1、.2018年四川省资阳市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)设集合A=x|x2x20,B=x|x21,则A(RB)=()Ax|2x1Bx|2x1Cx|1x1Dx|1x12(5分)复数z满足z(12i)=3+2i,则=()ABCD3(5分)已知命题p:x0R,x02lgx0;命题q:x(0,1),则()A“pq”是假命题B“pq”是真命题C“p(q)”是真命题D“p(q)”是假命题4(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()ABCD5(5分)设实数x,y满足,则x2y的最小值为()A5
2、B4C3D16(5分)为考察A、B两种药物预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到如下等高条形图:根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是()A药物B的预防效果优于药物A的预防效果B药物A的预防效果优于药物B的预防效果C药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D药物A、B对该疾病均没有预防效果7(5分)某程序框图如图所示,若输入的a,b分别为12,30,则输出的a=()A2B4C6D88(5分)箱子里有3双颜色不同的手套(红蓝黄各1双),有放回地拿出2只,记事件A表示“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”,则事件A的概率为()ABCD9(5分)在三棱锥PABC中,PA底面ABC,
3、BAC=120,AB=AC=1,则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为()ABCD10(5分)过抛物线C1:x2=4y焦点的直线l交C1于M,N两点,若C1在点M,N处的切线分别与双曲线C2:=1(a0,b0)的渐近线平行,则双曲线C2的离心率为()ABCD11(5分)边长为8的等边ABC所在平面内一点O,满足=,若M为ABC边上的点,点P满足|,则|MP|的最大值为()ABCD12(5分)已知函数f(x)=cos(x+)(其中0)的一个对称中心的坐标为,一条对称轴方程为有以下3个结论:函数f(x)的周期可以为;函数f(x)可以为偶函数,也可以为奇函数;若,则可取的最小正数为10其中正确结论的
4、个数为()A0B1C2D3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)二项式的展开式中x5的系数为 14(5分)由曲线y=x2和直线y=1所围成的封闭图形面积为 15(5分)如图,为测量竖直旗杆CD高度,在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4m的两点A,B,在A处测得旗杆底部C在西偏北20的方向上,旗杆顶部D的仰角为60;在B处测得旗杆底部C在东偏北10方向上,旗杆顶部D的仰角为45,则旗杆CD高度为 m16(5分)已知函数如果使等式成立的实数x1,x3分别都有3个,而使该等式成立的实数x2仅有2个,则的取值范围是 三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17
5、21题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an2(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=anlog2an,Tn=b1+b2+bn,求成立的正整数n的最小值18(12分)某地区某农产品近几年的产量统计如表:年 份201220132014201520162017年份代码t123456年产量y(万吨)6.66.777.17.27.4(1)根据表中数据,建立y关于t的线性回归方程;(2)若近几年该农产品每千克的价格v(单位:元)与年产量y满足的函数关系式为v=4.50.3y,且每年该农产品
6、都能售完根据(1)中所建立的回归方程预测该地区2018(t=7)年该农产品的产量;当t(1t7)为何值时,销售额S最大?附:对于一组数据(t1,y1),(t2,y2),(tn,yn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,19(12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ACC1A1底面ABC,AA1=A1C=AC,AB=BC,ABBC,E,F分别为AC,B1C1的中点(1)求证:直线EF平面ABB1A1;(2)求二面角A1BCB1的余弦值20(12分)已知椭圆C:的离心率,且过点(1)求椭圆C的方程;(2)过P作两条直线l1,l2与圆相切且分别交椭圆于M,N两点求证:直线MN的斜
7、率为定值;求MON面积的最大值(其中O为坐标原点)21(12分)已知函数f(x)=(x0,aR)(1)当时,判断函数f(x)的单调性;(2)当f(x)有两个极值点时,求a的取值范围;若f(x)的极大值小于整数m,求m的最小值(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(其中t为参数),在以原点O为极点,以x轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为=4sin(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)设M是曲线C上的一动点,OM的中点为P,求点P到直线l的最小
8、值选修4-5:不等式选讲(10分)23已知函数f(x)=|2x+a|+|x2|(其中aR)(1)当a=4时,求不等式f(x)6的解集;(2)若关于x的不等式f(x)3a2|2x|恒成立,求a的取值范围2018年四川省资阳市高考数学二诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)设集合A=x|x2x20,B=x|x21,则A(RB)=()Ax|2x1Bx|2x1Cx|1x1Dx|1x1【解答】解:A=x|x2x20=x|1x2,B=x|x21=x|x1或x1,则RB=x|1x1,则A(RB)=x|1x1
9、,故选:C2(5分)复数z满足z(12i)=3+2i,则=()ABCD【解答】解:由z(12i)=3+2i,得z=,故选:A3(5分)已知命题p:x0R,x02lgx0;命题q:x(0,1),则()A“pq”是假命题B“pq”是真命题C“p(q)”是真命题D“p(q)”是假命题【解答】解:当x=1时,x2=12=1,lg1=0,满足x02lgx0,即命题p是真命题,当x0时,x+2=2,当且仅当x=,即x=1取等号,x(0,1),成立,即q为真命题,则“pq”是真命题,其余为假命题,故选:B4(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()ABCD【解答】解:由题意可知,几何体是半圆
10、柱,底面半圆的半径为1,圆柱的高为2,所以该几何体的体积为:V=故选:D5(5分)设实数x,y满足,则x2y的最小值为()A5B4C3D1【解答】解:先根据约束条件实数x,y满足画出可行域,由,解得A(1,3)当直线z=x2y过点A(1,3)时,z最小是5,故选:A6(5分)为考察A、B两种药物预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到如下等高条形图:根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是()A药物B的预防效果优于药物A的预防效果B药物A的预防效果优于药物B的预防效果C药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D药物A、B对该疾病均没有预防效果【解答】解:由A、B两种药物预防某疾病的效果,进行动
11、物试验,分别得到的等高条形图,知:药物A的预防效果优于药物B的预防效果故选:B7(5分)某程序框图如图所示,若输入的a,b分别为12,30,则输出的a=()A2B4C6D8【解答】解:模拟程序的运行,可得a=12,b=30,ab,则b变为3012=18,不满足条件a=b,由ab,则b变为1812=6,不满足条件a=b,由ab,则a变为126=6,由a=b=6,则输出的a=6故选:C8(5分)箱子里有3双颜色不同的手套(红蓝黄各1双),有放回地拿出2只,记事件A表示“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”,则事件A的概率为()ABCD【解答】解:分别设3双手套为:a1a2;b1b2;
12、c1c2a1,b1,c1分别代表左手手套,a2,b2,c2分别代表右手手套从箱子里的3双不同的手套中,随机拿出2只,所有的基本事件是:n=66=36,共36个基本事件事件A包含:(a1,b2),(b2,a1),(a1,c2),(c2,a1),(a2,b1),(b1,a2),(a2,c1),(c1,a2),(b1,c2),(c2,b1),(b2,c1),(c1,b2),12个基本事件,故事件A的概率为P(A)=故选:B9(5分)在三棱锥PABC中,PA底面ABC,BAC=120,AB=AC=1,则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为()ABCD【解答】解:PA底面ABC,AB=AC=1,PABP
13、AC,PB=PC取BC中点D,连接AD,PD,PDBC,ADBC,BC面PAD面PAD面PBC,过A作AOPD于O,可得AO面PBC,APD就是直线PA与平面PBC所成角,在RtPAD中,AD=,PA=,PD=,sin故选:D10(5分)过抛物线C1:x2=4y焦点的直线l交C1于M,N两点,若C1在点M,N处的切线分别与双曲线C2:=1(a0,b0)的渐近线平行,则双曲线C2的离心率为()ABCD【解答】解:由双曲线C2:=1(a0,b0)的渐近线方程y=x,可得两条切线的斜率分别为,则两条切线关于y轴对称,由y=x2的导数为y=x,则过抛物线C1:x2=4y焦点(0,1)的直线为y=1,可
14、得切点为(2,1)和(2,1),则切线的斜率为1,即a=b,c=a,则e=故选C11(5分)边长为8的等边ABC所在平面内一点O,满足=,若M为ABC边上的点,点P满足|,则|MP|的最大值为()ABCD【解答】解:如图,由=,得,即,取AB中点G,AC中点H,连接GH,则,即,取GH中点K,延长KG到O,使KG=GO,则O为所求点,点P满足|,M为ABC边上的点,当M与A重合时,|MP|有最大值为|OA|+|OP|,而|OA|=,|MP|的最大值为,故选:D12(5分)已知函数f(x)=cos(x+)(其中0)的一个对称中心的坐标为,一条对称轴方程为有以下3个结论:函数f(x)的周期可以为;
15、函数f(x)可以为偶函数,也可以为奇函数;若,则可取的最小正数为10其中正确结论的个数为()A0B1C2D3【解答】解:对于,函数f(x)=cos(x+)(其中0)的一个对称中心的坐标为,一条对称轴方程为,T=,故正确;对于,如果函数f(x(为奇函数,则有f(0)=0,可得=k+,此时f(x)=f(x)=cos(x+k)=sinx,函数f(x)不可以为偶函数,故错;对于,函数f(x)=cos(x+)的一条对称轴为x=,+=k,解得=3k2,kZ;又函数f(x)一个对称中心为点(,0),+=m+,解得=12m2,mZ;由0可知当m=0,k=4时,取最小值10故正确; 故选:C二、填空题:本大题共
16、4小题,每小题5分,共20分13(5分)二项式的展开式中x5的系数为35【解答】解:二项式展开式的通项公式为Tr+1=(x3)7r=x214r,令214r=5,解得r=4;展开式中x5的系数为=35故答案为:3514(5分)由曲线y=x2和直线y=1所围成的封闭图形面积为【解答】解:联立方程组,解得或,曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=故答案为:15(5分)如图,为测量竖直旗杆CD高度,在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4m的两点A,B,在A处测得旗杆底部C在西偏北20的方向上,旗杆顶部D的仰角为60;在B处测得旗杆底部C在东偏北10方向上,旗杆顶部D的仰角为45,则旗杆CD高
17、度为12m【解答】解:如图所示,设CD=x在RtBCD,CBD=45,BC=x,在RtACD,CAD=60,AC=,在ABC中,CAB=20,CBA=10,AB=4ACB=1802010=150,由余弦定理可得AB2=AC2+BC22ACBCcos150,即(4)2=x2+x2+2x=x2,解得x=12,故答案为:1216(5分)已知函数如果使等式成立的实数x1,x3分别都有3个,而使该等式成立的实数x2仅有2个,则的取值范围是(1,3【解答】解:当3x0时,y=x(x+2)2的导数为y=(x+2)(3x+2),可得2x时,函数递增;3x2,x0,函数递减;当x0时,y=2ex(4x)8的导数
18、为y=2ex(3x),当x3时,函数递减;0x3时,函数递增,x=3时,y=2e38,作出函数f(x)的图象,等式=k表示点(4,0),(2,0),(,0)与f(x)图象上的点的斜率相等,由(3,3)与(4,0)的连线与f(x)有3个交点,且斜率为3,则k的最大值为3;由题意可得,过(2,0)的直线与f(x)的图象相切,转到斜率为3的时候,实数x2仅有2个,设切点为(m,n),(2m0),求得切线的斜率为(m+2)(3m+2)=,解得m=1,此时切线的斜率为1,则k的范围是(1,3故答案为:(1,3三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必
19、须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an2(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=anlog2an,Tn=b1+b2+bn,求成立的正整数n的最小值【解答】(12分)解:(1)当n=1时,a1=2a12,解得a1=2,当n2时,Sn=2an2,Sn1=2an12则an=2an2an1,所以an=2an1,所以an是以2为首项,2为公比的等比数列故(4分)(2),则得:=2n+1n2n+12所以由得2n+152由于n4时,2n+125=3252;n5时,2n+126=6452故使成立的正整数n的最小值为5(1
20、2分)18(12分)某地区某农产品近几年的产量统计如表:年 份201220132014201520162017年份代码t123456年产量y(万吨)6.66.777.17.27.4(1)根据表中数据,建立y关于t的线性回归方程;(2)若近几年该农产品每千克的价格v(单位:元)与年产量y满足的函数关系式为v=4.50.3y,且每年该农产品都能售完根据(1)中所建立的回归方程预测该地区2018(t=7)年该农产品的产量;当t(1t7)为何值时,销售额S最大?附:对于一组数据(t1,y1),(t2,y2),(tn,yn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,【解答】解:(1)由题意可知:,
21、=(2.5)(0.4)+(1.5)(0.3)+0+0.50.1+1.50.2+2.50.4=2.8,=(2.5)2+(1.5)2+(0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5,又,得,y关于t的线性回归方程为(6分)(2)由(1)知,当t=7时,即2018年该农产品的产量为7.56万吨当年产量为y时,销售额S=(4.50.3y)y103=(0.3y2+4.5y)103(万元),当y=7.5时,函数S取得最大值,又因y6.6,6.7,7,7.1,7.2,7.4,7.56,计算得当y=7.56,即t=7时,即2018年销售额最大(12分)19(12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧
22、面ACC1A1底面ABC,AA1=A1C=AC,AB=BC,ABBC,E,F分别为AC,B1C1的中点(1)求证:直线EF平面ABB1A1;(2)求二面角A1BCB1的余弦值【解答】(12分)(1)证明:取A1C1的中点G,连接EG,FG,由于E,F分别为AC,B1C1的中点,所以FGA1B1又A1B1平面ABB1A1,FG平面ABB1A1,所以FG平面ABB1A1又AEA1G且AE=A1G,所以四边形AEGA1是平行四边形则EGAA1又AA1平面ABB1A1,EG平面ABB1A1,所以EG平面ABB1A1所以平面EFG平面ABB1A1又EF平面EFG,所以直线EF平面ABB1A1(6分)(2
23、)解:令AA1=A1C=AC=2,由于E为AC中点,则A1EAC,又侧面AA1C1C底面ABC,交线为AC,A1E平面A1AC,则A1E平面ABC,连接EB,可知EB,EC,EA1两两垂直以E为原点,分别以EB,EC,EA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,),A(0,1,0),所以,令平面A1BC的法向量为=(x1,y1,z1),由则令,则=(,1)令平面B1BC的法向量为=(x2,y2,z2),由则令,则=(,1)由cos=,故二面角A1BCB1的余弦值为(12分)20(12分)已知椭圆C:的离心率,且过点(1)求椭圆C的方程;
24、(2)过P作两条直线l1,l2与圆相切且分别交椭圆于M,N两点求证:直线MN的斜率为定值;求MON面积的最大值(其中O为坐标原点)【解答】(12分)解:(1)由,设椭圆的半焦距为c,所以a=2c,因为C过点,所以,又c2+b2=a2,解得,所以椭圆方程为(4分)(2)显然两直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,M(x1,y1),N(x2,y2),由于直线l1,l2与圆相切,则有k1=k2,直线l1的方程为,联立方程组消去y,得,因为P,M为直线与椭圆的交点,所以,同理,当l2与椭圆相交时,所以,而,所以直线MN的斜率设直线MN的方程为,联立方程组,消去y得x2+mx+m23=0,所以,原点
25、O到直线的距离,OMN得面积为,当且仅当m2=2时取得等号经检验,存在r(),使得过点的两条直线与圆(x1)2+y2=r2相切,且与椭圆有两个交点M,N所以OMN面积的最大值为(12分)21(12分)已知函数f(x)=(x0,aR)(1)当时,判断函数f(x)的单调性;(2)当f(x)有两个极值点时,求a的取值范围;若f(x)的极大值小于整数m,求m的最小值【解答】解:(1)由题f(x)=,(x0)方法1:由于,ex10,(x2+3x3)ex,又,所以(x2+3x3)exa0,从而f(x)0,于是f(x)为(0,+)上的减函数(4分)方法2:令h(x)=(x2+3x3)exa,则h(x)=(x
26、2+x)ex,当0x1时,h(x)0,h(x)为增函数;当x1时,h(x)0,h(x)为减函数故h(x)在x=1时取得极大值,也即为最大值则h(x)max=ea由于,所以h(x)max=h(1)=ea0,于是f(x)为(0,+)上的减函数(4分)(2)令h(x)=(x2+3x3)exa,则h(x)=(x2+x)ex,当0x1时,h(x)0,h(x)为增函数,当x1时,h(x)0,h(x)为减函数,当x趋近于+时,h(x)趋近于由于f(x)有两个极值点,所以f(x)=0有两不等实根,即h(x)=0有两不等实数根x1,x2(x1x2),则,解得3ae,可知x1(0,1),由于h(1)=ea0,h(
27、)=a+30,则而f(x2)=0,即=(#)所以g(x)极大值=f(x2)=,于是,(*)令,则(*)可变为,可得,而3ae,则有,下面再说明对于任意3ae,f(x2)2又由(#)得a=(+3x23),把它代入(*)得f(x2)=(2x2),所以当时,f(x2)=(1x2)0恒成立,故f(x2)为的减函数,所以f(x2)f()=2,所以满足题意的整数m的最小值为3(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(其中t为参数),在以原点O为极点,以x轴为极轴的极坐标系中,曲
28、线C的极坐标方程为=4sin(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)设M是曲线C上的一动点,OM的中点为P,求点P到直线l的最小值【解答】选修44:坐标系与参数方程(10分)解:(1)直线l的参数方程为(其中t为参数),消去参数t,得l的普通方程xy1=0曲线C的极坐标方程为=4sin由=4sin,得2=4sin,曲线C的直角坐标方程为x2+y24y=0,即x2+(y2)2=4(4分)(2)设P(x,y),M(x0,y0),则,由于P是OM的中点,则x0=2x,y0=2y,所以(2x)2+(2y2)2=4,得点P的轨迹方程为x2+(y1)2=1,轨迹为以(0,1)为圆心,1为半径
29、的圆圆心(0,1)到直线l的距离所以点P到直线l的最小值为(10分)选修4-5:不等式选讲(10分)23已知函数f(x)=|2x+a|+|x2|(其中aR)(1)当a=4时,求不等式f(x)6的解集;(2)若关于x的不等式f(x)3a2|2x|恒成立,求a的取值范围【解答】选修45:不等式选讲(10分)解:(1)当a=4时,求不等式f(x)6,即为|2x4|+|x2|6,所以|x2|2,即x22或x22,原不等式的解集为x|x0或x4(4分)(2)不等式f(x)3a2|2x|即为|2x+a|+|x2|3a2|2x|,即关于x的不等式|2x+a|+|42x|3a2恒成立而|2x+a|+|42x|a+4|,所以|a+4|3a2,解得a+43a2或a+43a2,解得或a所以a的取值范围是(10分)19页