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2021-2022学年高中数学 第5章 函数应用测评巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第5章 函数应用测评巩固练习北师大版必修第一册

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第五章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)的图象与x轴有3个交点,则方程f(x)=0的实数解的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:因为函数f(x)的图象与x轴有3个交点,所以函数f(x)有3个零点,即方程f(x)=0有3个实数解.
答案:D
2.函数y=x的零点是(　　)
A.0 B.(0,0) C.(1,0) D.1
解析:函数y=x的零点是其图象与x轴交点的横坐标,为0,它是一个实数,而不是点,故选A.
答案:A
3.函数f(x)=x3-12x-2的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,-4)
解析:因为函数f(x)=x3-12x-2在R上为增函数,f(1)=13-121-2=1-2=-1<0,f(2)=23-122-2=8-1=7>0,所以零点所在的区间为(1,2).
答案:B
4.函数f(x)的图象如图所示,则能用二分法求出的函数f(x)的零点个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
解析:能用二分法求出的零点,必须满足零点左右两侧的函数值异号,由题图可知,满足条件的零点只有3个.
答案:C
5.若f(x)是一个一元二次函数,且满足f(2+x)=f(2-x),该函数有两个零点x1,x2,则x1+x2=(　　)
A.0 B.2 C.4 D.无法判断
解析:由f(2+x)=f(2-x)知f(x)的图象关于直线x=2对称.
所以x1+x2=4.
答案:C
6.夏季高山温度从山脚起每升高100 m,降低0.7 ℃,已知山顶的温度是14.1 ℃,山脚的温度是26 ℃,则山的相对高度为(　　)
A.1 750 m B.1 730 m C.1 700 m D.1 680 m
解析:设从山脚起升高x百米时,温度为y℃,根据题意得y=26-0.7x,山顶温度是14.1℃,代入得14.1=26-0.7x,得x=17(百米),∴山的相对高度是1700m.
答案:C
7.下表是某次测量中两个变量x,y的一组数据,若将y表示为关于x的函数,则最可能的函数模型是(　　)
x
2
3
4
5
6
7
8
9
y
0.63
1.01
1.26
1.46
1.63
1.77
1.89
1.99

A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
解析:对于A,由于x均匀增加1,而y值不是均匀递增,故不是一次函数模型;对于B,由于该函数是增函数,故不是二次函数模型;对于C,由于指数函数y=ax过点(0,1),故不是指数函数模型,故选D.
答案:D
8.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策,其政策的主要内容包括:(1)个税起征点为5 000元;(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除;(3)专项附加扣除包括:①赡养老人费用,②子女教育费用,③继续教育费用,④大病医疗费用等,其中前两项的扣除标准为:①赡养老人费用:每月扣除2 000元,②子女教育费用:每个子女每月扣除1 000元,新的个税政策的税率表部分内容如下:
级数
一级
二级
三级
每月应纳税所得额x元(含税)
x≤3 000
3 000<x≤12 000
12 000<x≤25 000
税率
3
10
20

现有李某月收入为18 000元,膝下有一名子女在读高三,需赡养老人,除此之外无其他专项附加扣除,则他该月应交纳的个税金额为(　　)
A.1 800 B.1 000 C.790 D.560
解析:由题意可得李某该月应纳税所得额(含税)=18000-5000-2000-1000=10000(元),
所以依据新的个税政策的税率,他该月应交纳的个税金额为3000×3%+(10000-3000)×10%=790(元).
答案:C
9.某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示:
f(2)≈-1.306 9
f(3)≈1.098 6
f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512
f(2.625)≈0.215
f(2.562 5)≈0.066

则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　)
A.2.52 B.2.625 C.2.66 D.2.75
解析:由表格可知,方程f(x)=lnx+2x-6=0的近似解在区间(2.5,2.5625),(2.5,2.625),(2.5,2.75)内,
又|2.5625-2.5|=0.0625<0.1,
所以所求方程精确度为0.1的近似解在区间(2.5,2.5625)内.
据此分析选项,A中2.52符合.
答案:A
10.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直线x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为(　　)

解析:当0≤t≤1时,f(t)=12t·2t=t2,当1≤t≤2时,f(t)=12×2×(1+2)-2(2-t)=2t-1,所以当t∈[0,1]时图象是抛物线的一部分,当t∈[1,2]时图象是一条线段,故选C.
答案:C
11.设函数f(x)=x2+bx+c,x≤0,2,x>0,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:∵f(x)=x2+bx+c,x≤0,2,x>0,
∴f(0)=c,f(-4)=16-4b+c,f(-2)=4-2b+c,
又f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
∴16-4b+c=c,4-2b+c=-2,解得b=4,c=2,
∴f(x)=x2+4x+2,x≤0,2,x>0,
求方程f(x)=x的解的个数,即求函数f(x)与y=x两图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)与y=x的图象,如图所示.

由图可知,直线y=x与曲线y=f(x)有3个交点,
∴关于x的方程f(x)=x有3个解.
答案:C
12.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在区间[a,b]上是“关联函数”,[a,b]称为“关联区间”,若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在区间[0,3]上是“关联函数”,则实数m的取值范围是(　　)
A.-94,+∞ B.-94,-2
C.(-∞,-2] D.[-1,0]
解析:∵f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在区间[0,3]上是“关联函数”,
故函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在区间[0,3]上有两个不同的零点,
故有h(0)≥0,h(3)≥0,h52<0即4-m≥0,-2-m≥0,254-252+4-m<0,
解得-94<m≤-2.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.函数f(x)=(x2-3)(x2-2x-3)的零点为　　　　　　　　. 
解析:令f(x)=0,得x=±3,或x=3,或x=-1.
答案:±3,3,-1
14.用一根长为12 m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是　　　　　. 
解析:设框架的一边长为xm,则另一边长为(6-x)m.
设框架面积为ym2,则y=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9(0<x<6),所以ymax=9,即能弯成的框架的最大面积是9m2.
答案:9 m2
15.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在区间(-∞,0)内的零点有2 012个,则f(x)的零点的个数为　　　　　. 
解析:因为f(x)为奇函数,且在区间(-∞,0)内有2012个零点,由奇函数的对称性知,在(0,+∞)内也有2012个零点,又x∈R,所以f(0)=0,因此共有4025个零点.
答案:4 025
16.已知函数f(x)(x∈R)满足f(2-x)=-f(x),若函数y=1x-1与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),则x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4=　　　　　. 
解析:函数f(x)(x∈R)满足f(2-x)=-f(x),
∴f(x)的图象关于点(1,0)对称,
而函数y=1x-1的图象也关于点(1,0)对称,
∴函数y=1x-1与y=f(x)的图象的交点也关于点(1,0)对称,
∴x1+x2+x3+x4=4,y1+y2+y3+y4=0,
∴x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4=4.
答案:4
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出:
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=x2+x+2;
(3)f(x)=x3+1.
解:(1)因为f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)·(x-1),
令f(x)=0,可解得x=-18或x=1,
所以函数的零点为-18和1.
(2)令x2+x+2=0,因为Δ=12-4×1×2=-7<0,所以方程无实数解.
所以函数f(x)=x2+x+2不存在零点.
(3)因为f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),
令(x+1)(x2-x+1)=0,解得x=-1.
所以函数的零点为-1.
18.(12分)已知函数f(x)=x2-x+m的零点都在区间(0,2)内,求实数m的取值范围.
解:由题意可得f(0)>0,f(2)>0,f12≤0即m>0,4-2+m>0,14-12+m≤0,
解得0<m≤14.所以实数m的取值范围是0,14.
19.(12分)已知函数f(x)=lgx,x≥32,lg(3-x),x<32.
若方程f(x)=k无实数解,求实数k的取值范围.
解:当x≥32时,函数f(x)=lgx是增函数,
∴f(x)∈lg32,+∞;
当x<32时,函数f(x)=lg(3-x)是减函数,
∴f(x)∈lg32,+∞.故f(x)∈lg32,+∞.
要使方程无实数解,则k<lg32.
故实数k的取值范围是-∞,lg32.
20.(12分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:若存在实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)≤0即可,
即f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,解得a≤-15,或a≥1.
检验:a.当f(-1)=0时a=1,所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.
方程f(x)=0在区间[-1,3]上有两解,不合题意,故a≠1.
b.当f(3)=0时a=-15,
此时f(x)=x2-135x-65.
令f(x)=0,即x2-135x-65=0.
解得x=-25,或x=3.
方程f(x)=0在区间[-1,3]上有两解,不合题意,故a≠-15.
综上所述,a∈-∞,-15∪(1,+∞).
21.(12分)某工艺公司要对某种工艺品深加工.已知每个工艺品进价为20元,每个的加工费为n元,销售单价为x元.根据市场调查,须有n∈[3,6],x∈[26,32],x∈N,同时日销售量m(单位:个)与10-x成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时,日销售量为1 000个.
(1)写出日销售利润y(单位:元)与x的函数关系式;
(2)当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,试确定销售单价x的值.(提示:函数y=10x-26与y=x-25的图象在区间[26,32]上有且只有一个公共点)
解:(1)设m=k·10-x=k10x,x∈[26,32],
当x=29时m=1000,则k=1032,
∴m=103210x=1032-x,x∈[26,32],
∴y=m(x-20-n)=(x-20-n)·1032-x,x∈[26,32],x∈N.
(2)当n=5时,y=(x-25)·1032-x=100×104=106.
整理得x-25=10x-26.
∵函数y=10x-26与y=x-25的图象在区间[26,32]上有且只有一个公共点,且当x=26时,等式成立,
∴x=26是方程x-25=10x-26的唯一的根,
∴当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,销售单价为26元.
22.(12分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=32a-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=14a+2,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
解:(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,
所以总收益f(50)=32×50-6+14×70+2=43.5(万元).
(2)由题知,甲城市投资x万元,则乙城市投资(120-x)万元,
所以f(x)=32x-6+14(120-x)+2=-14x+32x+26,
依题意得x≥40,120-x≥40,解得40≤x≤80.
故f(x)=-14x+32x+26(40≤x≤80).
令t=x,则t∈[210,45],
所以y=-14t2+32t+26=-14(t-62)2+44.
当t=62,即x=72时,y取最大值,为44.
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大总收益为44万元.