2021-2022学年高中数学-第2章-函数测评巩固练习北师大版必修第一册.docx

2021-2022学年高中数学 第2章 函数测评巩固练习北师大版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 函数测评巩固练习北师大版必修第一册

年级：
姓名：

第二章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列四个图象,表示的不是函数图象的是(　　)

解析:选项A,C,D均是函数图象,选项B中,当x取某些值时,y有两个值与之对应,不符合函数的定义,故它不是函数的图象.
答案:B
2.下列各组函数为同一个函数的是(　　)
A.f(x)=2,g(x)=2xx
B.f(x)=x-2,g(x)=x2-4x+2
C.f(x)=|x|,g(x)=x2
D.f(x)=x+2·x-2,g(x)=x2-4
解析:函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|x≠0},定义域不同,故A不是同一个函数;函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|x≠-2},定义域不同,故B不是同一个函数;因为g(x)=x2=|x|=f(x),故两函数是同一个函数;函数f(x)的定义域为{x|x≥2},函数g(x)的定义域为{x|x≤-2,或x≥2},定义域不同,故D不是同一个函数.
答案:C
3.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=(　　)
A.2 B.1 C.0 D.-2
解析:∵f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=-1+11=-2.
答案:D
4.如图是函数y=f(x)的图象,则f(f(2))的值为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由题中图象可得,当0≤x≤3时,y=f(x)=2x,∴f(2)=4.
当3<x≤9时,由y-0=6-03-9(x-9),可得y=9-x.故f(f(2))=f(4)=9-4=5.
答案:C
5.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)<f(-3)<f(-2)
D.f(π)<f(-2)<f(-3)
解析:因为f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).又当x≥0时,f(x)单调递增,
所以f(2)<f(3)<f(π),从而f(-2)<f(-3)<f(π).
答案:A
6.函数y=-x2-3x+4x的定义域为(　　)
A.[-4,1] B.[-4,0)
C.(0,1] D.[-4,0)∪(0,1]
解析:要使函数有意义,需满足x≠0,-x2-3x+4≥0,得-4≤x<0或0<x≤1,故选D.
答案:D
7.设函数f(x)是定义在R上的减函数,若a∈R,则(　　)
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)
C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)
解析:D项中,∵a2+1>a,且f(x)是R上的减函数,∴f(a2+1)<f(a).而其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.
答案:D
8.定义在R上的偶函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,将f(x)的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)在下列区间上一定单调递减的是(　　)
A.[3,4] B.[1,2] C.[2,3] D.[-1,0]
解析:偶函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,则在区间[1,2]上单调递减,f(x)的图象沿x轴向右平移2个单位长度后在区间[3,4]上单调递减,即g(x)在区间[3,4]上单调递减.
答案:A
9.定义在区间[1+a,2]上的偶函数f(x)=ax2+bx-2在区间[1,2]上(　　)
A.单调递增
B.单调递减
C.先单调递增后单调递减
D.先单调递减后单调递增
解析:∵函数f(x)是偶函数,∴b=0.
又定义域为[1+a,2],则1+a=-2,得a=-3.
∴f(x)=-3x2-2,其图象开口向下,对称轴为y轴,则在区间[1,2]上单调递减.
答案:B
10.已知函数f(x)=1-x+x+3的最大值为M,最小值为m,则mM的值为(　　)
A.22 B.32 C.12 D.53
解析:由题意,函数f(x)的定义域是[-3,1],
f(x)=1-x+x+3=4+2-x2-2x+3,
由于-x2-2x+3在区间[-3,1]上的最大值是4,最小值是0,
则M=22,m=2,故mM的值为22.
答案:A
11.若函数f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,又f(3)=0,则f(x)+f(-x)x<0的解集为(　　)
A.(-3,3)
B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
解析:∵函数y=f(x)为偶函数,
∴f(x)+f(-x)x<0转化为xf(x)<0,(*)
当x>0时,由(*)知f(x)<0,即f(x)<f(3),
又f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,
∴x>3,则x>3;
当x<0时,由(*)知f(x)>0,即f(x)>f(3)=f(-3),
又f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,
∴f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,
∴x>-3,则-3<x<0.
综上可得,f(x)+f(-x)x<0的解集是(-3,0)∪(3,+∞).
答案:C
12.定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,用[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.2]=3,[-2.3]=-3.记{x}=x-[x],设f(x)=[x]·{x},g(x)=x-1,若用d表示不等式f(x)<g(x)的解集的区间长度,则当0≤x≤3时,d的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:f(x)=[x]·{x}=[x]·(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=x-1,
f(x)<g(x)⇒[x]x-[x]2<x-1即([x]-1)x<[x]2-1,(*)
当x∈[0,1)时,[x]=0,(*)式可化为x>1,则x∈⌀;
当x∈[1,2)时,[x]=1,(*)式可化为0<0,则x∈⌀;
当x∈[2,3)时,[x]=2,[x]-1>0,(*)式可化为x<[x]+1,则x∈[2,3);
当x=3时,(*)式可化为2x<8,得x<4,∴x=3.
∴f(x)<g(x)在区间[0,3]上的解集为[2,3],故d=1.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数f(2x+1)的定义域为　　　　　. 
解析:∵函数f(x)的定义域为(-1,1),
∴-1<2x+1<1,得-1<x<0,
则函数f(2x+1)的定义域为(-1,0).
答案:(-1,0)
14.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=　　　　　. 
解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即x2-|-x+a|=x2-|x+a|,
∴|x-a|=|x+a|,平方,整理得ax=0,
要使x∈R时恒成立,则a=0.
答案:0
15.已知函数f(x)=x2-|x|,若f(-m2-1)<f(2),则实数m的取值范围是　　　　　. 
解析:因为f(x)=x2-|x|=|x|2-|x|=|x|-122-14,
所以f(x)为偶函数,且在区间12,+∞上单调递增.
所以f(-m2-1)<f(2)可转化为f(m2+1)<f(2),又m2+1≥1,
所以m2+1<2,即m2<1,得-1<m<1.
答案:-1<m<1
16.已知函数f(x)=2x+1x-1,则当x∈[2,4]时,f(x)的最小值是　　　　　. 
解析:由题意可得,f(x)的定义域为{x|x≠1},
∴f(x)=2x+1x-1=2+3x-1.
∵x∈[2,4],∴x-1∈[1,3].
∴1≤3x-1≤3,∴3≤2+3x-1≤5.
故函数f(x)=2x+1x-1,x∈[2,4]的最小值是3.
答案:3
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),求函数g(x)的解析式.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x(1+x),求函数f(x)的解析式.
解:(1)令x+2=t,则x=t-2,
∴g(t)=f(t-2)=2(t-2)+3=2t-1,
把t换成x可得函数g(x)的解析式为g(x)=2x-1.
(2)设x<0,则-x>0.
∵当x>0时,f(x)=-x(1+x),
∴f(-x)=--x(1-x).
又f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-x(1-x),f(0)=0.
综上可得,f(x)=-x(1+x),x≥0,-x(1-x),x<0.
18.(12分)已知函数f(x)=1a-1x(a>0,x>0).
(1)求证:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)在区间12,2上的值域是12,2,求实数a的值.
(1)证明:设x1,x2是区间(0,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2.
则f(x1)-f(x2)=1a-1x1-1a-1x2
=1x2-1x1=x1-x2x1x2.
∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0.
∴x1-x2x1x2<0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
(2)解:∵f(x)在区间12,2上的值域是12,2,
又由(1)知,f(x)在区间12,2上单调递增,
∴f12=12,f(2)=2,即1a-2=12,1a-12=2,解得a=25.
19.(12分)已知幂函数y=f(x)=x-2m2-m+3,其中m∈{x|-2<x<2,x∈Z},满足:①是区间(0,+∞)上的增函数;②对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0.求同时满足条件①,②的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时f(x)的值域.
解:{x|-2<x<2,x∈Z}={-1,0,1}.
∵函数f(x)是区间(0,+∞)上的增函数,
∴-2m2-m+3>0,
即2m2+m-3<0,得-32<m<1,
又m∈{-1,0,1},∴m=-1或m=0.
又对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,
∴f(x)是奇函数.
当m=-1时,f(x)=x2为偶函数,舍去.
当m=0时,f(x)=x3为奇函数.
∴f(x)=x3.
当x∈[0,3]时,函数f(x)在区间[0,3]上单调递增,
∴f(x)的值域为[0,27].
20.(12分)已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时,f(x)<0成立,f(2)=-4.
(1)求f(0),f(1),f(3)的值;
(2)证明函数f(x)在R上是减函数;
(3)解不等式f(x2)+f(2x)<-6.
(1)解:因为对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)成立,
所以令m=n=0,得f(0)=f(0)+f(0),
则f(0)=0.
令m=n=1,得f(2)=f(1)+f(1)=-4,
则f(1)=-2,
令m=1,n=2,
得f(3)=f(1)+f(2)=-2-4=-6.
(2)证明:设x1,x2是两个任意的实数,且x1<x2.
因为f(m+n)=f(m)+f(n),
所以f(m+n)-f(m)=f(n).
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).
又x2-x1>0,
所以f(x2-x1)<0,
所以f(x2)-f(x1)<0,
即f(x2)<f(x1),
所以f(x)在R上是减函数.
(3)解:因为对任意m,n有f(m+n)=f(m)+f(n),
所以f(x2)+f(2x)<-6,
即f(x2+2x)<-6,
又由(1)知f(3)=-6,
所以f(x2+2x)<f(3).
由(2)知,f(x)在R上是减函数,
所以x2+2x>3,
解得x>1,或x<-3.
故不等式f(x2)+f(2x)<-6的解集为{x|x>1,或x<-3}.
21.(12分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.
(1)当x<0时,求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象,并指出其单调区间.
解:(1)设x<0,则-x>0.
又当x≥0时,f(x)=x2-2x,
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(-x)=f(x).
∴当x<0时,f(x)=x2+2x.
(2)由(1)知,
f(x)=x2-2x,x≥0,x2+2x,x<0.
画出f(x)的图象如图所示.

由图得函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1],[0,1].单调递增区间是[-1,0],[1,+∞).
22.(12分)已知命题p:f(x)=xx2+a是定义域为R的奇函数;命题q:g(x)=mx2+2x-1在区间12,+∞上单调递减.
(1)若a=m,命题p是假命题,且命题q是真命题,求实数m的取值范围;
(2)若a=m-3k,且“命题p为真命题”是“命题q为假命题”的充分条件,但不是必要条件,求实数k的取值范围.
解:若f(x)=xx2+a的定义域为R,必有a>0,
且f(x)一定为奇函数,
故当命题p为真命题时,有a>0;
若g(x)=mx2+2x-1在区间12,+∞上单调递减,必有m<0,-1m≤12,
解得m≤-2,故当命题q为真命题时,m≤-2.
(1)因为a=m,且命题p是假命题,命题q是真命题,
所以m≤0,m≤-2,
从而实数m的取值范围是(-∞,-2].
(2)命题p为真命题时,m-3k>0,即m>3k;命题q为假命题时,m>-2,
因为“命题p为真命题”是“命题q为假命题”的充分条件,但不是必要条件,所以3k>-2,
解得k>-23,
即实数k的取值范围是-23,+∞.