学-第2章-函数-4.1-函数的奇偶性巩固练习北师大版必修第一册.docx

2021-2022学年高中数学 第2章 函数 4.1 函数的奇偶性巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 函数 4.1 函数的奇偶性巩固练习北师大版必修第一册

年级：
姓名：

4.1　函数的奇偶性
课后训练·巩固提升
一、A组
1.函数f(x)=x2+3(　　)
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
解析:因为函数f(x)=x2+3的定义域为R,且f(-x)=(-x)2+3=x2+3=f(x),故f(x)为偶函数.
答案:B
2.函数f(x)=x3+1x的图象关于(　　)
A.原点对称 B.y轴对称
C.y=x对称 D.y=-x对称
解析:函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3+1-x=-x3+1x=-f(x),所以f(x)是奇函数.故其图象关于原点对称.
答案:A
3.设f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x2-x,
∴f(1)=f(-1)=2·(-1)2-(-1)=2+1=3.
故选D.
答案:D
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且有f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是(　　)
A.f(-1)<f(3) B.f(0)<f(5)
C.f(3)>f(2) D.f(2)>f(0)
解析:因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1).
又f(3)>f(1),所以f(3)>f(-1).
而B,C,D项中的各式大小关系不确定.
答案:A
5.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析:把x=-1代入f(x)-g(x)=x3+x2+1,得f(-1)-g(-1)=1.
又f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1)=1.
答案:C
6.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　　　　,b=　　　　　. 
解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,
所以a-1=-2a,解得a=13.
又函数f(x)=13x2+bx+b+1为偶函数,结合偶函数图象的特点,易得b=0.
答案:13　0
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-1)+f(0)+f(1)=　　　　　. 
解析:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-1)=-f(1),f(0)=0,
∴f(-1)+f(0)+f(1)=-f(1)+0+f(1)=0.
答案:0
8.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x,求f(-2)的值.
解:因为当x>0时,f(x)=x2+1x,
所以f(2)=22+12=92.
又因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=-92.
二、B组
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1-x),则当x<0时,f(x)=(　　)
A.-x(x-1) B.-x(x+1)
C.x(x-1) D.x(x+1)
解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1+x).
又f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),
即-f(x)=-x(1+x),所以f(x)=x(1+x).
答案:D
2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数,也不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
即ax2-bx+c=ax2+bx+c,
所以b=0,此时g(x)=ax3+cx(a≠0),
由于g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-(ax3+cx)=-g(x),所以g(x)是奇函数.
答案:A
3.函数f(x)=x2+ax-b,x>0,0,x=0,g(x),x<0在区间a+4a,-b2+4b上满足f(-x)+f(x)=0,则g(-2)的值为(　　)
A.-22 B.22 C.-2 D.2
解析:由题意知f(x)是区间a+4a,-b2+4b上的奇函数,∴a+4a-b2+4b=0,且a<0,
∴(b-2)2+-a-2-a2=0,
解得b=2,a=-2,
∴g(-2)=-f(2)=-2-2a+b=22.
答案:B
4.已知偶函数f(x)满足f(x+2)=xf(x)(x∈R),则f(1)=　　　　　. 
解析:令x=-1,则f(-1+2)=-f(-1),
即f(1)=-f(-1).又f(x)为偶函数,
所以f(-1)=f(1),
所以f(1)=-f(1),得f(1)=0.
答案:0
5.已知f(x)是定义在区间[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域是　　　　　　　. 

解析:由题中图象可知,当x∈(0,2]时,2<f(x)≤3.
因为f(x)为奇函数,
所以当x∈[-2,0)时,有-3≤f(x)<-2,
所以函数f(x)的值域为[-3,-2)∪(2,3].
答案:[-3,-2)∪(2,3]
6.已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.
(1)试求f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间.
解:(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称,
所以函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.
设x<0,则-x>0,
又x>0时,f(x)=x2-2x+3,
所以x<0时,有f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3.
于是有f(x)=x2-2x+3,x>0,0,x=0,-x2-2x-3,x<0.
(2)先画出函数f(x)在y轴右侧的图象,再根据对称性画出y轴左侧的图象,如图.

由图象可知,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间是[-1,0),(0,1].