2021-2022学年高中数学-综合测评(B)巩固练习(含解析)北师大版必修第一册.docx

2021-2022学年高中数学 综合测评（B）巩固练习（含解析）北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 综合测评（B）巩固练习（含解析）北师大版必修第一册

年级：
姓名：

综合测评(B)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若集合A={x|x2≤1},则下列结论正确的是(　　)
A.-2∉A B.-2∈A
C.{-2}∈A D.{-2}⊆A
解析:集合A={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},显然-2∉A.故选A.
答案:A
2.函数f(x)=1-2x+1x+3的定义域为(　　)
A.(-3,0] B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]
解析:由题意知1-2x≥0,x+3>0,解得-3<x≤0,所以f(x)的定义域为(-3,0].
答案:A
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+1),则f(-3)=(　　)
A.-2 B.-1 C.2 D.1
解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+1),所以f(-3)=-f(3)=-log2(3+1)=-log24=-2.
答案:A
4.下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为(　　)
x
-2
-1
0
1
2
3
y
116
0.26
1.11
3.96
16.05
63.98

A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.对数函数模型 D.指数函数模型
解析:由题表中数据可知函数值都大于0,并且近似f(0)=1,函数是单调递增函数,而且函数值增加的速度越来越快,符合指数函数的类型,近似于y=4x.故选D.
答案:D
5.设a=5737,b=3757,c=3737,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.b<c<a B.a<b<c
C.a<c<b D.c<a<b
解析:因为指数函数y=37x在R上单调递减,57>37,所以3757<3737,即b<c.又因为幂函数y=x37在区间(0,+∞)上单调递增,57>37,所以5737>3737,即a>c.所以b<c<a.故选A.
答案:A
6.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(　　)
A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内
解析:∵当x→-∞时,f(x)>0;
当x→+∞时,f(x)>0.
f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,
∴f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0.
∴在区间(a,b)和(b,c)内有零点.
答案:A
7.抛掷一枚质地均匀的骰子1次,观察骰子掷出的点数,记事件A为“掷出的点数是奇数”,事件B为“掷出的点数是偶数”,事件C为“掷出的点数是2的倍数”,事件D为“掷出的点数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是(　　)
A.A与B B.B与C C.A与D D.B与D
解析:事件A与事件D互斥,但不对立.故选C.
答案:C
8.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(　　)
A.15 B.25 C.825 D.925
解析:样本空间的样本点总数为10,事件“甲被选中”包含的样本点个数为4,故所求概率为P=25.故选B.
答案:B
9.一个容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2

则样本数据落在区间[10,40)内的频率为(　　)
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
解析:样本数据落在区间[10,40)内的频数为2+3+4=9,样本容量为20,故样本数据落在区间[10,40)内的频率为920=0.45.故选B.
答案:B
10.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,其他15位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是(　　)
A.平均数 B.极差 C.中位数 D.方差
解析:判断能否进入决赛,只要判断是不是前8名,所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8名的成绩即可.其成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.
答案:C
11.数学建模的一般步骤,下列选项中顺序正确的是(　　)
A.提出问题→求解模型→建立模型→检验结果
B.建立模型→求解模型→提出问题→检验结果
C.提出问题→建立模型→求解模型→检验结果
D.求解模型→提出问题→检验结果→建立模型
答案:C
12.不等式2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是(　　)
A.-3<x<12 B.-1<x<6
C.-12<x<0 D.-12<x<3
解析:不等式2x2-5x-3<0的解集是x-12<x<3.
对于A,是2x2-5x-3<0的既不充分也不必要条件;
对于B,是2x2-5x-3<0的必要不充分条件;
对于C,是2x2-5x-3<0的充分不必要条件;
对于D,是2x2-5x-3<0的充要条件.故选B.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.一枚硬币连续抛掷三次,样本空间的样本点总数为　. 
解析:画树状图:
由树状图得样本点总数是8.
答案:8
14.利用分层随机抽样的方法在学生总数为1 200的年级中抽取30名学生,其中女生人数是14,则该年级男生人数为　　　　　. 
解析:分层随机抽样的抽取比例为301200=140.又女生抽到了14人,所以女生人数为560.从而男生人数为1200-560=640.故答案为640.
答案:640
15.现有两个数列记作Xm,Yn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为　　　　　. 
解析:由题意知m的可能取值为1,2,3,…,7;
n的可能取值为1,2,3,…,9.
因为是任取m,n,所以当m=1时,n可取1,2,3,…,9,共9种情况.
当m取2,3,…,7时,n也各有9种情况.
故m,n的取值情况共有7×9=63(种).
若m,n都取奇数,则m的可能取值为1,3,5,7,n的可能取值为1,3,5,7,9.
因此满足条件的情形有4×5=20(种).
故所求概率为2063.
答案:2063
16.已知函数f(x)=log2x,x≥1,x2+m2,x<1,若f(f(-1))=2,则实数m=　　　　　. 
解析:由题意得f(-1)=m2+1≥1,所以f(f(-1))=f(m2+1)=log2(m2+1)=2.
因此,m2+1=4,解得m=±3.故答案为±3.
答案:±3
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试,请选择合适的抽样方法,写出抽样过程.
解:因为总体的个数不多,所以可以采用简单随机抽样方法中的抽签法.
第一步,将30辆汽车编号,编号为01,02,…,30.
第二步,将号码分别写在大小、形状、质地相同的纸上,揉成球,制成号签.
第三步,把号签放在同一个不透明的容器里,并搅拌均匀.
第四步,从容器中依次随机抽出3个号签,并记录其号码.
第五步,将记录的号码对应的3辆汽车取出,就得到所要抽取的样本.
18.(12分)已知全集U=R,集合A={x|0<log2x<2},B={x|x≤3m-4或x≥8+m}(m<6).
(1)若m=2,求A∩∁UB;
(2)若A∩(∁UB)=⌀,求实数m的取值范围.
解:(1)当m=2时,B={x|x≤2或x≥10},从而∁UB={x|2<x<10}.
由A={x|0<log2x<2},可得A={x|1<x<4}.
故A∩(∁UB)={x|1<x<4}∩{x|2<x<10}={x|2<x<4}.
(2)由(1)知A={x|1<x<4}.
∵m<6,∴∁UB={x|3m-4<x<m+8}.
又A∩(∁UB)=⌀,∴3m-4≥4或m+8≤1.
∴m≥83或m≤-7.
又m<6,
∴实数m的取值范围为m≤-7或83≤m<6.
19.(12分)众所周知,大包装商品的成本要比小包装商品的成本高,某种品牌的饼干,其100 g装的售价为1.6元,其200 g装的售价为3元,假定该商品的售价(单位:元)由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干重量成正比,包装成本与饼干重量的算术平方根成正比,利润率为20%,试写出该种饼干1 000 g装的合理售价.(精确到0.1)
解:设饼干的重量为xg,其售价y与x之间的函数关系式为y=(ax+bx)(1+20%).
由已知得1.6=(a·100+b100)×1.2,
即43=100a+10b;①
3=(200a+200b)×1.2,即2.5≈200a+14.14b.②
联立①②,解得a≈0.0105,b≈0.0285.
所以y=(0.0105x+0.0285x)×1.2.
当x=1000时,y≈13.7(元).
所以估计这种饼干1000g装的售价为13.7元.
20.(12分)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过1 h收费6元,超过1 h的部分每时收费8元(不足1 h的部分按1 h计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过4 h.
(1)若甲停车1 h以上且不超过2 h的概率为13,停车付费多于14元的概率为512,求甲停车付费恰为6元的概率;
(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率.
解:(1)设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A,
则P(A)=1-13+512=14.
所以甲临时停车付费恰为6元的概率是14.
(2)设甲停车付费a元,乙停车付费b元,其中a,b=6,14,22,30,则甲、乙二人的停车费用构成的样本空间Ω={(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)},共有16个样本点,由题意知每个样本点出现的可能性相等.
事件“甲、乙二人停车付费之和为36元”包含的样本点有(6,30),(14,22),(22,14),(30,6),共4个.
故甲、乙二人停车付费之和为36元的概率P=416=14.
21.(12分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层随机抽样方法(按A类,B类分两层)从该工厂的工人中共抽取100名,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).
(1)从A类工人和B类工人中各抽取多少人?
(2)A类工人的抽查结果和B类工人的抽查结果分别如表①和表②所示.
生产能力分组
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
人数
4
8
x
5
3

表①
生产能力分组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
人数
6
y
36
18

表②
①先确定x,y,再画出频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
解:(1)由题意知分层抽样比为110,所以从A类工人和B类工人中分别抽查25名和75名.
(2)①由4+8+x+5+3=25,得x=5.
由6+y+36+18=75,得y=15.
频率分布直方图如图所示.
A类工人生产能力的频率分布直方图

B类工人生产能力的频率分布直方图

从直方图可以判断,A类工人中个体间的差异程度更小.
②样本中A类工人的生产能力平均数xA=425×105+825×115+525×125+525×135+325×145=123;
样本中B类工人的生产能力平均数xB=675×115+1575×125+3675×135+1875×145=133.8;
样本中该工厂工人的生产能力平均数x=25100×123+75100×133.8=131.1.
故A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.
22.(12分)国际视力表值(又叫小数视力值,用V表示,范围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值,由缪天容创立,用L表示,范围是[4.0,5.2])的换算关系式为L=5.0+lg V.
(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整.
V
1.5
②
0.4
④
L
①
5.0
③
4.0

(2)甲、乙两位同学检查视力,其中甲的对数视力值为4.5,乙的小数视力值是甲的2倍,求乙的对数视力值.(所求值均精确到0.1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
解:(1)因为5.0+lg1.5=5.0+lg1510=5.0+lg32=5.0+lg3-lg2=5.0+0.4771-0.3010≈5.2,所以①应填5.2.
因为5.0=5.0+lgV,所以V=1,所以②处应填1.0.
因为5.0+lg0.4=5.0+lg410=5.0+lg4-1=5.0+2lg2-1=5.0+2×0.3010-1≈4.6,所以③处应填4.6.
因为4.0=5.0+lgV,所以lgV=-1,所以V=0.1,所以④处应填0.1.
对照表补充完整如下:
V
1.5
1.0
0.4
0.1
L
5.2
5.0
4.6
4.0

(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值,则有4.5=5.0+lgV甲,所以V甲=10-0.5,则V乙=2×10-0.5,所以乙的对数视力值L乙=5.0+lg(2×10-0.5)=5.0+lg2-0.5=5.0+0.3010-0.5≈4.8.